2023年中考数学考前强化复习《圆 解答题》精选练习(含答案)

这是一份2023年中考数学考前强化复习《圆 解答题》精选练习(含答案)，共17页。
2023年中考数学考前强化复习《圆 解答题》精选练习1.如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F.(1)求证：D是AC的中点；(2)若AB＝12，sin∠CAE＝，求CF的值.   2.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；(3)在(2)条件下，求BF的长.   3.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的长.     4.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若tanA＝，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；(3)在(2)的条件下，若OF＝1，求圆O的半径.       5.如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG＝∠ABD.求证：AD•CE＝DE•DF；说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.①∠CDB＝∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝90°.    6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF＝BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.(1)求证：△ABC≌△EBF；    (2)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； (3)若AB＝1，求HG•HB的值.      7.如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F.(1)求证：AE·BC＝AD·AB；(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，求AF的长．     8.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长.     9.如图，以O为圆心的弧BD的度数为60°，∠BOE＝45°，DA⊥OB于点A，EB⊥OB于点B.(1)求的值；(2)若OE与弧BD交于点M，OC平分∠BOE，连接CM，说明：CM是⊙O的切线；(3)在(2)的条件下，若BC＝2，求tan∠BCO的值.     10.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.(1)试说明CE是⊙O的切线；(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当0.5CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长.
参考答案1.(1)证明：连接DB，∴AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴DB⊥AC.又∵AB＝BC. ∴D是AC的中点.(2)解：∵BF与⊙O相切于点B，∴∠ABF＝90°，∵∠CAE＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠F，∴sin∠CAE＝sin∠F＝sin∠ABD，∴在△ADB和△ABF中，∵AB＝12，∴AF＝8，AD＝3，∴CF＝AF﹣AC＝2.2.(1)证明：连接OB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠BCF，∴∠OBC＝∠BCF，∴∠ABO＝∠AEC＝90°，∴OB⊥AE，∴AE是⊙O的切线；(2)解：连接DF交OB于G，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠CFD＝∠CEA，∴DF∥AE，∴∠CDF＝∠CAB，∵∠CDF＝∠CBF，∴∠A＝∠CBF，∴cos∠CBF＝cos∠CEF＝，∵AE＝8，∴AC＝10，∴CE＝6，∵DF∥AE，∴DF⊥OB，∴DG＝GF＝BE，设BE＝2x，则DF＝4x，CD＝5x，∴OC＝OB＝2.5x，∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，∵AO2＝AB2+OB2，∴(10﹣2.5x)2＝(8﹣2x)2+(2.5x)2，解得：x＝(负值舍去)，∴⊙O的半径＝；(3)解：由(2)知BE＝2x＝3，∵AE是⊙O的切线；∴∠BCE＝∠EBF，∵∠E＝∠E，∴△BEF∽△CEB，∴，∴＝，∴EF＝，∴BF＝.3.(1)证明：如图，连接OD，AD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.又∵OA＝OB，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴直线DF与⊙O相切.(2)解：如图，连接BE.∵BD＝2，∴CD＝BD＝2.∵CF＝2，∴DF＝＝4，∴BE＝2DF＝8.∵cos∠C＝cos∠ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝10，∴AE＝＝6.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG，∴＝，∴＝，∴BG＝.4.(1)证明：连结OD，如图，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)线段AB、BE之间的数量关系为：AB＝3BE.证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，∵OA＝OD[来源:Zxxk.Com]∴∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，而∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴，∵Rt△ABD中，tanA＝＝∴＝∴AE＝2DE，DE＝2BE∴AE＝4BE∴AB＝3BE；(3)设BE＝x，则DE＝EF＝2x，AB＝3x，半径OD＝x∵OF＝1，∴OE＝1＋2x在Rt△ODE中，由勾股定理可得：(x)2＋(2x)2＝(1＋2x)2，∴x＝﹣(舍)或x＝2，∴圆O的半径为3.5.（1）证明：连接AF，∵DF是⊙O的直径，∴∠DAF＝90°，∴∠F+∠ADF＝90°，∵∠F＝∠ABD，∠ADG＝∠ABD，∴∠F＝∠ADG，∴∠ADF+∠ADG＝90°∴直线CD是⊙O的切线∴∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF＝90°；（2）选取①完成证明证明：∵直线CD是⊙O的切线，∴∠CDB＝∠A.∵∠CDB＝∠CEB，∴∠A＝∠CEB.∴AD∥EC.∴∠DEC＝∠ADF.∵∠EDC＝∠DAF＝90°，∴△ADF∽△DEC.∴AD：DE＝DF：EC.∴AD•CE＝DE•DF.6.(1)证明：∵EF是圆的直径
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，即∠BFE＋∠BEF＝90°
∵DF⊥AC
∴∠CDE＝90°，即∠C＋∠DEC＝90°
∵∠DEC＝∠BEF
∴∠C＝∠BFE
在△ABC和△EBF中

∴△ABC≌△EBF(ASA)
(2)BD与○O相切
理由：连接OB，

∵DF是AB的中垂线,∠ABC＝90∘，
∴DB＝DC＝DA，
∴∠DBC＝∠C.
由(1)∠DCB＝∠EFB，而∠EFB＝∠OBF，
∴∠DBC＝∠OBF，
∴∠DBO＝∠DBC＋∠EBO＝∠OBF＋∠EBO＝90°，
∴DB⊥OB，OB是半径
∴BD与⊙O相切。
(3)连接EH，

∵BH是∠EBF的平分线，
∴∠EBH＝∠HBF＝45°.∠HFE＝∠HBE＝45°.
又∠GHF＝∠FHB，
∴△GHF∽△FHB，
∴
∴HF2＝HG•HB，
∵⊙O是Rt△BEF的内接圆，
∴EF为⊙O的直径，
∴∠EHF＝90°，
又∠HFE＝45°，
∴EH＝HF，
∴EF2＝EH2＋HF2＝2HF2  ，
在Rt△ABC中,AB＝1,
tan∠C＝＝，
∴BC＝2,
∴AC＝
由(1)知△ABC≌△EBF，
∴EF＝AC＝，
∴2HF2＝EF2＝5，
∴HF2＝，
故HG•HB＝HF2＝.7.(1)证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵AE为半圆O的切线，∴∠BAE＝90°，∴∠EAD＋∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠ABC，∵OD⊥AC，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴△EAD∽△ABC，∴＝，∴AE·BC＝AD·AB；(2)解：如解图，设BF与半圆O交于点G，连接AG，则∠AGB＝∠ACB＝90°，∵∠ADG＝∠BDC，∴△ADG∽△BDC，∴＝，∵在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝10×＝6，∴AC＝＝8，∵OD⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝4，∴＝＝＝，设AG＝3x，则DG＝2x，由勾股定理得AG2＋DG2＝AD2，即9x2＋4x2＝42，解得x＝，则AG＝，∴BG＝＝，∵∠AFG＋∠FAG＝90°，∠FAG＋∠GAB＝90°，∴∠AFG＝∠BAG，∴△AGF∽△BGA，∴＝，即＝，∴AF＝. 8.(1)证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；(2)证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠PCB＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB.又∵∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；(3)解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴.又∵tan∠ABC＝，∴，∴，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k＋7，OC＝7，∵PC2＋OC2＝OP2，∴(4k)2＋72＝(3k＋7)2，∴k＝6 (k＝0不合题意，舍去).∴PC＝4k＝4×6＝24.9.解：(1)∵EB⊥OB，∠BOE＝45°，∴∠E＝∠EOB，∴BE＝BO，在Rt△OAD中， ＝sin∠DOA＝，∴＝，∴＝＝；(2)∵OC平分∠BOE，∴∠BOC＝∠MOC，在△BOC和△MOC中，，∴△BOC≌△MOC，∴∠OMC＝∠OBC＝90°，∴CM是⊙O的切线；(3)∵△BOC≌△MOC，∴CM＝CB＝2，∵∠E＝∠EOB＝45°，∴CE＝CM＝2，∴BE＝2＋2，∴OB＝2＋2，∴tan∠BCO＝＋1. 10.解：(1)连接OC，如图1，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，              ∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；              (2)过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，              由题可得CH＝h.在Rt△OHC中，CH＝OCsin∠COH，∴h＝OCsin60°＝OC，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；              (3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，              则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝(180°﹣60°)＝60°.              ∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO.过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DCsin∠DCH＝DCsin30°＝DC，∴CD＋OD＝DH＋FD.根据两点之间线段最短可得：              当F、D、H三点共线时，DH＋FD(即CD＋OD)最小，              此时FH＝OFsin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8.∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8.