第18章 平行四边形 人教版八年级数学下册单元测试卷(含答案)

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2022-2023学年人教新版八年级下册数学《第18章 平行四边形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　）

A．MN B．OE C．EF D．OF
2．下列关于四边形的说法正确的是（　　）
A．菱形对角线相等
B．矩形对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形
D．正方形具有矩形和菱形的一切性质
3．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）种．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）

A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．6
5．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
6．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为（　　）

A．62° B．56° C．28° D．30°
7．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　）

A． B．3 C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠AED＝70°，则∠AGD的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°
B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
10．如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请问下列条件中不能使▱ABCD为菱形的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．DE＝DF C．∠3＝∠4 D．AD＝CD
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AC＝8，BC＝5，则平行线a，b之间的距离是 　 　．

12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，写出图中任意一组相等的线段 　 　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若△ABC的周长为24cm，△BCD的周长为16cm，则AC＝　 　cm．

14．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为 　 　．

15．菱形ABCD中，若对角线长AC＝8cm，边AB＝5cm，则菱形ABCD的面积＝　 　cm2．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　 　．

17．四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，则AB：AC＝　 　．
18．如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，BE＝2AE、AF＝2FD，正方形A'B'C'D'的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A'D'∥EF，那么正方形A'B'C'D'的边长是 　 　．

19．如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　 　．（仅填序号）

20．如图，锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝2，CD＝3，则AD＝　 　．

三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6，求证：四边形ABCD是菱形．

22．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．

23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠AOE＝70°，∠EAD＝3∠EAO，求∠BCA的度数．

24．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．

25．如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，且DE⊥AF交于点G．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝8，BF＝3，求DE的长．
26．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝8，∠D＝60°，点E为AD边上一点，连接CE，AF∥CE交BC于点F．
（1）当DE＝4时，求证：四边形AECF为菱形；
（2）当BF＝　 　时，则四边形AECF为矩形．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．
故选：C．
2．解：A、菱形对角线互相垂直，故不符合题意；
B、矩形对角线相等，故不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，故不符合题意；
D、正方形具有矩形和菱形的一切性质，故符合题意；
故选：D．
3．解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C．
4．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝13，∠B＝30°，
∴AD＝6.5，
∴DF＝6.5．
故选：B．
5．解：连接BE并延长交AC的延长线于点F，如图，

∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠ABE＝∠AFE，
∴△ABF是等腰三角形，
∴AF＝AB＝5，点E是BF的中点，
∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位线，
∴．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝124°，
∴∠DOE＝56°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣56°）＝62°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝34°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝62°﹣34°＝28°；
故选：C．
7．解：如图，连接CM，

∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值为，
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠C＝∠DAG＝90°，AD∥BC，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠AED＝∠DFC＝∠ADF＝70°，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠ADF＝35°，
∴∠AGD＝90°﹣∠ADG＝55°，
故选：B．
9．解：因为矩形的四个角是直角，
故A正确，
因为菱形的对角线互相垂直，
故B正确，
因为正方形的对角线相等，
故C正确，
菱形的对角线和边长不一定相等，
例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，
故选：D．
10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、由AE＝CF，DE＝DF，∠A＝∠C，不能判定△ADE≌△CDF，
∴不能得出AD＝CD，
∴不能使▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，
又∵AC＝8，BC＝5，
∴AB＝8﹣5＝3，
即直线a与直线b之间的距离为3．
故答案为：3．
12．解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AD＝BC，AB＝CD，
故答案为：OB＝OD或OA＝OC或AD＝BC或AB＝CD．
13．解：∵△ABC的周长为24cm，
∴AB+BC+AC＝24cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
则CD＝AB＝AD，
∵△BCD的周长为16cm，
∴BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝16cm，
∴AC＝24﹣16＝8（cm），
故答案为：8．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
15．解：如图所示，对角线AC、BD交于点O，

∵AC＝8cm，
∴AO＝OC＝4cm，
∴cm，
∴BD＝6cm，
∴菱形的面积为：，
故答案为：24．
16．解：连接CD，如图．
∵分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D，
∴BD＝CD＝AB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形，
∴BD∥AC，∠CAD＝∠BAC，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠CAD＝25°．
故答案为：25°．

17．解：
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝AC，
∴AB：AC＝1：2，
故答案为：1：2．
18．解：∵BE＝2AE、AF＝2FD，AB＝AD＝1，
∴BE＝，AE＝，AF＝，DF＝，
∴EF＝＝，
∵A'D'∥EF，
∴∠A'AB＝∠AEF，
又∵∠A'＝∠EAF＝90°，
∴△AEF∽△A'AB，
∴，
∴AA'＝＝，
同理可求：AD'＝，
∴A'D'＝，
∴正方形A'B'C'D'的边长为，
故答案为：．
19．解：由四边形ABCD是菱形加上条件AB＝AD不能证明四边形ABCD成为正方形；
由四边形ABCD是菱形加上条件AC＝BD可证△ABD≌△DAC（SSS）得到∠ADC＝∠BAD＝90°，能证明四边形ABCD成为正方形；
由四边形ABCD是菱形加上条件∠ABC＝∠ADC不能证明四边形ABCD成为正方形；
故答案为：②．
20．解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC，

∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BD＝2，CD＝3，
∴BC＝2+3＝5，
∴BO＝CO＝，
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，BO＝，BE＝，
∴OE＝BE＝，
∵∠OED＝∠EDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴DF＝OE＝，OF＝DE＝BE﹣BD＝﹣2＝，
在Rt△AOF中，AO＝，OF＝，
∴AF＝＝，
∴AD＝AF+DF＝+＝6．
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．证明：在平行四边形ABCD中，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴，
∵32+42＝52，
∴OD2+OA2＝AD2，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
22．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．

23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝70°，
∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝20°，
∵∠EAD＝3∠EAO，
∴∠EAD＝3×20°＝60°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝60°﹣20°＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC＝40°．
24．（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB，CE＝AB，
∴DE＝CE；

（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，
∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．

25．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝8，连接AH，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
在△DAE和△ABH中，
，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝8+3＝11，
∴DE＝11．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点E、点F分别为AD和BC上的点，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB＝4，AD＝8，DE＝4，
∴AE＝4，
同理可得，CF＝4，
∵∠D＝∠B＝60°，AB＝4，BF＝4，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF＝AB＝4，
∴AE＝AF＝FC＝CE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：当BF＝2时，四边形AECF是矩形，
理由：∵BF＝2，AB＝4，∠B＝60°，
∴cos∠B＝，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形，
即当BF＝2时，四边形AECF是矩形．
故答案为：2．