2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友联合中学八年级（下）开学数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友联合中学八年级（下）开学数学试卷(解析版)，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友联合中学八年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0
2．化简（﹣x）3•（﹣x）2的结果正确的是（　　）
A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．x5
3．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为（　　）

A．80° B．60° C．105° D．75°
4．已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°
5．如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　）

A．55° B．75° C．65° D．60°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 且x≠0 D．x≤2且x≠0
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
9．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（　　）

A．一条 B．两条 C．三条 D．零条
10．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（　　）

A．33 B．30 C．27 D．24
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．若一个正n边形的一个内角为144°，则n等于　 　．
12．利用完全平方公式计算：（m+3）2＝　 　．
13．多项式12ab3c+8a3b的公因式是 　 　．
14．计算：（﹣1）0+|﹣1|＝　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，射线BP与AC交于点D，若AD＝BD，则∠A＝　 　．

16．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠BCD＝30°，点E在CD延长线上，∠E＝45°，点H是AC上的一个动点，则HD+HE的最小值为 　 　．

17．如图，A点的坐标是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，C在x轴上运动，在坐标平面内作点D，使AD＝DC，∠ADC＝120°，连接OD，则OD的长的最小值为　 　．

三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
19．解方程
（1）；
（2）．
20．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠EPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的长．

21．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；
（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．

22．（1）如图1，将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是 　 　（填序号）．
①（a+b）2＝a2+2ab+b2
②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
④a（a+b）＝a2+ab
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝23，求阴影部分的面积．

23．已知：在等边△ABC中，点E是AB边所在直线上的一个动点（E与A、B两点均不重合），点D在CB的延长线上，且ED＝EC．

（1）如图①，当E是AB边的中点时，求证：AE＝BD；
（2）如图②，当E是线段AB边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
（3）若点E是线段AB的延长线上任一点，ED＝EC，AE＝2，AC＝1，求CD的长．

24．在四边形ABCD中．

（1）如图1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，探究图中EF，BE，DF之间的数量关系．
小林同学探究此问题的方法是：延长CB到点G，使BG＝DF．连接AG，先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得出EF、BE、DF之间的数量关系，他的结论是 　 　；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若EF＝BF+DE，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

25．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　．

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系．



参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
2．化简（﹣x）3•（﹣x）2的结果正确的是（　　）
A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．x5
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
解：（﹣x）3•（﹣x）2＝（﹣x）5＝﹣x5，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键．
3．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为（　　）

A．80° B．60° C．105° D．75°
【分析】利用平行线的性质得到∠AEF＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．
【解答】
解：如图所示，∵AB∥CD，∠D＝45°，
∴∠AEF＝∠D＝45°，
∵∠1＝∠AEF+∠EAF，∠EAF＝30°，
∴∠1＝45°+30°＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件∠D＝45°，∠3＝60°．
4．已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：C．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
5．如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　）

A．55° B．75° C．65° D．60°
【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF＝90°，
∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣62°﹣43°＝75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°（平行四边形对角相等）．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD的长，再求出EC的长，即可确定AE的长．
解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BA，
∴∠BAD＝90°，
设AD＝x，则BD＝2x，
根据勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
设ED＝m，则EC＝2m，
根据勾股定理，得，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴EC＝2m＝4，
∴AE＝6﹣4＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
7．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 且x≠0 D．x≤2且x≠0
【分析】根据分母不为0且被开方数大于等于0进行计算即可．
解：由题意得：，
∴x≤2且x≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG＝AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG＝EF＝2，再利用勾股定理求出GE的长．最后在△GPE中，利用三边关系即可得出答案．
解：如图，连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG＝AE，连接PG，GE，

∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF＝AP，∠PAF＝90°，
∴∠FAE+∠PAE＝∠PAE+∠PAG＝90°，
∴∠FAE＝∠PAG．
又∵AG＝AE，
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG＝EF＝2．
∵BC＝3，CE＝2BE，
∴BE＝1．
∴在Rt△ABE中，．
∵AG＝AE，∠GAE＝90°，
∴．
∵PE≥GE﹣PG，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴PE的最小值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（　　）

A．一条 B．两条 C．三条 D．零条
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
解：∵三角形具有稳定性，
∴要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上一根木条．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
10．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（　　）

A．33 B．30 C．27 D．24
【分析】设正方形A的边长是a，正方形B的边长是b（a＞b），先用字母表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，再根据题目中的数据求出正方形A、B的面积之和即可．
解：设正方形A的边长是a，正方形B的边长是b（a＞b），
由题可得图甲中阴影部分的面积是S甲＝（a﹣b）2，图乙中阴影部分的面积是S乙＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，
∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，
∴S甲＝（a﹣b）2＝3，S乙＝2ab＝30，
∴正方形A、B的面积之和为：SA+SB＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝3+30＝33，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景和完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解题的关键，难度不大．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．若一个正n边形的一个内角为144°，则n等于　10　．
【分析】易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边数n＝360°÷一个外角的度数．
解：∵正n边形的一个内角为144°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣144°＝36°，
∴n＝360°÷36°＝10．
【点评】用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的和为180°；正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．
12．利用完全平方公式计算：（m+3）2＝　m2+6m+9　．
【分析】根据公式计算即可得答案．
解：（m+3）2
＝m2+2×3•m+32
＝m2+6m+9，
故答案为：m2+6m+9，
【点评】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13．多项式12ab3c+8a3b的公因式是 　4ab　．
【分析】根据公因式的定义解答即可，多项式中，各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．
解：多项式12ab3c+8a3b的公因式是4ab．
故答案为：4ab．
【点评】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
14．计算：（﹣1）0+|﹣1|＝　2　．
【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．
解：原式＝1+1＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是正确理解零指数幂的意义，本题属于基础题型．
15．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，射线BP与AC交于点D，若AD＝BD，则∠A＝　40°　．

【分析】证明∠A＝∠ABD＝∠DBC，再利用三角形内角和定理求解即可．
解：由作图可知，DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC，
∵∠C＝60°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴3∠A＝120°，
∴∠A＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
16．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠BCD＝30°，点E在CD延长线上，∠E＝45°，点H是AC上的一个动点，则HD+HE的最小值为 　　．

【分析】根据菱形的性质及两点之间线段最短进行作答．
解：连接BE交AC于H'，连接DH'，过点A作AM⊥EC于点M，过点E作EN⊥BA交BA的延长线于点N，

∵四边形ABCD为菱形，
∴B、D关于AC对称，
∴DH'＝BH'，
∴DH'+EH'＝BH′+EH'＝BE，
故当H与H'重合时，HD+HE的值最小，最小值为BE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADM＝∠BCD＝30°，AD＝AB＝2，
∴AM＝AD＝1，
∵∠AEC＝45°，
∴∠MAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AEC＝∠MAE，
∴AM＝EM＝1，
∵AM⊥EC，EN⊥BN，
∴∠AME＝90°，∠ANE＝90°，
∵CE∥BN，
∴∠MAN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝∠ANE＝∠MAN＝90°，
∴四边形AMEN是矩形，
又∵AM＝EM＝1，
∴四边形AMEN是正方形，
∴AN＝EM＝AM＝EN＝1，
∴BN＝2+1＝3，
在Rt△BNE中，
BE＝，
故HD+HE的最小值，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质及两点之间线段最短，熟练掌握平行四边形的性质及两点之间线段最短是本题解题关键．
17．如图，A点的坐标是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，C在x轴上运动，在坐标平面内作点D，使AD＝DC，∠ADC＝120°，连接OD，则OD的长的最小值为　　．

【分析】先判定△ABO∽△ADC，得出＝，再根据∠BAD＝∠OAC，得出△ACO∽△ADB，进而得到∠ABD＝∠AOC＝90°，得到当OD⊥BE时，OD最小，最后过O作OF⊥BD于F，根据∠OBF＝30°，求得OF＝OB＝，即OD最小值为；作B关于y轴的对称点B'，则同理可得OD最小值为．
解：如图，作直线BD，由∠DAC＝∠DCA＝∠BAO＝∠BOA＝30°，可得△ABO∽△ADC，
∴＝，即＝，
又∵∠BAD＝∠OAC，
∴△ACO∽△ADB，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∵当OD⊥BE时，OD最小，
过O作OF⊥BD于F，则△BOF为Rt△，
∵A点的坐标是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，
∴易得OB＝2，
∵∠ABO＝120°，∠ABD＝90°，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝OB＝，
即OD最小值为；

如图，作B关于y轴的对称点B'，作直线DB'，则同理可得：△ACO∽△ADB'，
∴∠AB'D＝∠AOC＝90°，
∴当OD⊥B'E时，OD最小，
过O作OF'⊥B'D于F'，则△B'OF'为Rt△，
∵A点的坐标是（0，6），AB'＝B'O，∠AB'O＝120°，
∴易得OB'＝2，
∵∠AB'O＝120°，∠AB'D＝90°，
∴∠OB'F'＝30°，
∴OF'＝OB'＝，
即OD最小值为．
故答案为：．


【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，利用垂线段最短进行判断分析．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．
解：原式＝•﹣
＝﹣
＝﹣，
当x＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
19．解方程
（1）；
（2）．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1），
，
，
（x﹣2）2﹣8＝x2﹣4，
x2﹣4x+4﹣8＝x2﹣4，
﹣4x＝0，
x＝0，
经检验，x＝0是原方程的根；

（2），
，
2﹣2（x﹣1）＝3，
2﹣2x+2＝3，
，
经检验，是原方程的根．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠EPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的长．

【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEB≌△CDA；
（2）由△AEB≌△CDA，得∠ABE＝∠CAD，则∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝60°，所以∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°；
（3）由∠PQB＝90°，∠BPQ＝60°，得∠PBQ＝30°，而PQ＝7，PE＝3，所以BP＝2PQ＝14，BE＝BP+PE＝17．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB和△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS）．
（2）解：∵△AEB≌△CDA，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°，
∴∠EPQ的度数是120°．
（3）解：∵BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，
∴∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×7＝14，
∴BE＝BP+PE＝14+3＝17，
∴BE的长是17．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
21．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；
（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．

【分析】（1）首先得出AC＝AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；
（2）利用△ACD≌△ABE，得出∠1＝∠3，再由∠BAC＝90°，可得∠3+∠2＝90°，结合FG⊥CD可得出∠3＝∠CMF，∠GEM＝∠GME，继而可得出结论；
（3）先大致观察三者的关系，过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，利用（1）的结论可将AF转化为NF，BG转化为NG，从而在一条直线上得出三者的关系．
【解答】（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°，
在△ADC和△AEB中

∴△ADC≌△AEB（SAS），

（2）△EGM为等腰三角形；
理由：∵△ADC≌△AEB，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAC＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，∠1+∠4＝90°，
∴∠4+∠3＝90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4＝90°，
∴∠3＝∠CMF，
∴∠GEM＝∠GME，
∴EG＝MG，△EGM为等腰三角形．

（3）线段BG、AF与FG的数量关系为BG＝AF+FG．
理由：如图所示：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，
∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠FBN＝45°＝∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN＝∠CFM＝90°﹣∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA＝90°﹣∠EBC，∠5+∠2＝90°，
由（1）可得∠DCB＝∠EBC，
∴∠BFN＝∠BFA，
在△BFN和△BFA中

∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF＝AF，∠N＝∠5，
又∵∠GBN+∠2＝90°，
∴∠GBN＝∠5＝∠N，
∴BG＝NG，
又∵NG＝NF+FG，
∴BG＝AF+FG．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，难度较大，尤其是第3问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行．
22．（1）如图1，将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是 　①　（填序号）．
①（a+b）2＝a2+2ab+b2
②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
④a（a+b）＝a2+ab
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝23，求阴影部分的面积．

【分析】（1）用代数式利用两种方法分别表示图形的面积即可；
（2）①根据完全平方公式的结构特征，将a2+b2转化为（a+b）2﹣2ab，再整体代入计算即可；
②设AC＝a、BC＝b，由题意可知AB＝a+b＝7，S1+S2＝a2+b2＝23，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab，求出ab即可．
解：（1）图1组整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，
图1中4个部分面积的和为a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：①；
（2）①∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝25﹣6
＝19；
②设AC＝a、BC＝b，则AB＝a+b＝7，S1+S2＝a2+b2＝23，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝49﹣23
＝26，
∴S阴影部分＝ab
＝．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
23．已知：在等边△ABC中，点E是AB边所在直线上的一个动点（E与A、B两点均不重合），点D在CB的延长线上，且ED＝EC．

（1）如图①，当E是AB边的中点时，求证：AE＝BD；
（2）如图②，当E是线段AB边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
（3）若点E是线段AB的延长线上任一点，ED＝EC，AE＝2，AC＝1，求CD的长．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出∠D＝∠DEB，则BD＝BE，即可得出结论；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，证△AEF是等边三角形，得AE＝EF＝AF，再证△DEB≌△ECF（AAS），得BD＝EF，即可得出结论；
（3）过E作EF∥BC交CA的延长线于F，则△AEF为等边三角形，得AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，再证△CEF≌△EDB（AAS），得BD＝EF＝2，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴，
∵DE＝CE，
∴∠D＝∠ECB＝30°，
∵∠ABC＝∠D+∠DEB，
∴∠DEB＝∠ABC﹣∠D＝30°，
∴∠D＝∠DEB，
∴BD＝BE，
∴AE＝BD；

（2）解：当点E为线段AB上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：
如图②，过E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD；

（3）解：如图③，过E作EF∥BC交AC的延长线于F，

则△AEF为等边三角形，∠ECD＝∠CEF，
∴AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，
∵EC＝ED，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠CEF＝∠D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝1，∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠F＝∠DBE，
在△CEF和△EDB中，
，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD＝EF＝2，
∴CD＝BD+AC＝2+1＝3．
【点评】本题是三角形综合题目，考查的是等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．在四边形ABCD中．

（1）如图1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，探究图中EF，BE，DF之间的数量关系．
小林同学探究此问题的方法是：延长CB到点G，使BG＝DF．连接AG，先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得出EF、BE、DF之间的数量关系，他的结论是 　EF＝BE+DF　；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若EF＝BF+DE，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得结论；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
解：（1）结论：EF＝BE+DF．
理由：如图1，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，

在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AF＝AG，
∴∠FAG＝∠DAB，
∵∠EAF＝∠DAB，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SSS），
∴EF＝EG＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF；

（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠FAG＝∠DAB，
∵∠EAF＝∠DAB，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SSS），
∴EF＝EG＝BE+DF；

（3）结论：∠EAF＝180°﹣∠DAB．
理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
25．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　∠BAE+∠FAD＝∠EAF　．

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系．

【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝DF+DG＝FG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；

（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；

（3）结论：∠EAF＝180°﹣∠DAB．
理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．