高中数学高考30第五章 平面向量与复数 5 3 平面向量的数量积课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作 则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 .
ZHISHISHULI
|a||b|·cs θ
3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ .(3)(a＋b)·c＝ .
4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
x1x2＋y1y2＝0
1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示　不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cs θ，而b在a方向上的投影为|b|cs θ，其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示　不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)(4)(a·b)c＝a(b·c).(　　)(5)两个向量的夹角的范围是 (　　)(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　　)
题组二　教材改编2.[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝______.
解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3.[P106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为_____.
解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
题组三　易错自纠4.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______.
方法二　(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2 .
解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，
题型一　平面向量数量积的基本运算
1.(2019·百校联盟联考)已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于A.8 B.10 C.11 D.12
解析　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.
2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于A.4 B.3 C.2 D.0
解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
∵D，E是边BC的两个三等分点，
平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　求向量的模例1　(1)(2019·永州模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2018·全国大联考)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为A.4 B.2C. D.1
解析　因为|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，
所以∠ACB＝60°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，所以A，O，B，C四点共圆.
命题点2　求向量的夹角例2　(1)(2018·泉州质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为
解析　由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cs α＝4－2cs α＝3，
(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若 e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是_____.
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
(1)求解平面向量模的方法
(2)求平面向量的夹角的方法
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练1　(1)(2019·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝_____.
解析　∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，∴4－4|b|cs 30°＋b2＝1，
解析　∵a⊥(a－b)，
题型三　平面向量与三角函数
(1)求a·b及|a＋b|；
∴cs x>0，∴|a＋b|＝2cs x.
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.
当cs x＝1时，f(x)取得最大值－1.
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
1.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　根据向量数量积的定义式可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
2.(2019·西北师大附中冲刺诊断)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为A.1 B.－1C.2 D.－2
解析　向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝(k－4，k＋6).若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故选B.
则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b ＝5－2a·b＝5，可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，
4.(2018·东三省三校模拟)非零向量a，b 满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b 与b 夹角θ的大小为A.135° B.120°C.60° D.45°
解析　∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a| 可得，
∴θ＝135°，故选A.
5.(2019·咸阳模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为
6.(2018·钦州质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则 的取值范围是A.[－1,0] B.[－1,2]C.[－1,3] D.[－1,4]
解析　如图所示，由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x－1)2＋(y－1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0).
＝－x(2－x)＋y2＝(x－1)2＋y2－1，
解析　∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝7，∴a·b＝7－b2＝3.设向量a与b的夹角为α，
解析　如图，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).
10.(2019·河北省衡水中学模拟)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2且a·b＝1，若e为平面单位向量，则(a－b)·e的最大值为______.
解析　由|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，
11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；
解　因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，
解　|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
解　方法一　设BC的中点为D，AD的中点为E，
方法二　以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
解析　设BC的中点为D，因为点G是△ABC的重心，
即∠PFM＝∠QFM，则FM为∠PFQ的角平分线，