初中数学4.1 一元二次方程达标测试

考向07一元二次方程、分式方程的解法及应用—能力提升

【知识梳理】

考点一、一元二次方程

1.一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．

它的一般形式为(a≠0)．

2.一元二次方程的解法

    （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．

    （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．

（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．

    （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．

方法指导：

直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．

3．一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为．

△>0方程有两个不相等的实数根；

△＝0方程有两个相等的实数根；

△<0方程没有实数根．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．

方法指导：    △≥0方程有实数根.

4．一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．

考点二、分式方程

    1.分式方程的定义

分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．

方法指导：

（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.

 2.分式方程的解法

去分母法，换元法．

3.解分式方程的一般步骤
　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
　　　(2)解这个整式方程；
　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.

口诀：“一化二解三检验”.

方法指导：

解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．

考点三、一元二次方程、分式方程的应用

1．应用问题中常用的数量关系及题型

    (1)数字问题(包括日历中的数字规律)

    关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．

    (2)体积变化问题

    关键是寻找其中的不变量作为等量关系.

    (3)打折销售问题

    其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．

    明确这几个关系式是解决这类问题的关键．

    (4)关于两个或多个未知量的问题

    重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.

    (5)行程问题

    对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．

    注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.

    (6)和、差、倍、分问题

    增长量＝原有量×增长率；

    现有量＝原有量+增长量；

    现有量＝原有量-降低量．

2．解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

方法指导：

 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．

      注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．

【能力提升训练】

一、选择题
1. 已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（   ）

A．      B．     C．     D．

2．方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　　）

A．0    B．1      C．2        D．3

3．若方程的两根为、，则的值为(    ).

A．3        B．－3     C．    D．

4．如果关于x的方程

    A.   B.   C.   D. 3

5．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）

A．1米      B．1.5米     C．2米      D．2.5米

6．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（    ）

A．6     B．7   C．8   D．9

二、填空题

7．方程﹣1=的解为　    　

8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是            ．

9．已知x1=－1是方程的一个根，则m的值为        ；方程的另一根x2=         .

10．某市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为，由题意可列方程为_____       ___．

11．若关于ｘ的方程　－１＝０有增根，则ａ的值为        .

12．当 k的值是               时，方程 = 只有一个实数根.

三、解答题

13．解下列分式方程：

（1）；

（2）．

14. 若关于x 的方程  － ＝ 只有一个解，试求ｋ值与方程的解．

15．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2010年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以

后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元．

（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；

（2）从2010年到2012年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？

16. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．

题甲：若关于的一元二次方程有实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）设，求t的最小值．

题乙：如图（16），在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．

（1）若，求的值；

（2）若点P为BC边上的任意一点，求证．

　　我选做的是_______题．

答案与解析

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】将－a代入中，则a2－ab+a=0，则a－b+1=0∴a－b=－1（恒为常数）.

2.【答案】C；

【解析】∵方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，

∴（a+1）x+a+1=0，

解得x=﹣1，

当x=﹣1时，

a=2，故选C．

3.【答案】B；

【解析】.

4.【答案】B；

【解析】把方程两边都乘以

        若方程有增根，则x=3,即5+m=3,m=-2.

5.【答案】A；

【解析】如图将路平移，设路宽为x米，可列方程为：（30－x）（20－x）=551，

解得：x=1或者x=49（舍去）.

6.【答案】C；

【解析】由题意得方程有实数根，则分两种情况，

当a－6=0时，a=6,此时x=，

当a－6≠0时，△=b2－4ac≥0，解得a≤ ，

综合两种情况得整数的最大值是8.

二、填空题

7．【答案】x=；　

【解析】方程的两边同乘2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3，解得x=．

检验：把x=代入2（3x﹣1）=1≠0．

∴原方程的解为：x=．

8．【答案】且；

【解析】 △＞0且m-1≠0.

9．【答案】m=－4；x2=5；

【解析】由题意得：   解得m=－4

当m=－4时，方程为

解得：x1=－1   x2=5  

所以方程的另一根x2=5.

10．【答案】；

【解析】平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

11．【答案】－１；

【解析】原方程可化为：（ａ－１）ｘ＝－２．

　　  ∵分式方程有增根,　∴　ｘ=1　

　　  把ｘ=1代入整式方程有ａ＝－１.

12．【答案】 －１，０，３； 

【解析】原方程可化为：ｘ２＋２ｘ－ｋ＝０

当⊿=２２＋４ｋ＝０，即ｋ＝－１时，ｘ１＝ｘ２＝－１

当⊿=２２＋４ｋ＞０，即ｋ＞－１时，方程有两个不等实数根．由题意可知：

　 　 ①　当增根ｘ＝0时，代入二次方程有k＝０，方程唯一解为ｘ＝－２；

②  当增根ｘ＝１时，代入二次方程有k＝３，方程唯一解为ｘ＝－３.

所以ｋ＝－１，０，３.

三、解答题

13.【答案与解析】

解：（1）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得

2﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），

解得x=﹣2或1．

检验：把x=1代入（x+1）（x﹣1）=0．

x=1是原方程的增根，

把x=﹣2代入（x+1）（x﹣1）=3≠0．

∴原方程的解为：x=﹣2．

（2）方程的两边同乘x2，得

2（x+1）2+x（x+1）﹣6x2=0，

解得x=﹣或2．

检验：把x=﹣代入x2=≠0．

把x=2代入x2=4≠0．

∴原方程的解为：x1=﹣，x2=2．

14.【答案与解析】

原方程可化为：ｋｘ２－（３ｋ－２）ｘ－１＝０

当ｋ＝０时，原方程有唯一解　ｘ＝

当ｋ≠０时,⊿=（3k－2）2＋4k=5k2＋4（k－1）2　＞０，知方程必有两个不等实数根．

此时由题意可知：

一元二次方程两根，一根是分式方程的根，另一根是分式方程的增根０或１．

当ｘ＝０时，不符合舍去；当ｘ＝１时，代入得ｋ＝，分式方程的解是ｘ＝－２．

所以当ｋ＝０时，原方程有唯一解ｘ＝；当ｋ＝时，原方程有唯一解ｘ＝－２．

15.【答案与解析】

（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则

．

解之，得或（不合题意，舍去）．

所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%．

（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．

A市三年共投资“改水工程”2616万元．

16.【答案与解析】

题甲：

（1）∵一元二次方程有实数根，

∴，

即，

解得．

（2）由根与系数的关系得：，

∴， 

∵，∴，

∴，

即t的最小值为－4．

题乙：

（1）四边形ABCD为矩形，

∵AB=CD，AB∥DC，

∴△DPC ∽△QPB，

∴，

∴，

∴．

      （2）证明：由△DPC ∽△QPB，

得，

∴，

．