2022-2023学年浙江省金华市义乌市后宅中学九年级（下）期初数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年浙江省金华市义乌市后宅中学九年级（下）期初数学试卷(解析版)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省金华市义乌市后宅中学九年级（下）期初数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．已知线段a、b、c满足关系＝，且a＝3，c＝6，则b等于（　　）
A．4 B．5 C．2 D．3
2．关于抛物线y＝（x+2）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝2，y有最小值是3
B．对称轴是直线x＝﹣2，y有最大值是3
C．对称轴是直线x＝2，y有最大值是3
D．对称轴是直线x＝﹣2，y有最小值是3
3．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（　　）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
4．在六张卡片上分别写有5，﹣，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝45°，则∠CAD＝（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
6．如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B，C，D，使A，B，C在同一条直线上，且AC⊥AP；使CD⊥AC且P，B，D三点在同一条直线上．若测得AB＝10m，BC＝2m，CD＝6m，则A，P两点间的距离为（　　）

A．60m B．40m C．30m D．20m
7．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
8．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　）

A． B． C． D．
9．如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C． D．
10．已知函数，则使y＝k成立的x值恰好有4个，则k的值可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．若＝，则＝　 　．
12．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 　 　个．
13．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于点E，交对角线AC于点F，若＝，则＝　 　．

14．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+1，当﹣2＜x＜4时，则y的取值范围是 　 　．
15．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为 　 　cm．

16．如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，AB⊥BC，CD⊥BC．出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧，与上部面板线段AE相接于点E，与CD相切于点D．测得BC＝24cm，CD＝18cm．进纸盘CH可以随调节扣HF向右平移，CH＝18cm，HF＝2cm．当HF向右移动6cm至H′F′时，点A，D，F'在同一直线上，则AB的长度为 　 　cm．若点E到AB的距离为16cm，tanA＝4，连接PO，线段OP恰好过的中点．若点P到直线BC的距离为32cm，则PE＝　 　cm．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．计算：．
18．某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　 　人，在扇形统计图中，m的值是　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
19．已知：在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 　 　；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 　 　；
（3）求△A2B2C2的面积．

20．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为58.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．
（2）该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

21．如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．

22．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
23．如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．

（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标．

24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．已知线段a、b、c满足关系＝，且a＝3，c＝6，则b等于（　　）
A．4 B．5 C．2 D．3
【分析】由＝，根据比例的基本性质可得b2＝ac，再将a＝3，c＝6代入计算即可求出b的值，注意线段的长度不能是负数．
解：∵线段a、b、c满足关系＝，
∴b2＝ac，
∵a＝3，c＝6，b＞0，
∴b＝＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段，掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
2．关于抛物线y＝（x+2）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝2，y有最小值是3
B．对称轴是直线x＝﹣2，y有最大值是3
C．对称轴是直线x＝2，y有最大值是3
D．对称轴是直线x＝﹣2，y有最小值是3
【分析】直接根据顶点式确定最值即可确定正确的选项．
解：抛物线y＝（x+2）2+3的对称轴为直线x＝﹣2，当x＝﹣2时有最小值3，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的最值，能够化为顶点式是解答本题的关键，难度不大．
3．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（　　）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
【分析】由黄金分割的定义和黄金比代入计算即可
解：由题意得：国旗的宽约为×2≈1.2（米），
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
4．在六张卡片上分别写有5，﹣，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝ 且 0≤P（A）≤1．
解：在六张卡片上分别写有5，﹣，3.1415，π，0，六个数，
其中无理数π和两个，
所以卡片上的数为无理数的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，如果A为随机事件，那么0＜P（A）＜1．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝45°，则∠CAD＝（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数，继而求得∠CAD的度数．
解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝45°．
故选：B．

【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B，C，D，使A，B，C在同一条直线上，且AC⊥AP；使CD⊥AC且P，B，D三点在同一条直线上．若测得AB＝10m，BC＝2m，CD＝6m，则A，P两点间的距离为（　　）

A．60m B．40m C．30m D．20m
【分析】由垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用两角相等的两个三角形相似得到三角形APB与三角形DCB相似，由相似得比例求出所求即可．
解：∵AP⊥AC，CD⊥AC，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵∠ABP＝∠CBD，
∴△APB∽△DCB，
∴＝，
∵AB＝10m，BC＝2m，CD＝6m，
∴AP＝＝＝30（m）．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】求出AB，BC，可得AB＝BC，推出∠ACB＝∠CAB，由此即可解决问题．
解：∵AB＝5，BC＝＝5，AC＝＝，
∴BA＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴cos∠ACB＝cos∠CAB＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意求得AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，∠ABE＝∠DBF＝30°，然后运用分割转化的数学思想，将阴影部分的面积转化为S扇形ABE与S扇形BDF的之差，借助扇形的面积公式，即可解决问题．
解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴AC＝BC＝2，
∵∠ABE＝30°，
∴∠DBF＝30°，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴DB＝AC＝2，
由旋转变换可知，△BDE≌△BFA，
∴S△BDE＝S△BFA，
∴S阴影＝S扇形ABE+S△BDE﹣S△BFA﹣S扇形BDF
＝S扇形ABE﹣S扇形BDF
＝﹣
＝π﹣π
＝π．
故选：C．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、解直角三角形、扇形的面积公式等几何知识点及其应用问题，明确S阴影＝S扇形ABE﹣S扇形BDF是解题的关键．
10．已知函数，则使y＝k成立的x值恰好有4个，则k的值可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有4个的k值．
解：函数的图象如图：
根据图象知道当﹣1＜y＜3时，对应成立的x值恰好有4个，
所以﹣1＜k＜3．
故选：C．

【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．若＝，则＝　　．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 　4　个．
【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴＝，
解得：x＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．
13．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于点E，交对角线AC于点F，若＝，则＝　　．

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠EBC＝∠AEB，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC＝∠AEB＝∠ABE，AB＝AE，
∵＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质和角平分线的性质，根据相似三角形的性质得出＝＝是解题关键．
14．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+1，当﹣2＜x＜4时，则y的取值范围是 　﹣23＜y≤2　．
【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，再根据函数的性质求出y的取值范围．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2+1）2+2＝1，
x＝4时，y＝﹣（4+1）2+2＝﹣23，
∴当﹣2≤x≤4时，y的取值范围为﹣23＜y≤2，
故答案为：﹣23＜y≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为 　π　cm．

【分析】设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠EAC＝30°，再利用弧长公式计算即可．
解：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，OF，

∵AB＝6，AO＝BO＝6，
∴AB＝AO＝BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OAB＝60°
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB＝2∠OAB＝120°，
∴∠EAC＝120°﹣90°＝30°，
∵AD＝AB＝6，
∴点D运动的路径长为：＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．
16．如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，AB⊥BC，CD⊥BC．出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧，与上部面板线段AE相接于点E，与CD相切于点D．测得BC＝24cm，CD＝18cm．进纸盘CH可以随调节扣HF向右平移，CH＝18cm，HF＝2cm．当HF向右移动6cm至H′F′时，点A，D，F'在同一直线上，则AB的长度为 　34　cm．若点E到AB的距离为16cm，tanA＝4，连接PO，线段OP恰好过的中点．若点P到直线BC的距离为32cm，则PE＝　2　cm．

【分析】根据题意构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，求出AM，进而求出AB的值；
利用垂径定理可得OP是DE的垂直平分线，得到PE＝PD，在Rt△AEK中利用锐角三角函数可求出AK，进而求出KB的长，通过作平行线构造直角三角形和矩形，设DG＝CT＝acm，则ST＝EQ＝SC+CT＝（a+8）cm，在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理列方程求出a的值即可解答．
解：（1）如图，过点F′作F′M⊥AB，垂足为M，交CD于点N，

由题意得，BM＝CN＝HF＝H′F′＝2cm，
F′M＝24+18+6＝48（cm），
F′N＝18+6＝24（cm），
DN＝18﹣2＝16（cm），
∵AB∥CD，
∴△F′AM∽△F′DN，
∴＝＝＝，
∴AM＝2DN＝2×16＝32（cm），
∴AB＝AM+MB＝32+2＝34（cm），
故答案为：34；
（2）如图3，过点E作BC的平行线交AB于点K，交过点P作AB的平行线与点Q，连接OE，OD，OD的延长线交PT于点G，
∴四边形KESB、四边形EQTS、四边形KQTB均是矩形，
在Rt△AEK中，EK＝16cm，tanA＝4，

∴AK＝EK＝4cm，
∴KB＝QT＝AB﹣AK＝34﹣4＝30（cm），
由（1）可得：DC＝16+2＝18（cm），
∴QG＝QT﹣GT＝30﹣18＝12（cm），
SC＝BC﹣BS＝24﹣16＝8（cm），
PQ＝PT﹣QT＝PT﹣KB＝32﹣30＝2（cm），
PG＝PQ+QG＝2+12＝14（cm），
设DG＝CT＝acm，则ST＝EQ＝SC+CT＝（a+8）cm，
∵线段OP恰好过的中点，
∴OP是DE的垂直平分线，EP＝PD，
在Rt△PEQ，Rt△PDG中由勾股定理可得，
EQ2+PQ2＝DG2+PG2＝PE2，
即（a+8）2+22＝a2+142，
解得a＝8，
即：EQ＝a+8＝16（cm），
∴PE＝＝＝＝2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，作垂线或平行线构造直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．计算：．
【分析】分别根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
解：原式＝1+4×﹣2﹣+1
＝1+2﹣2﹣+1
＝2﹣．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质是解题的关键．
18．某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　50　人，在扇形统计图中，m的值是　30%　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）首先用选舞蹈课的人数除以它占本次调查的学生总人数的百分率，求出本次调查的学生共有多少人；然后用选乐器课的人数除以本次调查的学生总人数，求出在扇形统计图中，m的值是多少即可；
（2）首先用本次调查的学生总人数乘参加绘画课、书法课的人数占总人数的百分率，求出参加绘画课、书法课的人数各是多少；然后根据参加绘画课、书法课的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）首先判断出在被调查的学生中，选修书法的有3名男同学，2名女同学，然后应用列表法，写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是多少即可．
解：（1）20÷40%＝50（人）
15÷50＝30%
答：本次调查的学生共有50人，在扇形统计图中，m的值是30%．

（2）50×20%＝10（人）
50×10%＝5（人）
．

（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，

男
男
男
女
女
男
/
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
/
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
/
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
/
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
（女，女）
/
所有等可能的情况有20种，所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则P（一男一女）＝＝
答：所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是．
故答案为：50、30%．
【点评】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，要熟练掌握，解答此题的关键是从两种统计图中获取信息并利用获取的信息解题，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．已知：在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 　（2，﹣2）　；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 　（1，0）　；
（3）求△A2B2C2的面积．

【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据位似的性质作图，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

点C1的坐标是（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

点C2的坐标是（1，0）．
故答案为：（1，0）．
（3）△A2B2C2的面积为6×4﹣﹣﹣＝10．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、位似变换、三角形的面积，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．
20．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为58.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．
（2）该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

【分析】（1）根据题意可得OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，利用锐角三角函数列式计算即可；
（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
解：（1）根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，
在Rt△OBC中，BC＝＝≈＝1.00（米），
在Rt△OAC中，AC＝＝≈＝3.20（米），
∴AB＝AC﹣BC＝3.2﹣1＝2.20（米）．
答：测温区域的宽度AB为2.2米；
（2）根据题意可知：
AC＝AB+BC＝2.53+BC，
在Rt△OBC中，BC＝≈，
∴OC＝1.60BC，
在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC≈（2.53+BC）×0.50，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.50，
解得BC＝1.15米，
∴OC＝1.60BC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．
21．如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．

【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等及等腰三角形的性质可得∠OEB＝∠CBE，从而OE∥BC，再由BC⊥AC可证得DE⊥AC，根据切线的判定定理可得答案；
（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOE中，由勾股定理可得关于x的方程，解得x的值，则可求得AB的长，由OE∥BC，可得△AOE∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式，解出BC的值即可．
解：（1）证明：连接OE，

∵E是的中点，
∴∠OBE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OEB＝∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC．
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为x，
∵OE⊥AC，AD＝4，，
∴由勾股定理得：x2+＝（x+4）2，
解得：x＝2．
∴AB＝AD+OD+OB＝4+2+2＝8．
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC．
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．
【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理在计算中的应用及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y＝300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w＝（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x＝52时w最大，从而计算出x＝52时对应的w的值即可．
解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2640元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．
23．如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．

（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．设PH＝OH＝x，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PB即可；
（3）如图2中，设PA'交OB于点T．利用相似三角形的性质求出ET，再求出PB，可得结论．
解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴，
∴B（8，6）；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H，

∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2中，设PA'交OB于点T．

∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A'，
∴∠A'＝∠B，
∵A'P⊥OB，
∴∠ETA'＝∠BAO＝90°，
∴△A'TE∽△BAO，△AOB∽△TPB
∴，
∴，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A，B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，可分别表达△OAB和△PAB的面积，根据题意列出方程求出PN的长，设出点P的坐标，表达PN的长，求出点P的坐标即可；
（3）由PD∥OB，可得△DPC∽△BOC，所以CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，所以＝，＝，则+＝．设直线AB交y轴于点F．则F（0，），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，易证PDG∽△OBF，所以PD：OB＝PG：OF，设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，所以+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．利用二次函数的性质可得出最值．
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，

∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，
∴PN＝．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），
∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵＝＝，＝＝，
∴+＝．
设直线AB交y轴于点F．则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，

∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，
∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4，
∴当n＝时，+的最大值为．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．