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2022年山东省烟台市高考数学三模试卷
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这是一份2022年山东省烟台市高考数学三模试卷，共17页。试卷主要包含了复数2i1+i的共轭复数为，过双曲线C等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省烟台市高考数学三模试卷
1.（5分）若集合A={x|x⩾2}，B={x|x2-2x<3}，则(∁RA)∩B=()
A. {x|2⩽x<3} B. {x|-1
A. 1-i B. 1+i C. -1+i D. -1-i
3.（5分）若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》《九歌》《九章》《天问》等．某校于2022年6月第一个周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为()
A. 12 B. 34 C. 712 D. 56
5.（5分）过双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB中点，若kAB·kOD=12，则C的离心率为()
A. 6 B. 2 C. 3 D. 62
6.（5分）若2cos2(α-π3)=1+cos2α，则tan2α的值为()
A. -33 B. 33 C. -3 D. 3
7.（5分）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP→=xAB→+yAC→，则2x+2y的最大值为()
A. 83 B. 2 C. 43 D. 1
8.（5分）已知函数f(x)={|lnx|,x>0x2+2x-1,x⩽0，若方程f(x)=ax-1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为()
A. 01 D. a>2
9.（5分）若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是()
A. 平均数为2，中位数为3 B. 平均数为1，方差大于0.5
C. 平均数为2，众数为2 D. 平均数为2，方差为3
10.（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()
A. f(x)=2cos(2x-π3)
B. 满足f(x)>1的x的取值范围为(kπ,kπ+π3)(k∈Z)
C. 将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到图象的一条对称轴x=π3
D. 函数f(x)与g(x)=-2cos2x的图象关于直线x=π3对称
11.（5分）二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋅⋅⋅+a0·20，其中ai∈{0,1}(i=0,1,2,…，k)，记bn=a0+a1+…+ak-1+ak.如3=1×21+1×20，b3=1+1=2，则下列结论正确的有()
A. b9=3 B. b2n=bn
C. b2n+3=bn+1 D. b8n+5=b4n+3
12.（5分）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r>0)，劳累程度T(0
B. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C. 甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
13.（5分）若f(x)=g(x)⋅ln(x2-1)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(x)=______.
14.（5分）若(1-ax)8展开式中第6项的系数为1792，则实数a的值为 ______.
15.（5分）已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍，记P点的轨迹为C，直线y=kx+1交C于M，N两点，Q(1,4)，若△QMN的面积为2，则实数k的值为 ______.
16.（5分）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为 ______，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为 ______.
17.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2acosAcosC+2ccos2A.
(1)求角A；
(2)若a=4，求c-2b的取值范围．
18.（12分）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如表：
关卡x
1
2
3
4
5
6
平均过关时间y(单位：秒)
50
78
124
121
137
352
计算得到一些统计量的值为：i=16ui=28.5，i=16xiui=106.05，其中，ui=lnyi.
(1)若用模型y=aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程；
(2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得-1分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为45，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望．
参考公式：对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…)，其经验回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=i=1nxiyi-nx-y-i=1nxi2-nx-2，a^=y--b^x-.
19.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=12，当n⩾2时，Sn2=anSn-an.
(1)求Sn；
(2)设数列{2nSn}的前n项和为Tn，若λTn⩽(n2+9)·2n恒成立，求λ的取值范围．
20.（12分）如图，在平面五边形PABCD中，△PAD为正三角形，AD//BC，∠DAB=90°且AD=AB=2BC=2.将△PAD沿AD翻折成如图所示的四棱锥P-ABCD，使得PC=7.F，Q分别为AB，CE的中点．
(1)求证：FQ//平面PAD；
(2)若DEPE=12，求平面EFC与平面PAD夹角的余弦值．
21.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，其左、右焦点分别为，F2，T为椭圆C上任意一点，△TF1F2面积的最大值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A(0,1)，过点(0,12)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x轴的交点分别为P，Q，证明：以PQ为直径的圆过定点．
22.（12分）已知函数f(x)=aex-ln(x+1)(a∈R).
(1)证明：当a>0时，函数f(x)存在唯一的极值点；
(2)若不等式f(x)⩾cos(a-1)恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|x⩾2}，∴∁RA={x|x<2}，
∵B={x|x2-2x<3}={x|-1
先解一元二次不等式求出B，再根据集合的基本运算即可求解．
此题主要考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：∵2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i，
∴复数2i1+i的共轭复数为1-i.
故选：A.
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，
因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数条直线”正确，
a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，
此时直线a可以在平面α内，即不能推出a⊥α，
所以“a⊥α“是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件．
故选：A.
利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断即可．
此题主要考查充分必要条件，考查学生的推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为A44=24，
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为A44-A33-A33+A22=14，
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为1424=712.
故选：C.
利用古典概型概率公式去求周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率即可．
此题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，D为AB中点，
是双曲线上关于原点对称的两点，点T(x2,y2)(x2≠±x1)也在双曲线上，
由x2a2-y2b2=1得，y2=b2a2(x2-a2)，则y12=b2a2(x12-a2)，y22=b2a2(x22-a2)，
∴kABkOD=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1
=y22-y12x22-x12=b2a2(x22-a2)-b2a2(x12-a2)x22-x12=b2a2=12，
则e=ca=1+b2a2=1+12=62.
故选：D.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法，可得a，b的关系，由离心率公式计算可得所求值．
此题主要考查双曲线的方程和性质，以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由于2cos2(α-π3)=1+cos2α，整理得2cos2(α-π3)-1=cos2α，
所以cos(2α-2π3)=cos2α，
故32sin2α=32cos2α，
整理得tan2α=3.
故选：D.
直接利用倍角公式和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：倍角公式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：以O为坐标原点，过O平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得A(-1,-33)，B(1,-33)，C(0,233)，
点P在以O为圆心，233为半径的圆上，
所以可设P(233cosθ,233sinθ)，
则AP→=(233cosθ+1,233sinθ+33)，AB→=(2,0)，AC→=(1,3)，
由AP→=xAB→+yAC→，可得2x+y=233cosθ+1，3y=233sinθ+33，
∴2x+2y=233cosθ+1+23sinθ+13=43sin(θ+π3)+43，
∴当θ=π6时，2x+2y的最大值为83.
故选：A.
以O为坐标原点，过O平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(-1,-33)，B(1,-33)，C(0,233)，设P(233cosθ,233sinθ)，由AP→=xAB→+yAC→，可得2x+2y=43sin(θ+π3)+43，计算即可．
此题主要考查利用向量求代数式的最大值，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：作出函数f(x)的图象如图：
依题意方程f(x)=ax-1有且仅有三个实数解，即y=f(x)与y=ax-1有且仅有三个交点，因为y=ax-1必过(0,-1)，且f(0)=-1，
若a⩽0时，方程f(x)=ax-1不可能有三个实数解，则必有a>0，
当直线y=ax-1与y=lnx在x>1时相切时，设切点坐标为(x0,y0)，则f'(x)=1x，即f'(x0)=1x0，则切线方程为y-y0=1x0(x-x0)，即y=1x0⋅x+y0-1=1x0⋅x+lnx0-1，
∵切线方程为y=ax-1，∴a=1x0且lnx0-1=-1，则x0=1，所以a=1，
即当a>0时，y=f(x)与y=ax-1在(0,+∞)上有且仅有一个交点，
要使方程f(x)=ax-1有且仅有三个的实数解，
则当x⩽0时，f(x)=x2+2x-1与y=ax-1有两个交点，设直线y=ax-1与f(x)=x2+2x-1切于点(0,-1)，此时f'(x)=2x+2，则f'(0)=2，即a=2，
所以0
作出函数f(x)的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
此题主要考查了分段函数零点问题结合导数的几何意义，属于基础题，分情况讨论是关键．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，因10个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为 a， b， c， d，显然有d⩾c⩾b⩾a⩾3，而a+b+c+d⩽14，则 d的最大值为5，A符合条件；
对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；
对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均数为2，众数为2，C不符合；
对于D，设连续10天的数据为xi，i∈N*，i⩽10，因平均数为2，方差为3，
则有11010i=1(xi-2)2=3，于是得(xi-2)2⩽30，而xi∈N，i∈N*，i⩽10，因此xi⩽7，i∈N*，i⩽10，D符合条件．
故选：AD.
根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答．
此题主要考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A=2，
2πω=11π12+π12，∴ω=2.
再结合五点法作图，可得2×(-π12)+φ=0，∴φ=π6，
故f(x)=2sin(2x+π6)=2cos(π3-2x)=2cos(2x-π3)，故A正确．
f(x)>1，即sin(2x+π6)>12，∴2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6，k∈Z，
求得kπ
令x=π3，求得y=3，不是最值，得到图象的一条对称轴肯定不是x=π3，故C错误；
∵f(x)=2sin(2x+π6)=2cos(2x-π3)，∴f(2π3-x)=2cos(4π3-2x-π3)=-2cos2x=g(x)，
故函数f(x)与g(x)=-2cos2x的图象关于直线x=π3对称，故D正确，
故选：ABD.
由题意，根据函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据三角函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
此题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A选项：9=1×23+0×22+0×21+1×20，故b9=1+0+0+1=2，故A选项错误；
对于B选项：n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋯+a0·20，所以bn=ak+ak-1+⋯+a0，
则2n=ak·2k+1+ak-1·2k+⋯+a0·21+0×20，所以b2n=ak+ak-1+⋯+a0+0=bn，
故B选项正确；
对于C选项：n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋯+a0·20，所以bn=ak+ak-1+⋯+a0，
2n+3=ak·2k+1+ak-1·2k+⋯+(a0+1)·21+1×20，
所以b2n+3=ak+ak-1+⋯+a0+1+1=bn+2≠bn+1，
故C选项错误；
对于D选项：n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋯+a0·20，所以bn=ak+ak-1+⋯+a0，
8n+5=(ak·2k+3+ak-1·2k+2+⋯+a0·23)+1×22+0×21+1×20，
故b8n+5=ak+ak-1+⋯+a0+1+0+1=bn+2，
同理b4n+3=ak+ak-1+⋯+a0+1+1+0=bn+2，
故b8n+5=b4n+3，故D选项正确；
故选：BD.
利用题中定义依次计算出bk(k=9,n,2n,2n+3,8n+5,4n+3)的表达式从而进行判断即可．
此题主要考查数列递推式及求和的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：设甲与乙的工人工作效率E1，E2，工作年限r1，r2，劳累程度T1，T2，劳动动机b1，b2，
对于A1,r1=r2,E1>E2,b1
T2T1>b10.14r1b2-0.14r2=(b1b2)-0.14r1>1⋅
所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；
对于B，b1=b2，E1>E2，r1
∴T2T1>b1-0.14r1b2-0.14r2=(b1)-0.14(r1-r2)>1，
所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故B正确．
对于C，T1=T2，r1>r2，b1>b2，
∴1>b2-0.14>b1-0.14>0，b2-0.14r2>b1-0.14r2>b1-0.14r1，
则E1-E2=10-10T1⋅b1-0.14r1-(10-10T2⋅b2-0.14r2)=10T1(b2-0.14r2-b1-0.14r1)>0，
∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，故C正确；
对于D，b1=b2，r1>r2，T1
则E1-E2=10-10T1⋅b1-0.14r1-(10-10T2⋅b2-0.14r2)=10(T2⋅b2-0.14r2-T1⋅b1-0.14r1)>0，
∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，故D正确；
故选：BCD.
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得．
此题主要考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】 x
【解析】解：因为f(x)=g(x)⋅ln(x2-1)为奇函数，
所以f(-x)=g(-x)ln(x2-1)=-f(x)=-g(x)⋅ln(x2-1)，
所以g(-x)=-g(x)，
故g(x)为奇函数，
故符合题意的g(x)=x(答案不唯一).
故答案为：x(答案不唯一).
由已知结合奇函数的定义可求得g(x)为奇函数，结合基本初等函数的奇偶性可求．
此题主要考查了函数的奇偶性的定义的应用，属于基础题．
14.【答案】 -2
【解析】解：由已知可得C85(-a)5=1792，
解得a=-2.
故答案为：-2.
由已知可得关于a的方程，求解即可．
此题主要考查二项式定理，二项展开式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】 -7或1
【解析】解：设P(x,y)，由知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍，
∴(x-1)2+y2((x-1)2+(y-3)2=2,化简整理得(x-1)2+(y-4)2=4，
故动点P的轨迹是以(1,4)为圆心，2为半径的圆，故Q为圆心，
∵△QMN的面积为2，∴12|PM|⋅|PN|sin∠MPN=2，
所以∠MPN=90°，
所以可得点Q到直线y=kx+1的距离为2，
∴|k-4+1|1+k2=2，解得k=-7或k=1.
故答案为：-7或1.
设P(x,y)，由题意得(x-1)2+y2((x-1)2+(y-3)2=2,化简即可得轨迹方程，由△QMN的面积为2，可求k的值．
此题主要考查点的轨迹问题，考查直线方程的求法，属中档题．
16.【答案】 12π 15-3; 略
【解析】解：依题意，如图，过侧棱的中点作正三棱柱的截面，
则球心为△MNG的中心，
因为MN=6，所以△MNG内切圆的半径r=OH=13MH=13MN2-HN2=3，
即内切球的半径R=3，所以内切球的表面积S=4πR2=12π，
又正三棱柱的高AA1=2R=23，
所以OM=23OH=23，
所以AO=OM2+AM2=(23)2+(3)2=15，
所以A到球面上的点的距离最小值为AO-R=15-3；
故答案为：12π；15-3.
过侧棱的中点作正三棱柱的截面，即可得到球心为△MNG的中心，在正△MNG中求出内切圆的半径即内切球的半径，从而求出球的表面积，再求出三棱柱的顶点到球心的距离，即可求出球面上的点到顶点的距离的最小值．
此题主要考查了几何体的内切球的问题，属于中档题．
17.【答案】解：（1）有因为b=2acosAcosC+2ccos2A，
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC得，
sinB=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A=2cosA（sinAcosC+sinCcosA）=2cosAsinB，
∵A，B，C为△ABC的内角，
∴B∈（0，π），∴sinB≠0，
2cosA=1，∴cosA=12，∵A∈（0，π），∴A=π3；
（2）∵a=4，∴asinA=bsinB=csinC=432=833，
∴b=833sinB，c=833sinC，
∴c-2b=833(sinC-2sinB)sinB=sin(A+C)
=833[sinC-2sin(A+C)]
=833(sinC-2sinAcosC-2sinCcosA)
=833(sinC-3cosC-sinC)
=833⋅(-3sinC)=-8sinC，
∵B=π-（A+C）∈（0，π）且A=π3，
∴C∈(0，2π3)，
∴sinC∈（0，1]，∴-8sinC∈[-8，0），
∴（c-2b）∈[-8，0）．
【解析】
(1)根据正弦定理和二倍角公式将条件化简为sinB=2cosAsinB，进而可得cosA=12，求得A；
(2)利用正弦定理将所求的b，c化为三角形式，利用三角函数的性质求解取值范围．
此题主要考查了正余弦定理的应用以及三角函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：（1）对y=aebx两边同时取对数，则lny=bx+lna，
x-=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，u-=16i=16ui=16×28.5=4.75，
i=16xi2=12+22+32+42+52+62=91，
则}^b=i=16xiui-6x-u-i=16xi2-6x-2=106.05-6×3.5×4.7591-6×3.52=0.36，
又u-=}^bx-+lna，即4.75=0.36×3.5+lna，
所以lna=3.49，所以a=e3.49．
所以，y关于x的经验回归方程为y=e0.36x+3.49．
（2）由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，
则P(X=5)=15，P(X=7)=45×15=425，P(X=9)=(45)2×15=16125，P(X=12)=(45)3=64125，
所以X的分布列为：
X
5
7
9
12
P
15
425
16125
64125
所以E（X）=5×15+7×425+9×16125+12×64125=9.416．
【解析】
(1)根据已知条件，结合最小二乘法，以及对数函数的公式，即可求解．
(2)由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式，以及最小二乘法，属于中档题．
19.【答案】解：（1）当n≥2时，Sn2=anSn-an，
所以，Sn2=(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)，
整理得：SnSn-1=Sn-1-Sn，即1Sn-1Sn-1=1．
所以数列{1Sn}是以1S1=1a1=2为首项，1为公差的等差数列．
所以1Sn=n+1，即Sn=1n+1．
（2）由（1）知，2nSn=(n+1)⋅2n，
∴Tn=2×2+3×22+…+（n+1）•2n，①
∴2Tn=2×22+3×23…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得，-Tn=2×2+（22+23…+2n）-（n+1）•2n+1=2+2×(2n-1)2-1-（n+1）•2n+1，
∴Tn=n⋅2n+1，
由λTn≤(n2+9)⋅2n，即λn⋅2n+1≤（n2+9）⋅2n，即λ≤(n2+9)2n=n2+92n，
因为n2+92n≥2n2⋅92n=3，当且仅当n=3时，等号成立，
所以λ≤3．
∴λ∈（-∞，3]．
【解析】
(1)当n⩾2时，Sn2=anSn-an，可得Sn2=(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)，整理变形为1Sn-1Sn-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出Sn.
(2)由(1)知，2nSn=(n+1)⋅2n，利用错位相减法即可得出Tn，再利用基本不等式即可得出结论．
此题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、基本不等式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）证明：取DC的中点M，连结MF，MQ．
由中位线的性质可知，MQ∥PD，MF∥DA．
∵MQ⊄平面PAD，ME⊄平面PAD，PD，DA⊂平面PAD，
∴MQ∥平面PAD，MF∥平面PAD，
又MQ∩ME=M，故平面MQF∥平面PAD，
又FQ⊂平面MQF，
∴FQ∥平面PAD；
（2）取AD的中点O，连接OP，OC，
由于△PAD为正三角形，AD=2，于是OP⊥AD且OP=3，
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB=2BC=2，
∴OC⊥AD且OC=2，
又PC=7，
∴在△POC中，OP2+OC2=PC2，即OP⊥OC，
于是以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（1，0，0），C（0，2，0），F（-1，1，0），P(0，0，3)，DP→=(-1，0，3)．
∵DEPE=12，则DE→=13DP→=(-13，0，33)，
∴E(23，0，33)，
∴EC→=(-23，2，-33)，EF→=(-53，1，-33)．
设n→=(x，y，z)为平面EFC的一个法向量，
则{n→⋅EC→=0n→⋅EF→=0，即{-23x+2y-33z=0-53x+y-33z=0，取n→=(3，-3，-83)．
易知平面PAD的一个法向量m→=(0，1，0)，
设平面EFC与平面PAD夹角为θ，θ为锐角，
∴cosθ=|n→⋅m→||n→|⋅|m→|=39+9+192=21070，
∴平面EFC与平面PAD夹角的余弦值为21070．
【解析】
(1)结合已知条件及面面平行的判定定理证明面MQF//面PAD，再利用面面平行的性质定理即可得证；
(2)结合题中数据可证得OP⊥OC，建立合适的空间直角坐标系，求出平面EFC与平面PAD的法向量，利用空间向量的夹角公式即可得到答案．
本题以四棱锥为背景，考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
21.【答案】（1）解：因为椭圆C的离心率为22，所以ca=22．
又当T位于上顶点或者下顶点时，△TF1F2面积最大，即bc=1．
又a2=b2+c2，
即{ca=22bc=1a2=b2+c2，
所以b=c=1，a=2．
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
（2）证明：由题知，直线l的斜率存在，
所以设直线l的方程为y=kx+12，设M（x1，y1），N（x2，y2），
将直线l代入椭圆C的方程得：（4k2+2）x2+4kx-3=0，
由韦达定理得：x1+x2=-4k4k2+2，x1x2=-34k2+2，
直线AM的方程为y=y1-1x1x+1，直线AN的方程为y=y2-1x2x+1，
所以P(-x1y1-1，0)，Q(-x2y2-1，0)，
所以以PQ为直径的圆为(x+x1y1-1)(x+x2y2-1)+y2=0，
整理得：x2+y2+(x1y1-1+x2y2-1)x+x1x2(y1-1)(y2-1)=0．①
因为x1x2(y1-1)(y2-1)=x1x2(kx1-12)(kx2-12)=4x1x24k2x1x2-2k(x1+x2)+1=-12-12k2+8k2+4k2+2=-6，
令①中的x=0，可得y2=6，所以，以PQ为直径的圆过定点(0，±6)．
【解析】
(1)依题意可得{ca=22bc=1a2=b2+c2，即可求出a、b、c，即可得解；
(2)设直线l的方程为y=kx+12，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，消元之后结合韦达定理得到根与系数的关系，由直线AM、AN的方程，得到P、Q的坐标，即可得到以PQ为直径的圆的方程，再令x=0，得到y2=6，即可得解．
此题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22.【答案】证明：（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f'(x)=aex-1x+1=a(x+1)ex-1x+1．
令g（x）=a（x+1）ex-1，（x＞-1），则g′（x）=aex（x+2），
因为x＞-1，所以ex＞0，x+2＞0，
当a＞0时，g′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在（-1，+∞）上单调递增，
由g（-1）=-1＜0．又当x→+∞时，g（x）→+∞，
所以，存在唯一的x0∈（-1，+∞），使得g（x0）=0，
当x∈（-1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以函数f（x）在（-1，x0）上单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，所以函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增．
所以函数f（x）存在唯一的极值点．
解：（2）不等式f（x）≥cos（a-1）恒成立，
即φ（x）=aex-ln（x+1）-cos（a-1）≥0在（-1，+∞）上恒成立．
令h（a）=a-cos（a-1），a∈R，所以h（a）=1+sin（a-1）≥0，
所以h（a）在（-∞，+∞）上单调递增，
又h（1）=1-cos（1-1）=0，则a≥1时有h（a）≥h（1）=0．
所以，当x=0时，φ（0）=a-cos（a-1）≥0恒成立，
即h（a）≥h（1），则有a≥1．
令m（x）=ex-x-1，则m（x）=ex-1，
当x＞0时，m（x）＞0，m（x）单调递增；当x＜0时，m（x）＜0，m（x）单调递减，
则m（x）=ex-x-1在x=0时取得最小值m（0）=e0-0-1=0，
则ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．
令n（x）=x-ln（x+1），（x＞-1），则n(x)=1-1x+1=xx+1，
当x＞0时，n（x）＞0，n（x）单调递增；当-1＜x＜0时，n（x）＜0，n（x）单调递减，
则n（x）=x-ln（x+1），（x＞-1）在x=0时取得最小值n（0）=0-ln（0+1）=0，
则x≥ln（x+1）（当且仅当x=0时取等号）．
因为φ'(x)=aex-1x+1，
当a=1时，φ（x）=ex-ln（x+1）-1≥（x+1）-1-ln（x+1）=x-ln（x+1）≥0，
（当且仅当x=0时取等号）．
令k(x)=aex-1x+1，x∈(-1，+∞)，
当a＞1时，k'(x)=aex+1(x+1)2＞0，所以k（x）即q′（x）在（-1，+∞）上单调递增，
且φ(0)=a-1＞0，ϕ(1a-1)=ae1a-1-a＜a-a=0，
所以∃x0∈（-1，0），使ϕ（x0）=0，即aex0-1x0+1=0，即x0+lna=-ln（x0+1），
所以，当x∈（-1，x0）时，∅（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以，φ(x)≥φ(x0)=aex0-ln(x0+1)-cos(a-1)=1x0+1+x0+lna-cos(a-1)
=1x0+1+1+x0+lna-cos(a-1)-1＞21x0+1⋅(1+x0)-1+lna-cos(a-1)．
=1+lna-cos（a-1）≥0所以，a的取值范围为[1，+∞）．
【解析】
(1)求得函数f(x)的导函数，依据函数极值点定义去证明当a>0时，函数f(x)存在唯一的极值点；
(2)先令x=0求得a的取值范围a⩾1，再去证明当a⩾1时不等式f(x)⩾cos(a-1)恒成立，即可求得a的取值范围．
此题主要考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于难题．
2022年山东省烟台市高考数学三模试卷
1.（5分）若集合A={x|x⩾2}，B={x|x2-2x<3}，则(∁RA)∩B=()
A. {x|2⩽x<3} B. {x|-1
A. 1-i B. 1+i C. -1+i D. -1-i
3.（5分）若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》《九歌》《九章》《天问》等．某校于2022年6月第一个周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为()
A. 12 B. 34 C. 712 D. 56
5.（5分）过双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB中点，若kAB·kOD=12，则C的离心率为()
A. 6 B. 2 C. 3 D. 62
6.（5分）若2cos2(α-π3)=1+cos2α，则tan2α的值为()
A. -33 B. 33 C. -3 D. 3
7.（5分）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP→=xAB→+yAC→，则2x+2y的最大值为()
A. 83 B. 2 C. 43 D. 1
8.（5分）已知函数f(x)={|lnx|,x>0x2+2x-1,x⩽0，若方程f(x)=ax-1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为()
A. 0
9.（5分）若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是()
A. 平均数为2，中位数为3 B. 平均数为1，方差大于0.5
C. 平均数为2，众数为2 D. 平均数为2，方差为3
10.（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()
A. f(x)=2cos(2x-π3)
B. 满足f(x)>1的x的取值范围为(kπ,kπ+π3)(k∈Z)
C. 将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到图象的一条对称轴x=π3
D. 函数f(x)与g(x)=-2cos2x的图象关于直线x=π3对称
11.（5分）二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋅⋅⋅+a0·20，其中ai∈{0,1}(i=0,1,2,…，k)，记bn=a0+a1+…+ak-1+ak.如3=1×21+1×20，b3=1+1=2，则下列结论正确的有()
A. b9=3 B. b2n=bn
C. b2n+3=bn+1 D. b8n+5=b4n+3
12.（5分）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r>0)，劳累程度T(0
B. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C. 甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
13.（5分）若f(x)=g(x)⋅ln(x2-1)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(x)=______.
14.（5分）若(1-ax)8展开式中第6项的系数为1792，则实数a的值为 ______.
15.（5分）已知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍，记P点的轨迹为C，直线y=kx+1交C于M，N两点，Q(1,4)，若△QMN的面积为2，则实数k的值为 ______.
16.（5分）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为 ______，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为 ______.
17.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2acosAcosC+2ccos2A.
(1)求角A；
(2)若a=4，求c-2b的取值范围．
18.（12分）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如表：
关卡x
1
2
3
4
5
6
平均过关时间y(单位：秒)
50
78
124
121
137
352
计算得到一些统计量的值为：i=16ui=28.5，i=16xiui=106.05，其中，ui=lnyi.
(1)若用模型y=aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程；
(2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得-1分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为45，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望．
参考公式：对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…)，其经验回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=i=1nxiyi-nx-y-i=1nxi2-nx-2，a^=y--b^x-.
19.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=12，当n⩾2时，Sn2=anSn-an.
(1)求Sn；
(2)设数列{2nSn}的前n项和为Tn，若λTn⩽(n2+9)·2n恒成立，求λ的取值范围．
20.（12分）如图，在平面五边形PABCD中，△PAD为正三角形，AD//BC，∠DAB=90°且AD=AB=2BC=2.将△PAD沿AD翻折成如图所示的四棱锥P-ABCD，使得PC=7.F，Q分别为AB，CE的中点．
(1)求证：FQ//平面PAD；
(2)若DEPE=12，求平面EFC与平面PAD夹角的余弦值．
21.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，其左、右焦点分别为，F2，T为椭圆C上任意一点，△TF1F2面积的最大值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A(0,1)，过点(0,12)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x轴的交点分别为P，Q，证明：以PQ为直径的圆过定点．
22.（12分）已知函数f(x)=aex-ln(x+1)(a∈R).
(1)证明：当a>0时，函数f(x)存在唯一的极值点；
(2)若不等式f(x)⩾cos(a-1)恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|x⩾2}，∴∁RA={x|x<2}，
∵B={x|x2-2x<3}={x|-1
先解一元二次不等式求出B，再根据集合的基本运算即可求解．
此题主要考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：∵2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i，
∴复数2i1+i的共轭复数为1-i.
故选：A.
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，
因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数条直线”正确，
a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，
此时直线a可以在平面α内，即不能推出a⊥α，
所以“a⊥α“是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件．
故选：A.
利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断即可．
此题主要考查充分必要条件，考查学生的推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为A44=24，
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为A44-A33-A33+A22=14，
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为1424=712.
故选：C.
利用古典概型概率公式去求周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率即可．
此题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，D为AB中点，
是双曲线上关于原点对称的两点，点T(x2,y2)(x2≠±x1)也在双曲线上，
由x2a2-y2b2=1得，y2=b2a2(x2-a2)，则y12=b2a2(x12-a2)，y22=b2a2(x22-a2)，
∴kABkOD=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1
=y22-y12x22-x12=b2a2(x22-a2)-b2a2(x12-a2)x22-x12=b2a2=12，
则e=ca=1+b2a2=1+12=62.
故选：D.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法，可得a，b的关系，由离心率公式计算可得所求值．
此题主要考查双曲线的方程和性质，以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由于2cos2(α-π3)=1+cos2α，整理得2cos2(α-π3)-1=cos2α，
所以cos(2α-2π3)=cos2α，
故32sin2α=32cos2α，
整理得tan2α=3.
故选：D.
直接利用倍角公式和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：倍角公式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：以O为坐标原点，过O平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得A(-1,-33)，B(1,-33)，C(0,233)，
点P在以O为圆心，233为半径的圆上，
所以可设P(233cosθ,233sinθ)，
则AP→=(233cosθ+1,233sinθ+33)，AB→=(2,0)，AC→=(1,3)，
由AP→=xAB→+yAC→，可得2x+y=233cosθ+1，3y=233sinθ+33，
∴2x+2y=233cosθ+1+23sinθ+13=43sin(θ+π3)+43，
∴当θ=π6时，2x+2y的最大值为83.
故选：A.
以O为坐标原点，过O平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(-1,-33)，B(1,-33)，C(0,233)，设P(233cosθ,233sinθ)，由AP→=xAB→+yAC→，可得2x+2y=43sin(θ+π3)+43，计算即可．
此题主要考查利用向量求代数式的最大值，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：作出函数f(x)的图象如图：
依题意方程f(x)=ax-1有且仅有三个实数解，即y=f(x)与y=ax-1有且仅有三个交点，因为y=ax-1必过(0,-1)，且f(0)=-1，
若a⩽0时，方程f(x)=ax-1不可能有三个实数解，则必有a>0，
当直线y=ax-1与y=lnx在x>1时相切时，设切点坐标为(x0,y0)，则f'(x)=1x，即f'(x0)=1x0，则切线方程为y-y0=1x0(x-x0)，即y=1x0⋅x+y0-1=1x0⋅x+lnx0-1，
∵切线方程为y=ax-1，∴a=1x0且lnx0-1=-1，则x0=1，所以a=1，
即当a>0时，y=f(x)与y=ax-1在(0,+∞)上有且仅有一个交点，
要使方程f(x)=ax-1有且仅有三个的实数解，
则当x⩽0时，f(x)=x2+2x-1与y=ax-1有两个交点，设直线y=ax-1与f(x)=x2+2x-1切于点(0,-1)，此时f'(x)=2x+2，则f'(0)=2，即a=2，
所以0
作出函数f(x)的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
此题主要考查了分段函数零点问题结合导数的几何意义，属于基础题，分情况讨论是关键．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，因10个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为 a， b， c， d，显然有d⩾c⩾b⩾a⩾3，而a+b+c+d⩽14，则 d的最大值为5，A符合条件；
对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；
对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均数为2，众数为2，C不符合；
对于D，设连续10天的数据为xi，i∈N*，i⩽10，因平均数为2，方差为3，
则有11010i=1(xi-2)2=3，于是得(xi-2)2⩽30，而xi∈N，i∈N*，i⩽10，因此xi⩽7，i∈N*，i⩽10，D符合条件．
故选：AD.
根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答．
此题主要考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A=2，
2πω=11π12+π12，∴ω=2.
再结合五点法作图，可得2×(-π12)+φ=0，∴φ=π6，
故f(x)=2sin(2x+π6)=2cos(π3-2x)=2cos(2x-π3)，故A正确．
f(x)>1，即sin(2x+π6)>12，∴2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6，k∈Z，
求得kπ
令x=π3，求得y=3，不是最值，得到图象的一条对称轴肯定不是x=π3，故C错误；
∵f(x)=2sin(2x+π6)=2cos(2x-π3)，∴f(2π3-x)=2cos(4π3-2x-π3)=-2cos2x=g(x)，
故函数f(x)与g(x)=-2cos2x的图象关于直线x=π3对称，故D正确，
故选：ABD.
由题意，根据函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据三角函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
此题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A选项：9=1×23+0×22+0×21+1×20，故b9=1+0+0+1=2，故A选项错误；
对于B选项：n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋯+a0·20，所以bn=ak+ak-1+⋯+a0，
则2n=ak·2k+1+ak-1·2k+⋯+a0·21+0×20，所以b2n=ak+ak-1+⋯+a0+0=bn，
故B选项正确；
对于C选项：n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋯+a0·20，所以bn=ak+ak-1+⋯+a0，
2n+3=ak·2k+1+ak-1·2k+⋯+(a0+1)·21+1×20，
所以b2n+3=ak+ak-1+⋯+a0+1+1=bn+2≠bn+1，
故C选项错误；
对于D选项：n=ak·2k+ak-1·2k-1+⋯+a0·20，所以bn=ak+ak-1+⋯+a0，
8n+5=(ak·2k+3+ak-1·2k+2+⋯+a0·23)+1×22+0×21+1×20，
故b8n+5=ak+ak-1+⋯+a0+1+0+1=bn+2，
同理b4n+3=ak+ak-1+⋯+a0+1+1+0=bn+2，
故b8n+5=b4n+3，故D选项正确；
故选：BD.
利用题中定义依次计算出bk(k=9,n,2n,2n+3,8n+5,4n+3)的表达式从而进行判断即可．
此题主要考查数列递推式及求和的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：设甲与乙的工人工作效率E1，E2，工作年限r1，r2，劳累程度T1，T2，劳动动机b1，b2，
对于A1,r1=r2,E1>E2,b1
T2T1>b10.14r1b2-0.14r2=(b1b2)-0.14r1>1⋅
所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；
对于B，b1=b2，E1>E2，r1
∴T2T1>b1-0.14r1b2-0.14r2=(b1)-0.14(r1-r2)>1，
所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故B正确．
对于C，T1=T2，r1>r2，b1>b2，
∴1>b2-0.14>b1-0.14>0，b2-0.14r2>b1-0.14r2>b1-0.14r1，
则E1-E2=10-10T1⋅b1-0.14r1-(10-10T2⋅b2-0.14r2)=10T1(b2-0.14r2-b1-0.14r1)>0，
∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，故C正确；
对于D，b1=b2，r1>r2，T1
则E1-E2=10-10T1⋅b1-0.14r1-(10-10T2⋅b2-0.14r2)=10(T2⋅b2-0.14r2-T1⋅b1-0.14r1)>0，
∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，故D正确；
故选：BCD.
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得．
此题主要考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】 x
【解析】解：因为f(x)=g(x)⋅ln(x2-1)为奇函数，
所以f(-x)=g(-x)ln(x2-1)=-f(x)=-g(x)⋅ln(x2-1)，
所以g(-x)=-g(x)，
故g(x)为奇函数，
故符合题意的g(x)=x(答案不唯一).
故答案为：x(答案不唯一).
由已知结合奇函数的定义可求得g(x)为奇函数，结合基本初等函数的奇偶性可求．
此题主要考查了函数的奇偶性的定义的应用，属于基础题．
14.【答案】 -2
【解析】解：由已知可得C85(-a)5=1792，
解得a=-2.
故答案为：-2.
由已知可得关于a的方程，求解即可．
此题主要考查二项式定理，二项展开式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】 -7或1
【解析】解：设P(x,y)，由知动点P到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍，
∴(x-1)2+y2((x-1)2+(y-3)2=2,化简整理得(x-1)2+(y-4)2=4，
故动点P的轨迹是以(1,4)为圆心，2为半径的圆，故Q为圆心，
∵△QMN的面积为2，∴12|PM|⋅|PN|sin∠MPN=2，
所以∠MPN=90°，
所以可得点Q到直线y=kx+1的距离为2，
∴|k-4+1|1+k2=2，解得k=-7或k=1.
故答案为：-7或1.
设P(x,y)，由题意得(x-1)2+y2((x-1)2+(y-3)2=2,化简即可得轨迹方程，由△QMN的面积为2，可求k的值．
此题主要考查点的轨迹问题，考查直线方程的求法，属中档题．
16.【答案】 12π 15-3; 略
【解析】解：依题意，如图，过侧棱的中点作正三棱柱的截面，
则球心为△MNG的中心，
因为MN=6，所以△MNG内切圆的半径r=OH=13MH=13MN2-HN2=3，
即内切球的半径R=3，所以内切球的表面积S=4πR2=12π，
又正三棱柱的高AA1=2R=23，
所以OM=23OH=23，
所以AO=OM2+AM2=(23)2+(3)2=15，
所以A到球面上的点的距离最小值为AO-R=15-3；
故答案为：12π；15-3.
过侧棱的中点作正三棱柱的截面，即可得到球心为△MNG的中心，在正△MNG中求出内切圆的半径即内切球的半径，从而求出球的表面积，再求出三棱柱的顶点到球心的距离，即可求出球面上的点到顶点的距离的最小值．
此题主要考查了几何体的内切球的问题，属于中档题．
17.【答案】解：（1）有因为b=2acosAcosC+2ccos2A，
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC得，
sinB=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A=2cosA（sinAcosC+sinCcosA）=2cosAsinB，
∵A，B，C为△ABC的内角，
∴B∈（0，π），∴sinB≠0，
2cosA=1，∴cosA=12，∵A∈（0，π），∴A=π3；
（2）∵a=4，∴asinA=bsinB=csinC=432=833，
∴b=833sinB，c=833sinC，
∴c-2b=833(sinC-2sinB)sinB=sin(A+C)
=833[sinC-2sin(A+C)]
=833(sinC-2sinAcosC-2sinCcosA)
=833(sinC-3cosC-sinC)
=833⋅(-3sinC)=-8sinC，
∵B=π-（A+C）∈（0，π）且A=π3，
∴C∈(0，2π3)，
∴sinC∈（0，1]，∴-8sinC∈[-8，0），
∴（c-2b）∈[-8，0）．
【解析】
(1)根据正弦定理和二倍角公式将条件化简为sinB=2cosAsinB，进而可得cosA=12，求得A；
(2)利用正弦定理将所求的b，c化为三角形式，利用三角函数的性质求解取值范围．
此题主要考查了正余弦定理的应用以及三角函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：（1）对y=aebx两边同时取对数，则lny=bx+lna，
x-=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，u-=16i=16ui=16×28.5=4.75，
i=16xi2=12+22+32+42+52+62=91，
则}^b=i=16xiui-6x-u-i=16xi2-6x-2=106.05-6×3.5×4.7591-6×3.52=0.36，
又u-=}^bx-+lna，即4.75=0.36×3.5+lna，
所以lna=3.49，所以a=e3.49．
所以，y关于x的经验回归方程为y=e0.36x+3.49．
（2）由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，
则P(X=5)=15，P(X=7)=45×15=425，P(X=9)=(45)2×15=16125，P(X=12)=(45)3=64125，
所以X的分布列为：
X
5
7
9
12
P
15
425
16125
64125
所以E（X）=5×15+7×425+9×16125+12×64125=9.416．
【解析】
(1)根据已知条件，结合最小二乘法，以及对数函数的公式，即可求解．
(2)由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式，以及最小二乘法，属于中档题．
19.【答案】解：（1）当n≥2时，Sn2=anSn-an，
所以，Sn2=(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)，
整理得：SnSn-1=Sn-1-Sn，即1Sn-1Sn-1=1．
所以数列{1Sn}是以1S1=1a1=2为首项，1为公差的等差数列．
所以1Sn=n+1，即Sn=1n+1．
（2）由（1）知，2nSn=(n+1)⋅2n，
∴Tn=2×2+3×22+…+（n+1）•2n，①
∴2Tn=2×22+3×23…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得，-Tn=2×2+（22+23…+2n）-（n+1）•2n+1=2+2×(2n-1)2-1-（n+1）•2n+1，
∴Tn=n⋅2n+1，
由λTn≤(n2+9)⋅2n，即λn⋅2n+1≤（n2+9）⋅2n，即λ≤(n2+9)2n=n2+92n，
因为n2+92n≥2n2⋅92n=3，当且仅当n=3时，等号成立，
所以λ≤3．
∴λ∈（-∞，3]．
【解析】
(1)当n⩾2时，Sn2=anSn-an，可得Sn2=(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)，整理变形为1Sn-1Sn-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出Sn.
(2)由(1)知，2nSn=(n+1)⋅2n，利用错位相减法即可得出Tn，再利用基本不等式即可得出结论．
此题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、基本不等式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）证明：取DC的中点M，连结MF，MQ．
由中位线的性质可知，MQ∥PD，MF∥DA．
∵MQ⊄平面PAD，ME⊄平面PAD，PD，DA⊂平面PAD，
∴MQ∥平面PAD，MF∥平面PAD，
又MQ∩ME=M，故平面MQF∥平面PAD，
又FQ⊂平面MQF，
∴FQ∥平面PAD；
（2）取AD的中点O，连接OP，OC，
由于△PAD为正三角形，AD=2，于是OP⊥AD且OP=3，
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB=2BC=2，
∴OC⊥AD且OC=2，
又PC=7，
∴在△POC中，OP2+OC2=PC2，即OP⊥OC，
于是以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（1，0，0），C（0，2，0），F（-1，1，0），P(0，0，3)，DP→=(-1，0，3)．
∵DEPE=12，则DE→=13DP→=(-13，0，33)，
∴E(23，0，33)，
∴EC→=(-23，2，-33)，EF→=(-53，1，-33)．
设n→=(x，y，z)为平面EFC的一个法向量，
则{n→⋅EC→=0n→⋅EF→=0，即{-23x+2y-33z=0-53x+y-33z=0，取n→=(3，-3，-83)．
易知平面PAD的一个法向量m→=(0，1，0)，
设平面EFC与平面PAD夹角为θ，θ为锐角，
∴cosθ=|n→⋅m→||n→|⋅|m→|=39+9+192=21070，
∴平面EFC与平面PAD夹角的余弦值为21070．
【解析】
(1)结合已知条件及面面平行的判定定理证明面MQF//面PAD，再利用面面平行的性质定理即可得证；
(2)结合题中数据可证得OP⊥OC，建立合适的空间直角坐标系，求出平面EFC与平面PAD的法向量，利用空间向量的夹角公式即可得到答案．
本题以四棱锥为背景，考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
21.【答案】（1）解：因为椭圆C的离心率为22，所以ca=22．
又当T位于上顶点或者下顶点时，△TF1F2面积最大，即bc=1．
又a2=b2+c2，
即{ca=22bc=1a2=b2+c2，
所以b=c=1，a=2．
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
（2）证明：由题知，直线l的斜率存在，
所以设直线l的方程为y=kx+12，设M（x1，y1），N（x2，y2），
将直线l代入椭圆C的方程得：（4k2+2）x2+4kx-3=0，
由韦达定理得：x1+x2=-4k4k2+2，x1x2=-34k2+2，
直线AM的方程为y=y1-1x1x+1，直线AN的方程为y=y2-1x2x+1，
所以P(-x1y1-1，0)，Q(-x2y2-1，0)，
所以以PQ为直径的圆为(x+x1y1-1)(x+x2y2-1)+y2=0，
整理得：x2+y2+(x1y1-1+x2y2-1)x+x1x2(y1-1)(y2-1)=0．①
因为x1x2(y1-1)(y2-1)=x1x2(kx1-12)(kx2-12)=4x1x24k2x1x2-2k(x1+x2)+1=-12-12k2+8k2+4k2+2=-6，
令①中的x=0，可得y2=6，所以，以PQ为直径的圆过定点(0，±6)．
【解析】
(1)依题意可得{ca=22bc=1a2=b2+c2，即可求出a、b、c，即可得解；
(2)设直线l的方程为y=kx+12，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，消元之后结合韦达定理得到根与系数的关系，由直线AM、AN的方程，得到P、Q的坐标，即可得到以PQ为直径的圆的方程，再令x=0，得到y2=6，即可得解．
此题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22.【答案】证明：（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f'(x)=aex-1x+1=a(x+1)ex-1x+1．
令g（x）=a（x+1）ex-1，（x＞-1），则g′（x）=aex（x+2），
因为x＞-1，所以ex＞0，x+2＞0，
当a＞0时，g′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在（-1，+∞）上单调递增，
由g（-1）=-1＜0．又当x→+∞时，g（x）→+∞，
所以，存在唯一的x0∈（-1，+∞），使得g（x0）=0，
当x∈（-1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以函数f（x）在（-1，x0）上单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，所以函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增．
所以函数f（x）存在唯一的极值点．
解：（2）不等式f（x）≥cos（a-1）恒成立，
即φ（x）=aex-ln（x+1）-cos（a-1）≥0在（-1，+∞）上恒成立．
令h（a）=a-cos（a-1），a∈R，所以h（a）=1+sin（a-1）≥0，
所以h（a）在（-∞，+∞）上单调递增，
又h（1）=1-cos（1-1）=0，则a≥1时有h（a）≥h（1）=0．
所以，当x=0时，φ（0）=a-cos（a-1）≥0恒成立，
即h（a）≥h（1），则有a≥1．
令m（x）=ex-x-1，则m（x）=ex-1，
当x＞0时，m（x）＞0，m（x）单调递增；当x＜0时，m（x）＜0，m（x）单调递减，
则m（x）=ex-x-1在x=0时取得最小值m（0）=e0-0-1=0，
则ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．
令n（x）=x-ln（x+1），（x＞-1），则n(x)=1-1x+1=xx+1，
当x＞0时，n（x）＞0，n（x）单调递增；当-1＜x＜0时，n（x）＜0，n（x）单调递减，
则n（x）=x-ln（x+1），（x＞-1）在x=0时取得最小值n（0）=0-ln（0+1）=0，
则x≥ln（x+1）（当且仅当x=0时取等号）．
因为φ'(x)=aex-1x+1，
当a=1时，φ（x）=ex-ln（x+1）-1≥（x+1）-1-ln（x+1）=x-ln（x+1）≥0，
（当且仅当x=0时取等号）．
令k(x)=aex-1x+1，x∈(-1，+∞)，
当a＞1时，k'(x)=aex+1(x+1)2＞0，所以k（x）即q′（x）在（-1，+∞）上单调递增，
且φ(0)=a-1＞0，ϕ(1a-1)=ae1a-1-a＜a-a=0，
所以∃x0∈（-1，0），使ϕ（x0）=0，即aex0-1x0+1=0，即x0+lna=-ln（x0+1），
所以，当x∈（-1，x0）时，∅（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以，φ(x)≥φ(x0)=aex0-ln(x0+1)-cos(a-1)=1x0+1+x0+lna-cos(a-1)
=1x0+1+1+x0+lna-cos(a-1)-1＞21x0+1⋅(1+x0)-1+lna-cos(a-1)．
=1+lna-cos（a-1）≥0所以，a的取值范围为[1，+∞）．
【解析】
(1)求得函数f(x)的导函数，依据函数极值点定义去证明当a>0时，函数f(x)存在唯一的极值点；
(2)先令x=0求得a的取值范围a⩾1，再去证明当a⩾1时不等式f(x)⩾cos(a-1)恒成立，即可求得a的取值范围．
此题主要考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于难题．
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