考向22 正多边形与圆的有关的证明和计算（基础巩固）-2023年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练+知识梳理+答案与解析

考向22   正多边形与圆的有关的证明和计算

【知识梳理】

考点一、正多边形和圆

1、正多边形的有关概念：

(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
　　(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
　　(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
　　(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
　　(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
    2、正多边形与圆的关系：
　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
　 （3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.

（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：
　　(1)任何正多边形都有一个外接圆.
　　(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

方法指导：

（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.
    （2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.

考点二、圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
 

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为

，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，

全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.

方法指导：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；
 

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
 

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
 

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
 

【专项训练】

一、选择题

1．在半径为12的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是（   ）

A．6π     B．4π    C．2π    D．π

2．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（   ）

A．1    B．    C．    D．

3．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(   )

A．2    B．3    C．    D．

4．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径等于(   )

A．9    B．27    C．3    D．10 

5．如图所示．在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ）

A．     B．    C．    D．

6．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）

A． B． C． D．2

二、填空题

7．已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是________，扇形的弧长是________cm（结果保留π）.

8．如果圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，那么它的侧面积等于________cm2．

9．如图所示，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是________．

10．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为________．

11．如图所示，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是________．

12．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为　          　．

三、解答题

13．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)，求阴影部分的面积及扇形的弧长．

14. 如图所示，已知在⊙O中，AB＝，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求证：；

(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值．

16.如图，纸片ABCD是一个菱形，其边长为2，∠BAD=120°．以点A为圆心的扇形与边BC相切于点E，与AB、AD分别相交于点F、G；

（1）请你判断所作的扇形与边CD的位置关系，并说明理由；

（2）若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥，求该圆锥的全面积．

答案与解析

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】直接用公式.    

2.【答案】C；

【解析】，∴  ．

3.【答案】D；

4.【答案】C；

【解析】设该圆锥的底面半径为r，则，解得r＝3． 

5.【答案】D；

【解析】可转化为以AB为直径的圆的面积减去△ABC的面积．   

6.【答案】C；

【解析】如图，连接AC、BD、OF，

设⊙O的半径是r，

则OF=r，

∵AO是∠EAF的平分线，

∴∠OAF=60°÷2=30°，

∵OA=OF，

∴∠OFA=∠OAF=30°，

∴∠COF=30°+30°=60°，

∴FI=r•sin60°=，

∴EF=，

∵AO=2OI，

∴OI=，CI=r﹣=，

∴，

∴，

∴=，

即则的值是．

故选：C．

二、填空题

7．【答案】120°，2π；

【解析】直接代公式，.

8．【答案】18π；

【解析】圆锥的侧面积公式为S＝πra，所以S＝π×3×6＝18π(cm2)．

9．【答案】6π；

【解析】4条弧长的和可以看作是4个圆的周长减去四个圆在四边形ABCD内的四条弧的长，又由∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴  四边形ABCD内的四条孤长的和为一个圆的周长，

所以所求的四条弧长之和为3个圆的周长：3×2πr＝3×2π×1＝6π．

10．【答案】；

【解析】连接AE，易证AB＝BE＝1，∠AEB＝45°，∴  ∠EAD＝45°，

∴  ．

11．【答案】；

【解析】可求圆锥底面半径，高，

代公式 ．

12．【答案】6﹣2  ；

【解析】如图，连接OB，OF，

根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，

∴BF=OB=2，

∴△BFO的高为；，CD=2（2﹣）=4﹣2，

∴BC=（2﹣4+2）=﹣1，

∴阴影部分的面积=4S△ABC=4×（）•=6﹣2．

故答案为：6﹣2．

三、解答题

13.【答案与解析】

    解  设切点为E，连接AE，则AE⊥BC．

    ∵  ∠C＝∠D＝90°，

    ∴  四边形ADCE是矩形．

    ∴  CE＝AD＝4．

    ∵  BC＝6，∴  BE＝2．

    ∵  BE＝AB，

    ∴  ∠BAE＝30°，AE＝．

    ∴  ∠DAB＝120°．

    ∴  ．

    ．

14.【答案与解析】

     解：（1）连BC，∵  AC为⊙O的直径，∴  ∠ABC＝90°，

∵  AB＝，∠A＝30°，

∴  AC＝2BC，由勾股定理可求AC＝8，又易求∠BOD＝120°，

∴  ．

    （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，

          ∴  ，∴  ．

15.【答案与解析】

    (1)证明：∵  OA＝OC，∴  ∠A＝∠ACO．

∵  ∠COB＝∠A+∠ACO，

∴  ∠COB＝2∠A，

∵  ∠COB＝2∠PCB，

∴  ∠A＝∠ACO＝∠PCB．

∵  AB是⊙O的直径，∴  ∠ACO+∠OCB＝90°．

∴  ∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．

∵  OC是⊙O的直径，∴  PC是⊙O的切线．

(2)证明：∵  PC＝AC，∴  ∠A＝∠P，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．

∵  ∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，

∴  ∠CBO＝∠COB．

∴  BC＝OC，∵  ，∴  ．

 (3)解：如图，连接MA，MB．

∵  点M是的中点，

∴  ，

∴  ∠BCM＝∠ABM．

∵  ∠BMC＝∠BMN，

∴  △MBN∽△MCB，

∴  ，

∴  BM2＝MC·MN．

∵  AB是⊙O的直径，，

∴  ∠AMB＝90°，AM＝BM．

∵  AB＝4，∴  ，

∴  MC·MN＝BM2＝8．

16.【答案与解析】

解：（1）相切；

证明：连接AE、AC，过点A作AH⊥CD，垂足为H，

∵CB与⊙A相切，

∴AE⊥BC，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC平分∠BAD，

∴AE=AH，

∴扇形与边CD相切；

（2）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∴△ABC是等边三角形，又其边长为2，

∴AE=，

∴的长为=π，

则圆锥的侧面积为：×π×=π，

设圆锥的底半径为r，2πr=π，

解得，r=，

则圆锥的底面积为：π×（）2=，

该圆锥的全面积=π+=π．