高中数学高考48第八章 立体几何 高考专题突破4 高考中的立体几何问题课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析
题型一　平行、垂直关系的证明
例1　 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
证明　∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又∵AD⊥DE，DE∩CC1＝E，DE，CC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明　∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1.又∵B1C1∩CC1＝C1，B1C1，CC1⊂平面BCC1B1，∴A1F⊥平面BCC1B1.又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD.∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE.
(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.
(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.
跟踪训练1　(2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
(1)求证：PE⊥BC；
证明　因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
证明　因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)求证：EF∥平面PCD.
证明　如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.
题型二　立体几何中的计算问题
例2　(2018·湘东五校联考)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.
(1)求证：AB1∥平面A1C1C；
证明　如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D，∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1，∴四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，又B1D⊄平面A1C1C，C1C⊂平面A1C1C，∴B1D∥平面A1C1C.在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，∴四边形ADC1A1为平行四边形，
∴AD∥A1C1.又AD⊄平面A1C1C，A1C1⊂平面A1C1C，∴AD∥平面A1C1C，∵B1D∩AD＝D，B1D，AD⊂平面ADB1，∴平面ADB1∥平面A1C1C，又AB1⊂平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C.
(2)求多面体ABCA1B1C1的体积.
∴AA1⊥AC，AC⊥AB.又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，易得CD⊥AD，又AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1.易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD－A1B1C1和四棱锥C－ADC1A1组成的，
(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
跟踪训练2　 (2019·广州调研)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.
(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；
证明　如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，
所以OF∥DE，且OF＝DE，所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.
(2)若∠ABC＝60°，求三棱锥P－ACE的体积.
解　因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC＝2.又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.
因为EF⊥平面PAC，所以EF是三棱锥E－PAC的高.
题型三　立体几何中的探索性问题
(1)求证：DF⊥CE；
例3 如图，梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2，AD＝AB＝1，四边形BDEF为正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD.
证明　连接EB.∵在梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，DC＝2，
∴BD2＋BC2＝CD2，∴BC⊥BD.又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面BDEF，∴BC⊥DF.又∵正方形BDEF中，DF⊥EB，且EB，BC⊂平面BCE，EB∩BC＝B，∴DF⊥平面BCE.又∵CE⊂平面BCE，∴DF⊥CE.
(2)若AC与BD相交于点O，那么在棱AE上是否存在点G，使得平面OBG∥平面EFC？并说明理由.
理由如下：连接OG，BG，在梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝1，DC＝2，
又∵正方形BDEF中，EF∥OB，且OB，OG⊄平面EFC，EF，CE⊂平面EFC，∴OB∥平面EFC，OG∥平面EFC.又∵OB∩OG＝O，且OB，OG⊂平面OBG，∴平面OBG∥平面EFC.
对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.
跟踪训练3 (2018·全国Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M是 上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.
证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.因为M为 上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.
解　当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点.连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.
1.如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.
(1)求证：平面BCD⊥平面ABC；
证明　∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE＝AC，CD⊥AC，CD⊂平面ACDE，∴DC⊥平面ABC.又DC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面ABC.
(2)求证：AF∥平面BDE.
∴EA∥PF，EA＝PF，∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，∵AF⊄平面BDE，EP⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE.
2.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.
(1)证明：AE∥平面BDF；
证明　连接AC交BD于点O，连接OF.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点.又F为EC的中点，∴OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
解　当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H为BE的中点，∴CH⊥BE.
又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE.
求证：(1)AB∥平面A1B1C；
3.(2018·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.
证明　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；
4.(2018·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.
证明　如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，∵E为AB1的中点，∴D为AC的中点，∵AB＝BC，∴BD⊥AC， ①由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD，②又AC∩A1A＝A，AC，A1A⊂平面A1ACC1，∴BD⊥平面A1ACC1.
(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A－BCB1的体积.
解　由AB＝1，得BC＝BB1＝1，
又AC·AD＝1，∴AC2＝2，∴AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，
(1)求证：BC⊥平面ACD；
5.(2019·河北名校联盟联考)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝ AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体D－ABC中：
∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cs 45°＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC，∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积.
解　∵AD∥平面BEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，
(1)证明：AA1⊥平面ABCD；
6.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝ ，点E在A1D上.
证明　因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝2，在△AA1B中，
同理AA1⊥AD，又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥平面ABCD.
证明如下：如图，连接BD交AC于点O，
即点E为A1D的中点时，连接OE，则OE∥A1B，又A1B⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以A1B∥平面EAC.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离，
因为E为A1D的中点，所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离，VD－EAC＝VE－ACD，设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA1，且EF＝1，