高中数学高考28第五章 平面向量与复数 5 2 平面向量基本定理及坐标表示课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ .其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .
ZHISHISHULI
2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝，|a|＝ .(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝， ＝ .3.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔ .
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示　不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.
2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示　不一定.当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(　　)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)(3)在等边三角形ABC中，向量 的夹角为60°.(　　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成(　　)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(　　)
2.[P97例5]已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.
3.[P119A组T9]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝______.
解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).由ma＋nb与a－2b共线，
4.设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝___.
6.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝______.
解析　因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
题型一　平面向量基本定理的应用
解　由题意知，A是BC的中点，
应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用.
即P为AB的一个三等分点，如图所示.∵A，M，Q三点共线，
例2　(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 ＝－3a，则点N的坐标为A.(2,0) B.(－3,6)C.(6,2) D.(－2,0)
题型二　平面向量的坐标运算
解析　设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.
解析　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.
综上可知，x＋y＝－2或6.
题型三　向量共线的坐标表示
命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标
例3　已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.
解析　方法一　由O，P，B三点共线，
所以点P的坐标为(3,3).
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3).
命题点2　利用向量共线求参数
例4　(2018·洛阳模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为
解析　因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3　(1)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是A.－4 B.1 C.0 D.－2
解析　a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－4，故选A.
A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)
3.(2018·三明质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，则|a＋b|等于
解析　根据题意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，所以a＋b＝(－1，－2)，
4.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析　由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.
6.向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________.
解析　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，
7.若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为_____.
8.设向量a，b满足|a|＝ b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为__________.
解析　∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ<0).
∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2).
9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝______.
解析　由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝
解析　若点A，B，C能构成三角形，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
11.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
解　ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2).∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
解　方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，
所以∠B1OC＝90°.
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
解析　由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)，E(－1,1)，
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(2,0)，F(3,1)，
又因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，
解　建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，