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2022年山东省潍坊市高考数学三模试卷
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这是一份2022年山东省潍坊市高考数学三模试卷，共18页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省潍坊市高考数学三模试卷
1.（5分）已知集合A，B，若A={-1,1}，A∪B={-1,0,1}，则一定有()
A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B=∅ D. 0∈B
2.（5分）已知复数z满足(i-1)z=1+i，其中i是虚数单位，则z-的虚部为()
A. -1 B. 1 C. 0 D. 2
3.（5分）某省新高考改革方案推行“3+1+2”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为()
A. 12 B. 13 C. 16 D. 112
4.（5分）已知a→，b→是平面内两个不共线的向量，AB→=a→+λb→，AC→=μa→+b→，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是()
A. λ-μ=1 B. λ+μ=2 C. λμ=1 D. λμ=1
5.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O的表面积为()
A. 12π B. 43π C. 6π D. 26π
6.（5分）设函数f(x)=|sinx|，若a=f(ln2)，b=f(log132)，c=f(312)，则()
A. a
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
8.（5分）过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f(x)=xex的图像相切，当n取最大值时，m的取值范围为()
A. -5e2
A. 数列{Snn}为等差数列
B. 对任意正整数n，bn2+bn+22⩾2bn+12
C. 数列{S2n+2-S2n}一定是等差数列
D. 数列{T2n+2-T2n}一定是等比数列
10.（5分）已知定义域为R的函数f(x)满足f(1+x)+f(1-x)=0，函数g(x)=f(x)sinωx(ω>0)，若函数y=g(x+1)为奇函数，则ω的值可以为()
A. π4 B. π2 C. π D. 3π2
11.（5分）函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω⩽2,-π2<φ<3π2)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是()
A. φ=-π4或5π4
B. f(x)=2cos(2x-3π4)
C. f(π12)=1-32
D. 若α∈(0,π2)且f(α)>0，则sin(α-π8)<0
12.（5分）定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a→=(x1,y1)，b→=(x2,y2)，令a→Θb→=(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)，下面说法一定正确的是()
A. 对任意的λ∈R，有(λa→)Θb→=λ(a→Θb→)
B. 存在唯一确定的向量e→使得对于任意向量a→，都有a→Θe→=e→Θa→=a→成立
C. 若a→与b→垂直，则(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θc→)共线
D. 若a→与b→共线，则(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θc→)的模相等
13.（5分）为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
t
9.8
根据上表可得回归直线方程\hat y=0.76x+0.4，则t=______．
14.（5分）已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交抛物线于A，B两点，直线l2交抛物线于C，D两点，且|AB|⋅|CD|的最小值是64，则抛物线的方程为 ______.
15.（5分）已知函数f(x)=cos2x向右平移π12个单位长度后得到g(x).若对于任意的x1∈[-π3,π6]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)=g(x2)，则|m-n|的最小值为 ______.
16.（5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1=∠ADB1，则tan∠APB1=______，点P的轨迹围成的封闭图形的面积为 ______.
17.（12分）在①数列{an}为等差数列，且a1=1，an+1=2an-(2n-3)，②a1=2，2Sn=(n+1)an，③正项数列{an}满足4Sn=an2+2an-3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且_______？
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{(-1)n⋅an}的前n项和为Tn，求T2n.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin(C+π6)=b+c.
(1)求角A的大小；
(2)若a=7，BA→·AC→=-3，∠A的平分线交边BC于点T，求AT的长．
19.（12分）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性．因其独有的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M系列盲盒共有12个款式，为调查M系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前、00后人群各随机发放了50份问卷，并全部收回．经统计，有45％的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当中，00后占23.
(1)请根据以上信息填表，并分析是否有99％的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？
00前
00后
总计
购买
未购买
总计
100
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
P(K2⩾k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
(2)一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，甲同学已经买到3个不同款，乙、丙同学分别已经买到m个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为13.
①求m；
②设X表示三个同学中各买到自己不同款的总人数，求X的分布列和数学期望．
20.（12分）如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，侧面CDD1C1⊥底面ABCD，AB=AD=2，∠BAD=π3，∠A1AB=3π4，O1为线段B1D1的中点．
(1)证明：AO1//平面C1BD；
(2)已知二面角B-C1D-C的余弦值为77，求直线A1C与平面C1BD所成角的正弦值．
21.（12分）已知O为坐标原点，定点F(1,0)，M是圆O：x2+y2=4内一动点，圆O与以线段FM为直径的圆内切．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若直线l与动点M的轨迹交于P，Q两点，以坐标原点O为圆心，1为半径的圆与直线l相切，求△POQ面积的最大值．
22.（12分）已知函数f(x)=ex(1+alnx).
(1)当f(x)有两个极值点时，求a的取值范围；
(2)若a⩾32，且函数f(x)的零点为x1，证明：导函数f'(x)存在极小值点，记为x2，且x1>x2.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={-1,1}，A∪B={-1,0,1}，
∴B={0}或{-1,0}或{0,1}或{-1,0,1}，
则0∈B.
故选：D.
由已知可得B，结合选项得答案．
此题主要考查并集及其运算，考查集合关系的应用，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由(i-1)z=1+i，得z=1+ii-1=(1+i)(-1-i)(i-1)(-1-i)=-(1+i)2(-1)2-i2=-2i2=-i，
∴z-=i，则z-的虚部为1.
故选：B.
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为1C21C42=112.故选：D.
应用组合数公式求任选情况下的所有组合数，再由古典概型的概率求法求结果．
此题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
4.【答案】C
【解析】解：A，B，C三点共线的充要条件是AB→=mAC→且m∈R，
∵AB→=a→+λb→，AC→=μa→+b→，
又∵AB→=mAC→，
∴a→+λb→=mμa→+mb→，即{mμ=1λ=m，
∴λμ=1.
故选：C.
A，B，C三点共线的充要条件是AB→=mAC→且m∈R，再结合向量相等的条件，即可求解．
此题主要考查三点共线，以及向量相等的条件，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如下图所示：
在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2，
因为AB⊥平面BCD，BC、BD、CD⊂平面BCD，
则AB⊥BC，AB⊥BD，CD⊥AB，
∵CD⊥BC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥CD，
所以，三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且BD=BC2+CD2=22，AD=AB2+BD2=23，
设线段AD的中点为O，则OB=OC=12AD=OA=OD，
所以，点O为三棱锥A-BCD的外接球球心，
设球O的半径为R，则R=12AD=3，
因此，球O的表面积为4πR2=12π.
故选：A.
作出图形，设在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果．
此题主要考查了球的表面积计算，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：f(x)=|sinx|为偶函数且x=π2为其一条对称轴，
∴b=f(log132)=f(log32)，
∵0
∴a
由分析知f(x)=|sinx|为偶函数且x=π2为其一条对称轴，由此能判断a，b，c的大小关系．
此题主要考查三个数的大小的判断，考查正弦函数的奇偶性、对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：联立{y=baxx2+y2=a2且M在第一象限，可得M(a2c,abc)，而A1(-a,0)，A2(a,0)，所以|MA1|2=(a2c+a)2+(abc)2=2a2(1+ac),|MA2|2=(a2c-a)2+(abc)2=2a2(1-ac)，
由题设，∠A1MA2=∠PMA2=90°，故△MPA2是等腰直角三角形，
所以∠MA2P=45°，而∠PA2M的内角平分线与y轴平行，
所以∠MA1A2=22.5°，又tan45°=2tan22.5°1-tan222.5∘=1，可得tan22.5°=2-1，
则tan2∠MA1A2=(|MA2||MA1|)2=1-ac1+ac=(2-1)2，可得e-1e+1=3-22，
所以e=2.
故选：B.
由题设可得M(a2c,abc),A1(-a,0),A2(a,0)，应用两点距离公式求|MA1|2，|MA2|2，再由已知条件知∠MA1A2=22.5°，应用二倍角正切公式求得tan22.5°=2-1，结合tan∠MA1A2=|MA2||MA1|构造齐次方程，即可求离心率．
此题主要考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由f(x)=xex，得f'(x)=(x+1)ex，
故当x<-1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，且f(x)<0；
当x>-1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
结合图象易得，过点P(1,m)(m∈R)至多有3条直线与函数f(x)=xex的图像相切，
故n=3.
此时，设切点坐标为(x0,y0)，则切线斜率k=(x0+1)⋅ex0，
所以切线方程为y-x0ex0=(x0+1)⋅ex0(x-x0)，
将P(1,m)代入得m=(-x02+x0+1)⋅ex0，存在三条切线，
即函数m=(-x2+x+1)⋅ex有三个不同的根，
设g(x)=(-x2+x+1)⋅ex，则g'(x)=-(x-1)(x+2)⋅ex，
易得在(-2,1)上，g'(x)>0，g(x)单调递增；
在(-∞,-2)和(1,+∞)上，g'(x)<0，g(x)单调递减，
画出图象可得当g(-2)
故选：B.
求导分析f(x)=xex的图象可得n=3，再设切点坐标为(x0,y0)，由题可得m=(-x02+x0+1)⋅ex0有三根，再构造函数g(x)=(-x2+x+1)⋅ex求导分析图象单调性与最值即可．
此题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题．
9.【答案】ABC
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn=na1+n(n-1)2d，所以，Snn=a1+(n-1)d2，
对于A选项，Sn+1n+1-Snn=a1+nd2-a1-(n-1)d2=d2，所以，{Snn}为等差数列，A对；
对于B选项，对任意的n∈N*，bn≠0，由等比中项的性质可得bn+12=bnbn+2，
由基本不等式可得bn2+bn+22⩾2bnbn+2=2bn+12,B对；
对于C选项，令cn=S2n-2-S2n=a2n+2+a2n+1，
所以，cn+1-cn=(a2n+4+a2n+3)-(a2n+2+a2n+1)=4d，
故数列{S2n+2-S2n}一定是等差数列，C对；
对于D选项，设等比数列{bn}的公比为q，
当q=-1时，T2n+2-T2n=b2n+2+b2n+1=b2n+1(q+1)=0，
此时，数列{T2n+2-T2n}不是等比数列，D错．
故选：ABC.
设等差数列{an}的公差为d，设等比数列{bn}的公比为q，求出Sn，利用等差数列的定义可判断AC选项；利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取q=-1可判断D选项．
此题主要考查了等差数列与等比数列的综合，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：根据题意，若函数y=g(x+1)为奇函数，则g(x+1)=-g(-x+1)，f(x+1)sin(ωx+ω)=-f(1-x)sin(ω-ωx)，
又由f(1+x)+f(1-x)=0，则有sin(ωx+ω)=sin(ω-ωx)，
则函数y=sinωx的图象关于直线x=1对称，则ω=π2+kπ，k∈Z，
分析选项，ω=π2和ω=3π2符合题意，
故选：BD.
根据题意，由奇函数的性质分析可得函数y=sinωx的图象关于直线x=1对称，求出ω的值，分析选项可得答案．
此题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数的对称中心，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，由图像可知，f(0)=-1，
∴2sinφ=-1，∴sinφ=-22，
又∵-π2<φ<3π2，∴φ=-π4或5π4，
由∵点(0,-1)在函数f(x)的单调递增区间，∴φ=-π4，故A错误，
对于B，∵f(π8)=0，∴2sin(π8ω-π4)=0，
∴π8ω-π4=kπ(k∈Z)，∴ω=2+8k(k∈Z)，
又∵0<ω⩽2，∴ω=2，
∴f(x)=2sin(2x-π4)=2cos(2x-34π)，故选项B正确，
对于C，f(π12)=2sin(2×π12-π4)=-2sinπ12=1-32，故C正确，
对于D，∵α∈(0,π2)，∴2α-π4∈(-π4,3π4)，
∵f(α)=2sin(2α-π4)>0，∴0<2α-π4<3π4，
∴π8<α<π2，∴0<α-π8<3π8，
∴sin(α-π8)>0，故D错误，
故选：BC.
由f(0)=-1可求出φ的值，再结合f(π8)=0可求出ω的值，从而得到函数f(x)的解析式，可判断A，B，C的正误，由α的范围结合f(α)>0，可求出α-π8的范围，从而判断D的正误．
此题主要考查了三角函数的图像和性质，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：设a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)，
对于A，对任意的λ∈R，
(λa→)Θb→=(λx1y2-λx2y1,λx1x2+λy1y2)=λ(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)=λ(a→Θb→)，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量e→=(x0,y0)使得对于任意向量a→，
故有a→Θe→=e→Θa→成立，即(x1y0-x0y1,x1x0+y1y0)=(x0y1-x1y0,x0x1+y0y1)=(x1,y1)恒成立，
∴{x1y0-x0y1=x0y1-x1y0=x1x1x0+y1y0=y1对任意x，y恒成立，而此方程组无解，故B错误；
对于C，若a→,b→垂直，则x1x2+y1y2=0，设c→=(x3,y3)，
(a→Θb→)Θc→=(x1y2-x2y1,0)Θ(x3,y3)=(x1y2y3-x2y1y3,x1y2x3-x2y1x3)，
a→Θ(b→Θa→)=(x1,y1)Θ(x2y3-x3y2,x2x3+y2y3)
=(x1x2x3+x1y2y3+y1x3y2,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)
=(x1y2y3-y1x2y3,-x1y2x3+y1x2x3)≠μ(x1y2y3-y1x2y3,x1y2x3-y1x2x3)，故C错误；
对于D，若a→,b→共线，则x1y2-x2y1=0，设c→=(x3,y3)，
(a→Θb→)Θc→=(0,x1x2+y1y2)Θ(x3,y3)=(-x1x2x3-y1y2y3,x1x2x3+y1y2y3)
a→Θ(b→Θa→)=(x1x2x3+x1y2y3-y1x2y3+y1y2x3,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)
=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，
∴若a→与b→共线，则(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θc→)的模相等，故D正确．
故选：AD.
由a→Θb→=(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)表示出(λa→)Θb→和λ(a→b→)，判断A；假设存在唯一确定的向量e→=(x0,y0)使得对于任意向量a→，都有a→Θe→=e→Θa→=a→成立，由此列方程组能判断B；若a→,b→垂直，则x1x2+y1y2=0，设c→=(x3,y3)，分别表示出(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θa→)，判断C；若a→,b→共线，则x1y2-x2y1=0，设c→=(x3,y3)，分别表示出(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θa→)，判断D.
此题主要考查命题真假的判断，考查新定义、平面向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】 8.5
【解析】解：- x=8.2+8.6+10+11.3+11.9 5=10．- y=6.2+7.5+t+8.0+9.8 5=31.5+t 5．
∴样本点的中心的坐标为(10,31.5+t 5).
代入y=0.76x+0.4，得31.5+t 5=0.76×10+0.4
解得：t=8.5．
故答案为：8.5．
由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得a值．
该题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
14.【答案】 y2=4x
【解析】解：设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角θ+π2，
根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin2θ,|CD|=2psin2(θ+π2)=2pcos2θ，
所以|AB|⋅|CD|=2pcos2θ⋅2psin2θ=4p2sin2θcos2θ=16p2sin22θ，
因为0
故答案为：y2=4x.
依题意设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角θ+π2，根据焦点弦公式得到|AB|=2psin2θ,|CD|=2pcos2θ，再根据二倍角公式及正弦函数的性质求出|AB|⋅|CD|的最小值，即可求出p，从而得解．
此题主要考查了抛物线的性质，属于中档题．
15.【答案】 π3
【解析】解：函数f(x)=cos2x向右平移π12个单位长度后得到g(x)=cos(2x-π6)，
因为x1∈[-π3,π6]，所以2x1∈[-2π3,π3]，所以f(x1)=cos2x1∈[-12,1]，
因为对于任意的x1∈[-π3,π6]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)=g(x2)，
所以g(x2)的取值范围应包含[-12,1]，根据余弦函数的性质，为使|m-n|取最小值，
只需函数g(x)在x∈[m,n]上单调且值域为[-12,1]即可．
由2kπ-2π3⩽2x-π6⩽2kπ(k∈Z)可得kπ-π4⩽x⩽kπ+π12(k∈Z)，
因此|m-n|的最小值为|-π4-π12|=π3.
故答案为：π3.
求出g(x)=cos(2x-π6)，则x1∈[-π3,π6],f(x1)∈[-12,1]，因为对于任意的x1∈[-π3,π6]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)=g(x2)，所以g(x2)的取值范围应包含[-12,1]，为使|m-n|取最小值，只需函数g(x)在x∈[m,n]上单调且值域为[-12,1]即可．
此题主要考查三角函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】 2 2+32; 略
【解析】解：tan∠APB1=tan∠ADB1=AB1AD=2.
由正方体ABCD-A1B1C1D1知AB1⊥平面A1BCD1，
又点P满足A1P⊥AB1，所以点P在平面A1BCD1内运动，
如图，连接A1B，AB1交于点O，连接PO，PB1，PA，
由对称性，∠APO=∠B1PO，
所以tan∠APB1=2tan∠APO1-tan2∠APO=2，解得tan∠APO=6-22，
所以PO=AOtan∠APO=3+12，
所以点P的轨迹围成的封闭图形是以点O为圆心，3+12为半径的圆，
所以面积S=π×(3+12)2=2+32π，
故答案为：2；2+32π.
利用∠APB1=∠ADB1，转化为求∠ADB1的正切值；先确定点P的轨迹围成的封闭图形为圆，在用面积公式计算．
此题主要考查棱柱的几何特征，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：条件①：
（1）因为an+1=2an-（2n-3），且a1=1，所以a2=2a1-（2-3）=3，
所以公差d=2，
所以an=a1+（n-1）d=2n-1．
（2）T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-1+3-5+7-…-（4n-3）+（4n-1）=2+2+…+2=2n．
条件②：
（1）由2Sn=（n+1）an知，当n≥2时，2Sn-1=nan-1，
两式相减得，2an=（n+1）an-nan-1，即anan-1=nn-1（n≥2），
所以an=anan-1•an-1an-2•……•a3a2•a2a1•a1=nn-1•n-1n-2•……32•21•2=2n（n≥2），
当n=1时，a1=2满足上式，
所以an=2n．
（2）T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-2+4-6+8-…-（4n-2）+4n=2+2+…+2=2n．
条件③：
（1）因为4Sn=an2+2an-3，
所以当n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1-3，
两式相减得，4an=an2-an-12+2an-2an-1，整理得，（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
因为an＞0，所以an+an-1≠0，所以an-an-1-2=0，即an-an-1=2（n≥2），
在4Sn=an2+2an-3中，令n=1，则a1=3，
故数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=a1+（n-1）d=2n+1．
（2）T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-3+5-7+9-…-（4n-1）+（4n+1）=2+2+…+2=2n．
【解析】
条件①：(1)根据已知递推式求得a2=3，从而得公差d，再由等差数列的通项公式，得解；
(2)连续两项相加的结果是2，共有n个2相加，得解．
条件②：(1)根据an=Sn-Sn-1(n⩾2)，可得anan-1=nn-1(n⩾2)，再由累乘法，得解；
(2)连续两项相加的结果是2，共有n个2相加，得解．
条件③：(1)根据an=Sn-Sn-1(n⩾2)，可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0，从而有an-an-1=2(n⩾2)，可得数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式，得解；
(2)连续两项相加的结果是2，共有n个2相加，得解．
此题主要考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式，利用an=Sn-Sn-1(n⩾2)，累乘法求通项公式是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵2asin(C+π6)=b+c，
∴2sinA(32sinC+12cosC)=sinB+sinC，
∴3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，即3sinAsinC=cosAsinC+sinC，
又sinC≠0，
∴3sinA=cosA+1，
又sin2A+cos2A=1，A为三角形ABC内角，
∴sinA=32，cosA=12，
∴A=π3；
（2）∵BA→·AC→=-3，
∴cbcos2π3=-3，即bc=6，
由余弦定理有，a2=b2+c2-2bccosπ3，即7=(b+c)2-2×6-2×6×12，则b+c=5，
又S△ABC=S△ABT+S△ACT可知，12bcsinπ3=12b·AT·sinπ6+12c·AT·sinπ6，
∴12×6×32=14AT×5，
∴AT=33254=635．
【解析】
(1)先由正弦定理把边化为角，再结合三角形内角和及正弦的和角公式化简可得3sinA=cosA+1，结合平方关系即可得解；
(2)利用数量积公式可得bc=6，利用余弦定理可得b+c=5，再利用S△ABC=S△ABT+S△ACT建立关于AT的方程，解出即可．
此题主要考查利用正余弦定理解三角形，同时还涉及了三角恒等变换，数量积运算以及三角形的面积公式等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）由题意可得：
00前
00后
总计
购买
35
20
55
未购买
15
30
45
总计
50
50
100
则K2=100(35×30-15×20)250×50×45×55=10011≈9.091＞6.635，
所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关．
（2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为912×12-m12×12-m12=13，
解得m=20或4，
因为0＜m≤12，所以m=4．
②由题X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=312×412×412=136；
P(X=1)=912×412×412+312×812×412×2=736；
P(X=2)=912×812×412×2+312×812×812=49；
P(X=3)=13，
其分布列为：
X
0
1
2
3
P
136
736
49
13
所以数学期望E(X)=0×136+1×736+2×49+3×13=2512．
【解析】
(1)列出列联表，计算出K2然后判断．
(2)①利用概率的乘法公式计算；
②分析X的取值后，由概率的加法公式和乘法公式计算，得到分布列，然后计算期望．
此题主要考查离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．
20.【答案】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接A1C1，
由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知，O1C1=12A1C1=12AC=AO，且O1C1∥AO，
所以四边形O1AOC1为平行四边形，所以O1A∥OC1，
又因为O1A⊄平面C1BD，OC1⊂平面C1BD，
所以AO1∥平面C1BD．
解：（2）取AB中点H，
在C1D1上取点G，使得GD⊥DC，
因为AB=AD=2，∠BAD=π3，所以△BAD为正三角形，所以DH⊥AB，
又因为AB∥CD，所以DH⊥CD．
因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，平面CDD1C1∩平面ABCD=CD，
且DH⊂平面ABCD，所以DH⊥平面ABCD．所以DH⊥DG．
以D为原点，DH→，DC→，DG→分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设C1C=t，有A(3，-1，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，
C1(0，2-22t，22t)，D(0，0，0)，
DC1→=(0，2-22t，22t)，DB→=(3，1，0)，
易知平面CDD1C1的法向量n→=（1，0，0），设平面C1BD的法向量m→=（x，y，z），
{m→⋅DB→=0m→⋅DC1→=0⇒m→=(-1，3，3-26t)，
因为二面角B-C1D-C的余弦值为77，所以cos＜m→，n→＞=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=77⇒t=2，
所以A1(3，-2，1)，CA→1=(3，-4，1)，
所以sinθ=|cos＜m→，CA1→＞|=|m→⋅CA→1||m→|⋅|CA→1|=|3+43+3|3+16+1×1+3+3=310535．
故直线A1C与平面C1BD所成角的正弦值为310535．
【解析】
(1)利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)先建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解线面角即可．
此题主要考查线面角，考查学生的运算能力及空间想象能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）令M（x，y），又F（1，0）在圆O：x2+y2=4内，且圆O与以线段FM为直径的圆内切，
所以线段FM为直径的圆心为(x+12，y2)，则12(x-1)2+y2=2-(x+1)24+y24，
整理有(x-1)2+y2=4-(x+1)2+y2，则x2-2x+1+y2=4-x2+2x+1+y2，
所以x24+y23=1，又M是圆O：x2+y2=4内一动点，故x≠±2，
故M的轨迹方程为x24+y23=1且x≠±2．
（2）由题意知：O到直线l的距离为1，要使△POQ面积最大，只需|PQ|最大，
若直线l斜率不存在时，直线l：x=±1，此时P，Q为(1，±32)或(-1，±32)，
所以|PQ|=3，则△POQ面积为32；
若直线l斜率存在时，令直线l：y=kx+b，而|b|1+k2=1，即b2=1+k2，
联立直线与M的轨迹，{x24+y23=1y=kx+b，整理有（4k2+3）x2+8kbx+4b2-12=0，
则xP+xQ=-8kb4k2+3，xpxQ=4b2-124k2+3，
所以|PQ|=1+k2⋅|xP-xQ|=1+k2⋅(xP+xQ)2-4xPxQ=4(1+k2)(12k2+9-3b2)4k2+3，
则|PQ|=43⋅(1+k2)(3k2+2)4k2+3，
令t=4k2+3≥3，则|PQ|=3⋅-1t2+2t+3=3⋅-(1t-1)2+4，而0＜1t≤13，
所以|PQ|max=463，此时△POQ最大面积为263；
综上，△POQ最大面积为263．
【解析】
(1)令M(x,y)，可得线段FM为直径的圆心为(x+12,y2)，利用两点距离公式及两圆的内切关系列方程并化简，即可得轨迹方桯．
(2)要使△POQ面积最大只需|PQ|最大，讨论直线l斜率，设直线方程，联立M的轨迹方程，应用韦达定理、弦长公式求|PQ|的最值，进而确定三角形面积最大值．
此题主要考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）（1）f（x）=ex（1+alnx），
f'(x)=ex(1+alnx)+ax⋅ex=ex(1+alnx+ax)，
f（x）有两个极值点，即1+alnx+ax=0有两个根，
令g(x)=1+alnx+ax，
g'(x)=ax-ax2=ax2(x-1)，
①a=0，g（x）=1无零点，∴不成立，
②a＞0，则g（x）在（0，1）单减，在（1，+∞）单增，
g（x）min=g（1）=1+a＞0．不成立，
③a＜0，g（x）在（0，1）单增，在（1，+∞）单减，
当x→+∞，g（x）＜0，x→0+，g（x）＜0，g（x）有两个零点，
g（x）max=g（1）=1+a＞0，
∴a∈（-1，0），
（2）f（x）=ex（1+alnx）=0，∴x=e-a-，
f'(x)=ex(1+alnx+ax)，
f″(x)=ex(1+alnx+ax)+ex(ax-ax2)
=ex(1+alnx+2ax-ax2)，
令h(x)=1+alnx+2ax-ax2，
h'(x)=ax-2ax2+2ax3，
=ax3(x2-2x+2)=ax3[(x-1)2+1]＞0恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单增，
h(e-1a)=1-1+ae1a(2-e1a)=a⋅e1a(2-e1a)，
∵a⩾32，∴2-e1a⩾2-e23，(e≈2.718，e2≈7.34)，
∴3e2＜28=2 即2-e1a＞0，h(e-1a)＞0，
∵h(12)=1-aln2+4a-4a=1-aln2，
∵a⩾32，∴h(12)＜0，ln2≈0，69，
∵h(12)⋅h(e-1a)＜0，
∴∃x2∈(12，e-1a)使h（x2）=0，
f′（x）在（0，x2）单减，在[x2，+∞）单增，
f′（x）存在极小值x2，且x2＜x1=e-1a．
【解析】
(1)由题意，函数有两个极值点，即1+alnx+ax=0有两个根，再构造函数，求a的范围即可；
(2)对函数二次求导，再构造函数，令h(x)=1+alnx+2ax-ax2，再求极值，即可进行证明．
此题主要考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
2022年山东省潍坊市高考数学三模试卷
1.（5分）已知集合A，B，若A={-1,1}，A∪B={-1,0,1}，则一定有()
A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B=∅ D. 0∈B
2.（5分）已知复数z满足(i-1)z=1+i，其中i是虚数单位，则z-的虚部为()
A. -1 B. 1 C. 0 D. 2
3.（5分）某省新高考改革方案推行“3+1+2”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为()
A. 12 B. 13 C. 16 D. 112
4.（5分）已知a→，b→是平面内两个不共线的向量，AB→=a→+λb→，AC→=μa→+b→，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是()
A. λ-μ=1 B. λ+μ=2 C. λμ=1 D. λμ=1
5.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O的表面积为()
A. 12π B. 43π C. 6π D. 26π
6.（5分）设函数f(x)=|sinx|，若a=f(ln2)，b=f(log132)，c=f(312)，则()
A. a
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
8.（5分）过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f(x)=xex的图像相切，当n取最大值时，m的取值范围为()
A. -5e2
A. 数列{Snn}为等差数列
B. 对任意正整数n，bn2+bn+22⩾2bn+12
C. 数列{S2n+2-S2n}一定是等差数列
D. 数列{T2n+2-T2n}一定是等比数列
10.（5分）已知定义域为R的函数f(x)满足f(1+x)+f(1-x)=0，函数g(x)=f(x)sinωx(ω>0)，若函数y=g(x+1)为奇函数，则ω的值可以为()
A. π4 B. π2 C. π D. 3π2
11.（5分）函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω⩽2,-π2<φ<3π2)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是()
A. φ=-π4或5π4
B. f(x)=2cos(2x-3π4)
C. f(π12)=1-32
D. 若α∈(0,π2)且f(α)>0，则sin(α-π8)<0
12.（5分）定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a→=(x1,y1)，b→=(x2,y2)，令a→Θb→=(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)，下面说法一定正确的是()
A. 对任意的λ∈R，有(λa→)Θb→=λ(a→Θb→)
B. 存在唯一确定的向量e→使得对于任意向量a→，都有a→Θe→=e→Θa→=a→成立
C. 若a→与b→垂直，则(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θc→)共线
D. 若a→与b→共线，则(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θc→)的模相等
13.（5分）为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
t
9.8
根据上表可得回归直线方程\hat y=0.76x+0.4，则t=______．
14.（5分）已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交抛物线于A，B两点，直线l2交抛物线于C，D两点，且|AB|⋅|CD|的最小值是64，则抛物线的方程为 ______.
15.（5分）已知函数f(x)=cos2x向右平移π12个单位长度后得到g(x).若对于任意的x1∈[-π3,π6]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)=g(x2)，则|m-n|的最小值为 ______.
16.（5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1=∠ADB1，则tan∠APB1=______，点P的轨迹围成的封闭图形的面积为 ______.
17.（12分）在①数列{an}为等差数列，且a1=1，an+1=2an-(2n-3)，②a1=2，2Sn=(n+1)an，③正项数列{an}满足4Sn=an2+2an-3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且_______？
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{(-1)n⋅an}的前n项和为Tn，求T2n.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin(C+π6)=b+c.
(1)求角A的大小；
(2)若a=7，BA→·AC→=-3，∠A的平分线交边BC于点T，求AT的长．
19.（12分）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性．因其独有的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M系列盲盒共有12个款式，为调查M系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前、00后人群各随机发放了50份问卷，并全部收回．经统计，有45％的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当中，00后占23.
(1)请根据以上信息填表，并分析是否有99％的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？
00前
00后
总计
购买
未购买
总计
100
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
P(K2⩾k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
(2)一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，甲同学已经买到3个不同款，乙、丙同学分别已经买到m个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为13.
①求m；
②设X表示三个同学中各买到自己不同款的总人数，求X的分布列和数学期望．
20.（12分）如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，侧面CDD1C1⊥底面ABCD，AB=AD=2，∠BAD=π3，∠A1AB=3π4，O1为线段B1D1的中点．
(1)证明：AO1//平面C1BD；
(2)已知二面角B-C1D-C的余弦值为77，求直线A1C与平面C1BD所成角的正弦值．
21.（12分）已知O为坐标原点，定点F(1,0)，M是圆O：x2+y2=4内一动点，圆O与以线段FM为直径的圆内切．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若直线l与动点M的轨迹交于P，Q两点，以坐标原点O为圆心，1为半径的圆与直线l相切，求△POQ面积的最大值．
22.（12分）已知函数f(x)=ex(1+alnx).
(1)当f(x)有两个极值点时，求a的取值范围；
(2)若a⩾32，且函数f(x)的零点为x1，证明：导函数f'(x)存在极小值点，记为x2，且x1>x2.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={-1,1}，A∪B={-1,0,1}，
∴B={0}或{-1,0}或{0,1}或{-1,0,1}，
则0∈B.
故选：D.
由已知可得B，结合选项得答案．
此题主要考查并集及其运算，考查集合关系的应用，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由(i-1)z=1+i，得z=1+ii-1=(1+i)(-1-i)(i-1)(-1-i)=-(1+i)2(-1)2-i2=-2i2=-i，
∴z-=i，则z-的虚部为1.
故选：B.
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为1C21C42=112.故选：D.
应用组合数公式求任选情况下的所有组合数，再由古典概型的概率求法求结果．
此题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
4.【答案】C
【解析】解：A，B，C三点共线的充要条件是AB→=mAC→且m∈R，
∵AB→=a→+λb→，AC→=μa→+b→，
又∵AB→=mAC→，
∴a→+λb→=mμa→+mb→，即{mμ=1λ=m，
∴λμ=1.
故选：C.
A，B，C三点共线的充要条件是AB→=mAC→且m∈R，再结合向量相等的条件，即可求解．
此题主要考查三点共线，以及向量相等的条件，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如下图所示：
在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2，
因为AB⊥平面BCD，BC、BD、CD⊂平面BCD，
则AB⊥BC，AB⊥BD，CD⊥AB，
∵CD⊥BC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥CD，
所以，三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且BD=BC2+CD2=22，AD=AB2+BD2=23，
设线段AD的中点为O，则OB=OC=12AD=OA=OD，
所以，点O为三棱锥A-BCD的外接球球心，
设球O的半径为R，则R=12AD=3，
因此，球O的表面积为4πR2=12π.
故选：A.
作出图形，设在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果．
此题主要考查了球的表面积计算，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：f(x)=|sinx|为偶函数且x=π2为其一条对称轴，
∴b=f(log132)=f(log32)，
∵0
∴a
由分析知f(x)=|sinx|为偶函数且x=π2为其一条对称轴，由此能判断a，b，c的大小关系．
此题主要考查三个数的大小的判断，考查正弦函数的奇偶性、对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：联立{y=baxx2+y2=a2且M在第一象限，可得M(a2c,abc)，而A1(-a,0)，A2(a,0)，所以|MA1|2=(a2c+a)2+(abc)2=2a2(1+ac),|MA2|2=(a2c-a)2+(abc)2=2a2(1-ac)，
由题设，∠A1MA2=∠PMA2=90°，故△MPA2是等腰直角三角形，
所以∠MA2P=45°，而∠PA2M的内角平分线与y轴平行，
所以∠MA1A2=22.5°，又tan45°=2tan22.5°1-tan222.5∘=1，可得tan22.5°=2-1，
则tan2∠MA1A2=(|MA2||MA1|)2=1-ac1+ac=(2-1)2，可得e-1e+1=3-22，
所以e=2.
故选：B.
由题设可得M(a2c,abc),A1(-a,0),A2(a,0)，应用两点距离公式求|MA1|2，|MA2|2，再由已知条件知∠MA1A2=22.5°，应用二倍角正切公式求得tan22.5°=2-1，结合tan∠MA1A2=|MA2||MA1|构造齐次方程，即可求离心率．
此题主要考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由f(x)=xex，得f'(x)=(x+1)ex，
故当x<-1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，且f(x)<0；
当x>-1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
结合图象易得，过点P(1,m)(m∈R)至多有3条直线与函数f(x)=xex的图像相切，
故n=3.
此时，设切点坐标为(x0,y0)，则切线斜率k=(x0+1)⋅ex0，
所以切线方程为y-x0ex0=(x0+1)⋅ex0(x-x0)，
将P(1,m)代入得m=(-x02+x0+1)⋅ex0，存在三条切线，
即函数m=(-x2+x+1)⋅ex有三个不同的根，
设g(x)=(-x2+x+1)⋅ex，则g'(x)=-(x-1)(x+2)⋅ex，
易得在(-2,1)上，g'(x)>0，g(x)单调递增；
在(-∞,-2)和(1,+∞)上，g'(x)<0，g(x)单调递减，
画出图象可得当g(-2)
故选：B.
求导分析f(x)=xex的图象可得n=3，再设切点坐标为(x0,y0)，由题可得m=(-x02+x0+1)⋅ex0有三根，再构造函数g(x)=(-x2+x+1)⋅ex求导分析图象单调性与最值即可．
此题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题．
9.【答案】ABC
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn=na1+n(n-1)2d，所以，Snn=a1+(n-1)d2，
对于A选项，Sn+1n+1-Snn=a1+nd2-a1-(n-1)d2=d2，所以，{Snn}为等差数列，A对；
对于B选项，对任意的n∈N*，bn≠0，由等比中项的性质可得bn+12=bnbn+2，
由基本不等式可得bn2+bn+22⩾2bnbn+2=2bn+12,B对；
对于C选项，令cn=S2n-2-S2n=a2n+2+a2n+1，
所以，cn+1-cn=(a2n+4+a2n+3)-(a2n+2+a2n+1)=4d，
故数列{S2n+2-S2n}一定是等差数列，C对；
对于D选项，设等比数列{bn}的公比为q，
当q=-1时，T2n+2-T2n=b2n+2+b2n+1=b2n+1(q+1)=0，
此时，数列{T2n+2-T2n}不是等比数列，D错．
故选：ABC.
设等差数列{an}的公差为d，设等比数列{bn}的公比为q，求出Sn，利用等差数列的定义可判断AC选项；利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取q=-1可判断D选项．
此题主要考查了等差数列与等比数列的综合，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：根据题意，若函数y=g(x+1)为奇函数，则g(x+1)=-g(-x+1)，f(x+1)sin(ωx+ω)=-f(1-x)sin(ω-ωx)，
又由f(1+x)+f(1-x)=0，则有sin(ωx+ω)=sin(ω-ωx)，
则函数y=sinωx的图象关于直线x=1对称，则ω=π2+kπ，k∈Z，
分析选项，ω=π2和ω=3π2符合题意，
故选：BD.
根据题意，由奇函数的性质分析可得函数y=sinωx的图象关于直线x=1对称，求出ω的值，分析选项可得答案．
此题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数的对称中心，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，由图像可知，f(0)=-1，
∴2sinφ=-1，∴sinφ=-22，
又∵-π2<φ<3π2，∴φ=-π4或5π4，
由∵点(0,-1)在函数f(x)的单调递增区间，∴φ=-π4，故A错误，
对于B，∵f(π8)=0，∴2sin(π8ω-π4)=0，
∴π8ω-π4=kπ(k∈Z)，∴ω=2+8k(k∈Z)，
又∵0<ω⩽2，∴ω=2，
∴f(x)=2sin(2x-π4)=2cos(2x-34π)，故选项B正确，
对于C，f(π12)=2sin(2×π12-π4)=-2sinπ12=1-32，故C正确，
对于D，∵α∈(0,π2)，∴2α-π4∈(-π4,3π4)，
∵f(α)=2sin(2α-π4)>0，∴0<2α-π4<3π4，
∴π8<α<π2，∴0<α-π8<3π8，
∴sin(α-π8)>0，故D错误，
故选：BC.
由f(0)=-1可求出φ的值，再结合f(π8)=0可求出ω的值，从而得到函数f(x)的解析式，可判断A，B，C的正误，由α的范围结合f(α)>0，可求出α-π8的范围，从而判断D的正误．
此题主要考查了三角函数的图像和性质，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：设a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)，
对于A，对任意的λ∈R，
(λa→)Θb→=(λx1y2-λx2y1,λx1x2+λy1y2)=λ(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)=λ(a→Θb→)，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量e→=(x0,y0)使得对于任意向量a→，
故有a→Θe→=e→Θa→成立，即(x1y0-x0y1,x1x0+y1y0)=(x0y1-x1y0,x0x1+y0y1)=(x1,y1)恒成立，
∴{x1y0-x0y1=x0y1-x1y0=x1x1x0+y1y0=y1对任意x，y恒成立，而此方程组无解，故B错误；
对于C，若a→,b→垂直，则x1x2+y1y2=0，设c→=(x3,y3)，
(a→Θb→)Θc→=(x1y2-x2y1,0)Θ(x3,y3)=(x1y2y3-x2y1y3,x1y2x3-x2y1x3)，
a→Θ(b→Θa→)=(x1,y1)Θ(x2y3-x3y2,x2x3+y2y3)
=(x1x2x3+x1y2y3+y1x3y2,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)
=(x1y2y3-y1x2y3,-x1y2x3+y1x2x3)≠μ(x1y2y3-y1x2y3,x1y2x3-y1x2x3)，故C错误；
对于D，若a→,b→共线，则x1y2-x2y1=0，设c→=(x3,y3)，
(a→Θb→)Θc→=(0,x1x2+y1y2)Θ(x3,y3)=(-x1x2x3-y1y2y3,x1x2x3+y1y2y3)
a→Θ(b→Θa→)=(x1x2x3+x1y2y3-y1x2y3+y1y2x3,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)
=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，
∴若a→与b→共线，则(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θc→)的模相等，故D正确．
故选：AD.
由a→Θb→=(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)表示出(λa→)Θb→和λ(a→b→)，判断A；假设存在唯一确定的向量e→=(x0,y0)使得对于任意向量a→，都有a→Θe→=e→Θa→=a→成立，由此列方程组能判断B；若a→,b→垂直，则x1x2+y1y2=0，设c→=(x3,y3)，分别表示出(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θa→)，判断C；若a→,b→共线，则x1y2-x2y1=0，设c→=(x3,y3)，分别表示出(a→Θb→)Θc→与a→Θ(b→Θa→)，判断D.
此题主要考查命题真假的判断，考查新定义、平面向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】 8.5
【解析】解：- x=8.2+8.6+10+11.3+11.9 5=10．- y=6.2+7.5+t+8.0+9.8 5=31.5+t 5．
∴样本点的中心的坐标为(10,31.5+t 5).
代入y=0.76x+0.4，得31.5+t 5=0.76×10+0.4
解得：t=8.5．
故答案为：8.5．
由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得a值．
该题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
14.【答案】 y2=4x
【解析】解：设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角θ+π2，
根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin2θ,|CD|=2psin2(θ+π2)=2pcos2θ，
所以|AB|⋅|CD|=2pcos2θ⋅2psin2θ=4p2sin2θcos2θ=16p2sin22θ，
因为0
故答案为：y2=4x.
依题意设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角θ+π2，根据焦点弦公式得到|AB|=2psin2θ,|CD|=2pcos2θ，再根据二倍角公式及正弦函数的性质求出|AB|⋅|CD|的最小值，即可求出p，从而得解．
此题主要考查了抛物线的性质，属于中档题．
15.【答案】 π3
【解析】解：函数f(x)=cos2x向右平移π12个单位长度后得到g(x)=cos(2x-π6)，
因为x1∈[-π3,π6]，所以2x1∈[-2π3,π3]，所以f(x1)=cos2x1∈[-12,1]，
因为对于任意的x1∈[-π3,π6]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)=g(x2)，
所以g(x2)的取值范围应包含[-12,1]，根据余弦函数的性质，为使|m-n|取最小值，
只需函数g(x)在x∈[m,n]上单调且值域为[-12,1]即可．
由2kπ-2π3⩽2x-π6⩽2kπ(k∈Z)可得kπ-π4⩽x⩽kπ+π12(k∈Z)，
因此|m-n|的最小值为|-π4-π12|=π3.
故答案为：π3.
求出g(x)=cos(2x-π6)，则x1∈[-π3,π6],f(x1)∈[-12,1]，因为对于任意的x1∈[-π3,π6]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)=g(x2)，所以g(x2)的取值范围应包含[-12,1]，为使|m-n|取最小值，只需函数g(x)在x∈[m,n]上单调且值域为[-12,1]即可．
此题主要考查三角函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】 2 2+32; 略
【解析】解：tan∠APB1=tan∠ADB1=AB1AD=2.
由正方体ABCD-A1B1C1D1知AB1⊥平面A1BCD1，
又点P满足A1P⊥AB1，所以点P在平面A1BCD1内运动，
如图，连接A1B，AB1交于点O，连接PO，PB1，PA，
由对称性，∠APO=∠B1PO，
所以tan∠APB1=2tan∠APO1-tan2∠APO=2，解得tan∠APO=6-22，
所以PO=AOtan∠APO=3+12，
所以点P的轨迹围成的封闭图形是以点O为圆心，3+12为半径的圆，
所以面积S=π×(3+12)2=2+32π，
故答案为：2；2+32π.
利用∠APB1=∠ADB1，转化为求∠ADB1的正切值；先确定点P的轨迹围成的封闭图形为圆，在用面积公式计算．
此题主要考查棱柱的几何特征，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：条件①：
（1）因为an+1=2an-（2n-3），且a1=1，所以a2=2a1-（2-3）=3，
所以公差d=2，
所以an=a1+（n-1）d=2n-1．
（2）T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-1+3-5+7-…-（4n-3）+（4n-1）=2+2+…+2=2n．
条件②：
（1）由2Sn=（n+1）an知，当n≥2时，2Sn-1=nan-1，
两式相减得，2an=（n+1）an-nan-1，即anan-1=nn-1（n≥2），
所以an=anan-1•an-1an-2•……•a3a2•a2a1•a1=nn-1•n-1n-2•……32•21•2=2n（n≥2），
当n=1时，a1=2满足上式，
所以an=2n．
（2）T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-2+4-6+8-…-（4n-2）+4n=2+2+…+2=2n．
条件③：
（1）因为4Sn=an2+2an-3，
所以当n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1-3，
两式相减得，4an=an2-an-12+2an-2an-1，整理得，（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
因为an＞0，所以an+an-1≠0，所以an-an-1-2=0，即an-an-1=2（n≥2），
在4Sn=an2+2an-3中，令n=1，则a1=3，
故数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=a1+（n-1）d=2n+1．
（2）T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-3+5-7+9-…-（4n-1）+（4n+1）=2+2+…+2=2n．
【解析】
条件①：(1)根据已知递推式求得a2=3，从而得公差d，再由等差数列的通项公式，得解；
(2)连续两项相加的结果是2，共有n个2相加，得解．
条件②：(1)根据an=Sn-Sn-1(n⩾2)，可得anan-1=nn-1(n⩾2)，再由累乘法，得解；
(2)连续两项相加的结果是2，共有n个2相加，得解．
条件③：(1)根据an=Sn-Sn-1(n⩾2)，可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0，从而有an-an-1=2(n⩾2)，可得数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式，得解；
(2)连续两项相加的结果是2，共有n个2相加，得解．
此题主要考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式，利用an=Sn-Sn-1(n⩾2)，累乘法求通项公式是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵2asin(C+π6)=b+c，
∴2sinA(32sinC+12cosC)=sinB+sinC，
∴3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，即3sinAsinC=cosAsinC+sinC，
又sinC≠0，
∴3sinA=cosA+1，
又sin2A+cos2A=1，A为三角形ABC内角，
∴sinA=32，cosA=12，
∴A=π3；
（2）∵BA→·AC→=-3，
∴cbcos2π3=-3，即bc=6，
由余弦定理有，a2=b2+c2-2bccosπ3，即7=(b+c)2-2×6-2×6×12，则b+c=5，
又S△ABC=S△ABT+S△ACT可知，12bcsinπ3=12b·AT·sinπ6+12c·AT·sinπ6，
∴12×6×32=14AT×5，
∴AT=33254=635．
【解析】
(1)先由正弦定理把边化为角，再结合三角形内角和及正弦的和角公式化简可得3sinA=cosA+1，结合平方关系即可得解；
(2)利用数量积公式可得bc=6，利用余弦定理可得b+c=5，再利用S△ABC=S△ABT+S△ACT建立关于AT的方程，解出即可．
此题主要考查利用正余弦定理解三角形，同时还涉及了三角恒等变换，数量积运算以及三角形的面积公式等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）由题意可得：
00前
00后
总计
购买
35
20
55
未购买
15
30
45
总计
50
50
100
则K2=100(35×30-15×20)250×50×45×55=10011≈9.091＞6.635，
所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关．
（2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为912×12-m12×12-m12=13，
解得m=20或4，
因为0＜m≤12，所以m=4．
②由题X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=312×412×412=136；
P(X=1)=912×412×412+312×812×412×2=736；
P(X=2)=912×812×412×2+312×812×812=49；
P(X=3)=13，
其分布列为：
X
0
1
2
3
P
136
736
49
13
所以数学期望E(X)=0×136+1×736+2×49+3×13=2512．
【解析】
(1)列出列联表，计算出K2然后判断．
(2)①利用概率的乘法公式计算；
②分析X的取值后，由概率的加法公式和乘法公式计算，得到分布列，然后计算期望．
此题主要考查离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．
20.【答案】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接A1C1，
由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知，O1C1=12A1C1=12AC=AO，且O1C1∥AO，
所以四边形O1AOC1为平行四边形，所以O1A∥OC1，
又因为O1A⊄平面C1BD，OC1⊂平面C1BD，
所以AO1∥平面C1BD．
解：（2）取AB中点H，
在C1D1上取点G，使得GD⊥DC，
因为AB=AD=2，∠BAD=π3，所以△BAD为正三角形，所以DH⊥AB，
又因为AB∥CD，所以DH⊥CD．
因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，平面CDD1C1∩平面ABCD=CD，
且DH⊂平面ABCD，所以DH⊥平面ABCD．所以DH⊥DG．
以D为原点，DH→，DC→，DG→分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设C1C=t，有A(3，-1，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，
C1(0，2-22t，22t)，D(0，0，0)，
DC1→=(0，2-22t，22t)，DB→=(3，1，0)，
易知平面CDD1C1的法向量n→=（1，0，0），设平面C1BD的法向量m→=（x，y，z），
{m→⋅DB→=0m→⋅DC1→=0⇒m→=(-1，3，3-26t)，
因为二面角B-C1D-C的余弦值为77，所以cos＜m→，n→＞=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=77⇒t=2，
所以A1(3，-2，1)，CA→1=(3，-4，1)，
所以sinθ=|cos＜m→，CA1→＞|=|m→⋅CA→1||m→|⋅|CA→1|=|3+43+3|3+16+1×1+3+3=310535．
故直线A1C与平面C1BD所成角的正弦值为310535．
【解析】
(1)利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)先建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解线面角即可．
此题主要考查线面角，考查学生的运算能力及空间想象能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）令M（x，y），又F（1，0）在圆O：x2+y2=4内，且圆O与以线段FM为直径的圆内切，
所以线段FM为直径的圆心为(x+12，y2)，则12(x-1)2+y2=2-(x+1)24+y24，
整理有(x-1)2+y2=4-(x+1)2+y2，则x2-2x+1+y2=4-x2+2x+1+y2，
所以x24+y23=1，又M是圆O：x2+y2=4内一动点，故x≠±2，
故M的轨迹方程为x24+y23=1且x≠±2．
（2）由题意知：O到直线l的距离为1，要使△POQ面积最大，只需|PQ|最大，
若直线l斜率不存在时，直线l：x=±1，此时P，Q为(1，±32)或(-1，±32)，
所以|PQ|=3，则△POQ面积为32；
若直线l斜率存在时，令直线l：y=kx+b，而|b|1+k2=1，即b2=1+k2，
联立直线与M的轨迹，{x24+y23=1y=kx+b，整理有（4k2+3）x2+8kbx+4b2-12=0，
则xP+xQ=-8kb4k2+3，xpxQ=4b2-124k2+3，
所以|PQ|=1+k2⋅|xP-xQ|=1+k2⋅(xP+xQ)2-4xPxQ=4(1+k2)(12k2+9-3b2)4k2+3，
则|PQ|=43⋅(1+k2)(3k2+2)4k2+3，
令t=4k2+3≥3，则|PQ|=3⋅-1t2+2t+3=3⋅-(1t-1)2+4，而0＜1t≤13，
所以|PQ|max=463，此时△POQ最大面积为263；
综上，△POQ最大面积为263．
【解析】
(1)令M(x,y)，可得线段FM为直径的圆心为(x+12,y2)，利用两点距离公式及两圆的内切关系列方程并化简，即可得轨迹方桯．
(2)要使△POQ面积最大只需|PQ|最大，讨论直线l斜率，设直线方程，联立M的轨迹方程，应用韦达定理、弦长公式求|PQ|的最值，进而确定三角形面积最大值．
此题主要考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）（1）f（x）=ex（1+alnx），
f'(x)=ex(1+alnx)+ax⋅ex=ex(1+alnx+ax)，
f（x）有两个极值点，即1+alnx+ax=0有两个根，
令g(x)=1+alnx+ax，
g'(x)=ax-ax2=ax2(x-1)，
①a=0，g（x）=1无零点，∴不成立，
②a＞0，则g（x）在（0，1）单减，在（1，+∞）单增，
g（x）min=g（1）=1+a＞0．不成立，
③a＜0，g（x）在（0，1）单增，在（1，+∞）单减，
当x→+∞，g（x）＜0，x→0+，g（x）＜0，g（x）有两个零点，
g（x）max=g（1）=1+a＞0，
∴a∈（-1，0），
（2）f（x）=ex（1+alnx）=0，∴x=e-a-，
f'(x)=ex(1+alnx+ax)，
f″(x)=ex(1+alnx+ax)+ex(ax-ax2)
=ex(1+alnx+2ax-ax2)，
令h(x)=1+alnx+2ax-ax2，
h'(x)=ax-2ax2+2ax3，
=ax3(x2-2x+2)=ax3[(x-1)2+1]＞0恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单增，
h(e-1a)=1-1+ae1a(2-e1a)=a⋅e1a(2-e1a)，
∵a⩾32，∴2-e1a⩾2-e23，(e≈2.718，e2≈7.34)，
∴3e2＜28=2 即2-e1a＞0，h(e-1a)＞0，
∵h(12)=1-aln2+4a-4a=1-aln2，
∵a⩾32，∴h(12)＜0，ln2≈0，69，
∵h(12)⋅h(e-1a)＜0，
∴∃x2∈(12，e-1a)使h（x2）=0，
f′（x）在（0，x2）单减，在[x2，+∞）单增，
f′（x）存在极小值x2，且x2＜x1=e-1a．
【解析】
(1)由题意，函数有两个极值点，即1+alnx+ax=0有两个根，再构造函数，求a的范围即可；
(2)对函数二次求导，再构造函数，令h(x)=1+alnx+2ax-ax2，再求极值，即可进行证明．
此题主要考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
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