人教版八年级下册18.2.2 菱形课时训练

这是一份人教版八年级下册18.2.2 菱形课时训练，共20页。

第十八章　平行四边形
18.2.2　菱形
基础过关全练
知识点1　菱形的定义
1.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列条件,能使平行四边形ABCD成为菱形的是(　　)

A.AO=BO　　　　B.AC=AD C.AB=BC　　　　D.OD=AC
知识点2　菱形的性质
2.(2022福建泉州期末)已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=5,AC=6,则BD的长是(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.7　　　　D.8
3.(2020湖北荆门中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为(　　)

A.20　　　　B.30　　　　C.40　　　　D.50
4.图①是不锈钢伸缩电动门,图②是不锈钢伸缩电动门中相邻的三个全等的菱形示意图,根据实际需要可调节A,E间的距离,已知菱形ABCD的边长为20 cm,当A,E间的距离调节到60 cm时,∠DAB的度数是　　　　. 

5.如图,在菱形ABCD中,若∠B=60°,点E从点D出发,沿折线DC-CB方向移动,移动到点B停止,在△ADE形状变化过程中,依次出现的特殊三角形是　　　　　　　　. 

6.(2021贵州黔东南州中考)如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为　　　　度. 

7.(2022天津南开期末)如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,CE∥BD,EB∥AC,连接OE交BC于F.
(1)求证:OE=CB;
(2)如果BD=24,AD=13,求四边形OBEC的周长.

　
　
　
　
知识点3　菱形的面积
8.如图,菱形ABCD的边长为4,∠B=120°,则菱形ABCD的面积为(　　)

A.6　　　　B.43　　　　C.83　　　　D.12
9.【一题多变】如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH=(　　)

A.6　　　　B.245　　　　C.485　　　　D.5
[变式]　如图,在菱形ABCD中,AB=10,AC=12,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为(　　)

A.6　　　　B.8　　　　C.245　　　　D.485
10.【教材变式·P56例3变式】如图所示,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD的长为10 cm,则对角线AC的长为　　　　
cm,菱形ABCD的面积为　　　　cm2. 

11.已知菱形ABCD的面积为24 cm2,对角线AC的长为6 cm,则菱形的另一条对角线BD的长为　　　　,菱形ABCD的周长为　　　　. 
知识点4　菱形的判定
12.如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)

A.AC=BD　　　　 B.AB=AD　　　　
C.AC⊥BD　　　　D.∠ABD=∠CBD
13.(2020广西玉林中考)如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD　　　　菱形(填“是”或“不是”). 

14.【新考法】(2022浙江嘉兴中考)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠:
证明:∵AC⊥BD,OB=OD,
∴AC垂直平分BD.
∴AB=AD,CB=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
小洁:
这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.

　
　
　
　
15.【面积法】如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若AB=3,AC=4,求EF的长.

　
　
　
　　
能力提升全练
16.(2022海南海口期末,9,★☆☆)如图,在菱形ABCD中,E是BC的中点,AE⊥BC,连接AC,则∠BAD等于(　　)

A.60°　　　　B.100°　　　　C.110°　　　　D.120°
17.(2022上海联考,5,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,平行四边形BCDE的顶点E在边AB上,连接CE、AD.添加一个条件,可以使四边形ADCE成为菱形的是(　　)

A.CE⊥AB　　　　B.CD⊥AD　　　　C.CD=CE　　　　D.AC=DE
18.(2020黑龙江龙东地区中考,8,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为(　　)

A.4　　　　B.8　　　　C.13　　　　D.6
19.(2022内蒙古呼和浩特中考,9,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,点E是DA中点,F是对角线AC上一点,且∠DEF=45°,则AF∶FC的值是(　　)

A.3　　　　B.5+1　　　　C.22+1　　　　D.2+3
20.(2022辽宁营口中考,14,★☆☆)如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是　　　　.(写出一个即可) 

21.(2022黑龙江哈尔滨中考,20,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF,若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为　　　　. 

22.(2021山西中考,13,★★☆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,AC=6,OE∥AB,交BC于点E,则OE的长为　　　　. 

23.(2022江苏无锡期中,17,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,作∠BAD的平分线AE分别交BD、BC于点O、E.若EC=3,CD=4,那么AE的长为　　　　. 

24.【学科素养·推理能力】(2021湖北十堰中考,21,★★☆)如图,已知在△ABC中,D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点A作AF∥BC交直线DE于点F,连接AE、CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若CF=2,∠FAC=30°,∠B=45°,求AB的长.

　
　
　
　
素养探究全练
25.【推理能力】如图,在平面直角坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,点B在y轴上,OA=1.将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2 021次,点B的落点依次为B1,B2,B3,B4,…,则点B2 023的坐标为(　　)

A.(1 347,0)　　　　B.1 347.5,32
C.(1 349,0)　　　　D.1 349.5,32
26.【几何直观】已知△ABC和△DEF都是边长为10 cm的等边三角形,且B、C、D、E在同一直线上,连接AD、CF.若BD=3 cm,△ABC沿着BE方向以每秒1 cm的速度运动,设△ABC的运动时间为t s.
(1)当t为何值时,四边形ADFC是菱形?
(2)当t为何值时,四边形ADFC是矩形?并求其面积.
(3)当t为何值时,四边形ADFC的面积是1003 cm2?

　
　
　
　
　
答案全解全析
基础过关全练
1.C　根据菱形的定义可得,当AB=BC时,▱ABCD是菱形,故选C.
2.D　如图,∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,根据勾股定理,得OB=AB2-OA2=52-32=4,
∴BD=2OB=8,故选D.

3.C　∵E,F分别是AD,BD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,∴EF=12AB=5,∴AB=10,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=AD=AB=10,
∴菱形ABCD的周长=4AB=40.故选C.
4.答案　120°
解析　连接AE(图略),由已知得A、C、E三点共线,且AE=3AC,
∵AE=60 cm,∴AC=20 cm,
∵菱形的边长AB=20 cm,∴BC=AB=20 cm,
∴AC=AB=BC,∴△ABC是等边三角形,
∴∠CAB=60°,∴∠DAB=2∠CAB=120°.
5.答案　直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
解析　因为∠B=60°,所以菱形由两个等边三角形组合而成,当AE⊥DC时,△ADE为直角三角形;
当点E到达点C处时,△ADE为等边三角形;
当E为CB中点时,△ADE为直角三角形;
当点E与点B重合时,△ADE为等腰三角形.
6.答案　64
解析　∵四边形ABCD为菱形,∠ADB=32°,
∴∠CDB=∠ADB=32°,AD∥BC,
∴∠DCE=∠ADC=∠ADB+∠CDB=64°.故答案为64.
7.解析　(1)证明:∵点O是菱形ABCD对角线的交点,
∴BD⊥AC,∴∠BOC=90°,
又∵CE∥BD,EB∥AC,
∴四边形OBEC为矩形,∴OE=CB.
(2)∵点O是菱形ABCD对角线的交点,
∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD=12BD=12,
∴∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,OA=AD2-OD2=132-122=5,
∴OC=5,∴四边形OBEC的周长=2×(5+12)=34.
8.C　连接BD(图略),∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AD=AB,S△ABD=S△BCD.
又∵∠ABC=120°,∴∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∴S△ABD=34×42=43,
∴菱形ABCD的面积是83.故选C.
9.B　∵四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,
∴OA=OC=4,OB=OD=3,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,AB=32+42=5,
∵S菱形ABCD=12AC·BD=DH·AB,
∴12×8×6=DH·5,∴DH=245.故选B.
[变式]　D　如图,设AC与BD的交点为O,

∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=6,BO=DO,AC⊥BD,
∴BO=AB2-AO2=100-36=8,∴BD=16,
∵S菱形ABCD=AB·DE=12AC·BD,
∴DE=12×1620=485,故选D.
10.答案　24;120
解析　∵四边形ABCD为菱形,BD=10 cm,
∴∠AED=90°,DE=12BD=12×10=5(cm),AC=2AE,
∵AD=13 cm,∴AE=AD2-DE2=132-52=12(cm),
∴AC=2AE=2×12=24(cm),
∴S菱形ABCD=12BD·AC=12×10×24=120(cm2).
11.答案　8 cm;20 cm
解析　∵菱形ABCD的面积=12AC·BD=24 cm2,AC=6 cm,∴BD=8 cm.
∴菱形ABCD的边长=622+822=5(cm),
∴其周长=4×5=20(cm).
12.A　∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
当AC=BD时,可判定▱ABCD是矩形;
当AB=AD或AC⊥BD时,均可判定▱ABCD是菱形;
当∠ABD=∠CBD时,
由AD∥BC得,∠CBD=∠ADB,∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形.故选A.
13.答案　是
解析　如图,过A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,

∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
由题意知,AE=AF,
∴S平行四边形ABCD=BC·AE=DC·AF,
∴BC=DC,∴▱ABCD是菱形.
14.解析　本题以小惠与小洁对话的形式呈现题目,考查菱形的判定.
赞成小洁的说法,补充条件:OA=OC.证明如下:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.
15. 解析　(1)证明:∵AD∥BC,AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∵∠BAC=90°,E是BC的中点,
∴AE=CE=12BC,∴四边形AECD是菱形.
(2)过A作AH⊥BC于点H,如图,

∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC=AB2+AC2=5,
∵△ABC的面积=12BC·AH=12AB·AC,
∴AH=AB·ACBC=125,
∵四边形AECD是菱形,∴CD=CE,
∵S▱AECD=CE·AH=CD·EF,∴EF=AH=125.
能力提升全练
16.D　∵E是BC的中点,AE⊥BC,∴AB=AC,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AD∥BC,
∴AB=BC=AC,∠BAD+∠ABC=180°,
∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-60°=120°,故选D.
17.C　添加CD=CE,可以使四边形ADCE成为菱形.理由:如图,设AC与ED交于点O,

∵四边形BCDE是平行四边形,∴DE∥BC,BE∥CD,
∴∠AOE=∠ACB=90°,∴AC⊥DE,
∵CD=CE,∴OD=OE,
∵AB∥CD,∴∠EAO=∠DCO,
在△AOE和△COD中,∠EAO=∠DCO,∠AOE=∠COD,OE=OD,
∴△AOE≌△COD(AAS),∴OA=OC,
∵OD=OE,∴四边形ADCE是平行四边形,
∵CE=CD,∴四边形ADCE是菱形.
故选C.
18.A　∵四边形ABCD是菱形,OA=6,
∴OC=OA=6,OB=OD,AC⊥BD,∴AC=12,
∵DH⊥AB,∴∠BHD=90°,∴OH=12BD,
∵S菱形ABCD=12AC·BD=12×12×BD=48,
∴BD=8,∴OH=12BD=4.故选A.
19.D　连接DB交AC于点O,连接OE,BE,

∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴∠DAC=12∠DAB=30°,AC⊥BD,AC=2AO,AB=AD,
∵∠AOD=90°,点E是DA中点,
∴OE=AE=DE=12AD,∴设OE=AE=DE=a,
∴AD=2a,∴OD=12AD=a,
在Rt△AOD中,AO=AD2-DO2=(2a)2-a2=3a,
∴AC=2AO=23a.
∵EA=EO,∴∠EOA=∠EAO=30°,
∴∠DEO=∠EAO+∠EOA=60°,
∵∠DEF=45°,∴∠OEF=∠DEO-∠DEF=15°,
∴∠EFO=∠EOA-∠OEF=15°,
∴∠OEF=∠EFO,∴OF=OE=a,
∴AF=AO+OF=3a+a,∴CF=AC-AF=3a-a,
∴AFCF=3a+a3a-a=3+13-1=2+3,故选D.
20.答案　AB=AD(答案不唯一)
解析　这个条件可以是AB=AD.理由如下:
由平移的性质得AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABED是平行四边形,
∵AB=AD,∴平行四边形ABED是菱形.(答案不唯一)
21.答案　25
解析　∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,CO=AO=4,BO=DO,
∴AE=AO2+EO2=16+9=5,∴BE=AE=5,
∴BO=5+3=8,∴BC=BO2+CO2=64+16=45,
∵点F为CD的中点,BO=DO,∴OF=12BC=25.
22.答案　52
解析　∵菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∴AB∥CD,OC=12AC=3,OB=12BD=4,AC⊥BD,∠ABD=∠CBD,∠ACB=∠ACD.
∵OE∥AB,∴AB∥CD∥OE,
∴∠ABO=∠BOE,∠EOC=∠DCO,
∴∠BOE=∠OBE,∠EOC=∠ECO,∴BE=OE=CE.
在Rt△BCO中,由勾股定理得BC=32+42=5,
∴OE=52.
23.答案　25
解析　如图,连接DE.

在Rt△CDE中,EC=3,CD=4,
根据勾股定理,得DE=42+32=5,
∵AB=AD,AE为∠BAD的平分线,
∴AE垂直平分BD,∠BAE=∠DAE,
∴BE=DE=5,OB=OD.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE=AD=DE,
∴BC=BE+EC=8,四边形ABED是菱形,∴AE=2OE,
由勾股定理得BD=CD2+BC2=42+82=45,
∴OB=25,∴OE=BE2-BO2=52-(25)2=5,
∴AE=2OE=25,故答案为25.
24.解析　(1)证明:∵点D是AC的中点,∴AD=CD,
∵AF∥BC,∴∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED,
∴△AFD≌△CED(AAS),
∴AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形,
又EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
(2)如图,过点A作AG⊥BC于点G,

由(1)知四边形AECF是菱形,
又∵CF=2,∠FAC=30°,
∴AE=CF=2,∠FAE=2∠FAC=60°,
∵AF∥BC,∴∠AEG=∠FAE=60°,
∵AG⊥BC,∴∠AGB=∠AGE=90°,
∴∠GAE=30°,∴GE=12AE=1,∴AG=3,
∵∠B=45°,∴∠GAB=45°=∠B,
∴BG=AG=3,∴AB=BG2+AG2=6.
素养探究全练
25.D　连接AC,如图所示,

∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB=BC=OC.
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB=OA.
∵OA=1,∴AC=1.
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形,如图所示.
由图可知,每翻转6次,图形向右平移4个单位,
∵2 023=337×6+1,
∴点B1向右平移1 348(即337×4)到点B2 023.
易知点B1的坐标为1.5,32,
∴点B2 023的坐标为1.5+1 348,32,
∴点B2 023的坐标为1 349.5,32.故选D.
26.解析　(1)当t=3时,四边形ADFC是菱形.
理由如下:
∵△ABC和△DEF都是边长为10 cm的等边三角形,
∴AC=DF,∠ACD=∠FDE=60°,
∴AC∥DF,∴四边形ADFC是平行四边形,
当t=3时,点B与点D重合,∴AD=DF,
∴▱ADFC是菱形.
(2)当t=13时,四边形ADFC是矩形.理由如下:
由(1)知四边形ADFC为平行四边形,
当t=13时,点B与点E重合,
此时A、E、F在同一条直线上,
∴AF=CD,∴▱ADFC是矩形,
∴∠CFD=90°,∴CF=CD2-DF2=103 cm,
∴S矩形ADFC=10×103=1003(cm2).
(3)①B、D重合前,即0 ∴(7+t)×53=1003,
解得t=13(不符合题意);
②B、D重合时,t=3,∴10×53=503(不符合题意);
③B、D重合后,即t>3时,(t+7)×53=1003,解得t=13.
综上所述,当t为13时,四边形ADFC的面积是1003 cm2.