2022年山东省枣庄市高考数学模拟试卷（3月份）

2022年山东省枣庄市高考数学模拟试卷（3月份）

1.（5分）已知集合，满足的集合可以是

A.  B.  C.  D.

2.（5分）命题“”的否定为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）设是方程在复数范围内的两个解，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的分位数为
 

A.  B.  C.  D.

5.（5分）在长方形中，，，点满足，点满足，则

A.  B.  C.  D.

6.（5分）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则

A. 或 B.  C. 或 D.

7.（5分）已知双曲线：的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知则

A.  B.  C.  D.

9.（5分）已知正数，满足，则

A. 的最大值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最小值为

10.（5分）一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个绿色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球中有红球”，则

A.  B.
C.  D.

11.（5分）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，则
 

A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 平行六面体的体积为

12.（5分）已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交于，两点点在轴的上方，过椭圆的右焦点的直线交于，两点，则 
 

A. 若，则的斜率
B. 的最小值为
C. 以为直径的圆与圆相切
D. 若，则四边形面积的最小值为

13.（5分）已知函数是偶函数，则实数的值为__________.

14.（5分）如图，等腰与矩形所在平面垂直，且，则四棱锥的外接球的表面积为___________.
 

15.（5分）已知随机变量，若最大，则___________.

16.（5分）已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是__________.

17.（12分）已知是等比数列的前项和.
求及； 

设，求的前项和

18.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且求： 
； 
的取值范围．

19.（12分）已知正方体中，点，分别是棱，的中点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面
 

作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由

求与该截面所在平面所成角的正弦值.

截面∶用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.

20.（12分）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项但根据得分规则∶全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.

如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率.

假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数求∶
①；    

②的分布列及数学期望.

21.（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小，

求的轨迹的方程

设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于两点和两点，其中设线段和的中点分别为，，过点作，垂足为试问∶是否存在定点，使得线段的长度为定值若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由.

22.（12分）己知函数

若，求的取值范围；

当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】 
此题主要考查余弦函数的性质、子集与真子集，属于基础题. 
根据余弦函数的性质化简集合，即可求出结果. 
解：因为， 
所以 
故选 

 

2.【答案】D

【解析】 
此题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题． 
根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可． 
解：命题为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知： 
所以命题“”的否定为：， 
故选：
 

3.【答案】D

【解析】 
此题主要考查共轭复数性质及复数集的概念，属于基础题一元二次方程当判别式时在复数集内有解，其根可由判别式求得，两个共轭复数、，，由此可得答案.解：法一： 
， 
方程有两个共轭虚根、 
由求根公式得， 
， 
； 
故选 
法二： 设代入 
得 
即  
， 
由式可得，或， 
当时，由上式可得，无解， 
当时，由上式可得， 
， 
， 
故选
 

4.【答案】C

【解析】 
此题主要考查用样本估计百分位数，属于基础题. 
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值记第组的频率为，求得和，进而得到分位数位于即可求得。解：记第组的频率为， 
 
 
 
分位数位于 
由分位数定义可知分位数. 
 
故选
 

5.【答案】A

【解析】 
此题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量数量积，属于中档题． 
先建立直角坐标系，由和求出，坐标，再写出，，按照数量积的坐标运算求解即可. 
解：如图，以为原点，，所在直线为，轴建立平面直角坐标系， 
 
则，，，，由， 
由知，则，， 
故 
故选：
 

6.【答案】B

【解析】 
此题主要考查了三角函数的定义和倍角公式，是基础题. 
先由三角函数的定义求出，，再利用即可求解.解：由角的终边经过点，可得，， 
故 
故选： 

 

7.【答案】D

【解析】解：由题意设，则，，， 
则， 
直线与直线的交点恰好为线段的中点，可知，与共线， 
，， 
可得， 
可得，所以． 
故选：． 
设出，求出的坐标，推出的坐标，利用向量共线转化求解即可． 
该题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

 

8.【答案】C

【解析】 
此题主要考查利用作差法比较大小、对数的运算性质，属于中档题. 
化简求出，求出，得出，利用，得出，即可求出结果 
解：因为， 
又 
 
 
 
， 
所以，即， 
因为， 
所以， 
因为 
 
 
， 
所以， 
所以 
故选
 

9.【答案】ABD

【解析】 
此题主要考查了最值的求法，考查了数形结合思想的运用，是中档题. 
令，，，结合三角函数的知识可判断、、；表示圆上的点与点连线的斜率，结合平面解析几何知识即可判断解：正数，满足， 
可设，， 
对于，，当时，取得最大值，故正确； 
对于，，当时，取得最大值，故正确； 
对于，，由于，所以没有最小值，故错误； 
对于，表示圆上的点与点连线的斜率，如图： 
 
由图可知，当过点的直线与圆相切时，取得最值，易知，切线的倾斜角为，斜率为为的最小值，故正确. 
故选
 

10.【答案】AD

【解析】 
此题主要考查了互斥事件与对立事件，古典概型的计算与应用，相互独立事件同时发生的概率和组合与组合数公式，属于中档题. 
利用组合与组合数公式，结合古典概型的计算得和，再利用互斥事件至少有一个发生的概率，结合组合与组合数公式和古典概型的计算得，再利用对立事件的概率得，对，，进行判断，再利用互斥事件至少有一个发生的概率对进行判断，从而得结论.解：因为袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球，个绿色球， 
从袋中不放回地依次随机摸出个球， 
设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”， 
“两次都摸到绿球”，“两个球中有红球”， 
所以，，， 
而与是对立事件，因此， 
所以，故正确 
，故不正确 
，故不正确. 
又因为与是互斥事件，所以，故正确. 
故选
 

11.【答案】ABD

【解析】 
 

此题主要考查利用空间向量求长度，判断垂直等应用，线面垂直的判定和性质，棱柱的体积，属于中档题. 
应用空间向量的加减法运算，选取向量为基底，通过向量数量积可判断，通过线面垂直的判定和性质可得四边形是正方形可判断，构造正四面体求出棱柱的高进而可得平行六面体的体积，判断 
 

解：因为以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，

所以，

，

则，所以正确；

，所以正确；

因为，易得， 
所以平面，所以，又， 
所以，所以四边形是正方形，边长为， 
故四边形的面积为，所以不正确；

四边形的面积为，由正四面体棱长都为， 
可知平行六面体的高为， 
所以平行六面体的体积为，所以正确.

故答案选：
 

12.【答案】BCD

【解析】 
此题主要考查椭圆弦长直线的斜率、直线与椭圆的位置关系的应用，圆与圆的位置关系的判断，属于困难题. 
选项，由得到，再联立直线和椭圆方程，结合韦达定理即可求出斜率 
选项，先联立直线和椭圆的方程，求出，再结合基本不等式求解即可， 
选项，由椭圆的定义结合两圆相切的圆心距和半径关系即可判断 
选项，斜率存在和不存在时分别计算面积，求出面积范围即可判断.解：易知：，， 
对于，若，显然直线的斜率存在且大于， 
设直线，，， 
联立椭圆方程， 
化简整理得， 
显然，，， 
又，， 
故，整理得， 
由，解得，又，故，错误 
对于，易知直线的斜率不为，设直线，，， 
联立椭圆方程， 
化简整理得， 
显然，，， 
由点在轴的上方，显然，， 
又， 
， 
 
 
 
，当且仅当，即时取等号，正确 
对于，设，的中点为，则， 
又， 
由椭圆定义知：，即， 
又的圆心为，半径为， 
故以为直径的圆与圆内切，正确 
对于，当直线的斜率存在时，由上知： 
 
， 
同理， 
故四边形面积为， 
令， 
则， 
又，故，故 
又当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，易得，， 
此时，故，正确. 
故选：
 

13.【答案】

【解析】 
此题主要考查函数的奇偶性，是基础题. 
由函数为偶函数，从而，即可求解. 
解：函数为偶函数， 
所以， 
即， 
所以，解得 
故答案为
 

14.【答案】

【解析】 
此题主要考查了简单组合体及其结构特征，考查几何体外接球的表面积，属于中档题. 
连接，，交于点，取的中点，连接，则由已知可得平面，连接，，然后利用已知条件可求出，从而可得点为四棱锥的外接球的球心，从而可求出其表面积. 
解：连接，，交于点，取的中点，连接， 
 
因为，所以， 
因为等腰与矩形所在平面垂直，平面平面，平面， 
所以平面， 
连接，，则， 
因为等腰和矩形中，， 
所以，，， 
所以，， 
所以， 
所以， 
所以点为四棱锥的外接球的球心，则球的半径为， 
所以四棱锥的外接球的表面积为， 
故答案为：  

 

15.【答案】

【解析】 
 

此题主要考查二项分布与方差的计算和性质应用，属于中档题. 
利用，且，解得，根据方差公式和性质即可求出结果.

解：，

则由题意，

且，

解得 
所以 
故答案为 

 

16.【答案】

【解析】 
此题主要考查了利用正弦型函数的单调性解决参数问题、由正弦型函数的值域或最值求参，属于中档题． 
先求出函数在上的单调递增区间，由函数在上单调递增和集合间的关系，解不等式组求出的范围．根据直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，列不等式求出的范围，求它们的交集可得答案．解：令， 
则， 
所以函数的单调递增区间为， 
因为函数在上单调递增， 
所以，所以 
因为，解得， 
又因为直线与函数的图象在上有且仅有一个交点， 
所以，解得 
综上所述：实数的取值范围是 
故答案为：
 

17.【答案】解：由，得 
当时， 
于是，，， 
由，，成等比数列，得，即 
解得 
当时，又时， 
可见，当时，为等比数列. 
即为所求且 
 
 
 
 

【解析】此题主要考查数列的递推关系式以及数列的求和公式的应用，属于中档题. 
利用，求出数列的通项公式，然后根据等比数列的定义求解 
化简数列的通项公式，然后利用分组求和求解即可．
 

18.【答案】解：（1）因为． 
所以sinBcos=sinAsinB， 
因为sinB＞0， 
所以cos=sinA=2sincos， 
由A为三角形内角得cos＞0， 
所以sin=， 
由A为三角形内角得A=； 
（2）由题意得0＜B＜， 
所以0＜，0＜tan＜， 
正弦定理得====×-=-=． 
故的取值范围为（-，1）．

【解析】 
由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化解即可求解； 
由已知结合正弦定理，二倍角公式及同角基本关系进行化简，然后结合正切函数的性质可求． 
此题主要考查了诱导公式，二倍角公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：设，分别是棱，的中点，顺次连接，，，，则四边形即为所求的截面. 
理由如下：因为点，分别是棱，的中点，故 
又，所以 
而两平行直线确定一个平面，所以四边形为平面图形. 
因为点，分别是棱，的中点， 
故 
又平面，平面， 
所以平面 
因为，，，， 
所以 
又，，，不共线，所以 
又平面，平面，所以平面 
又，平面，平面， 
所以平面平面 
 
 
解：建立如图所示的空间直角坐标系不妨设正方体的棱长为， 
则，，，， 
故， 
设平面的一个法向量为， 
则即， 
令，可得 
又，所以 
设线与该截面所成角为，则

【解析】此题主要考查几何体中的截面问题，面面平行的判定，以及利用空间向量求线面角，属于中档题. 
利用面面平行的有关知识，直接找出交线，并证明面面平行； 
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的方法，直接求出即可.
 

20.【答案】解：记事件为“题目答对了”，事件为“知道正确答案”，则， 
 
由全概率公式： 
所求概率为 
设事件表示小明选择了个选项，，，表示选到的选项都是正确的. 
由互斥事件的概率加法公式， 
 
 
 
 
 
随机变量的分布列为

【解析】此题主要考查条件概率、全概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查互斥事件的概率加法公式，属于中档题. 
由条件概率以及全概率公式可得结果； 
①设事件表示小明选择了个选项，，，，表示选到的选项都是正确的，由互斥事件的概率加法公式求，可得结果；②分别求出概率，列出分布列，利用公式求出数学期望.
 

21.【答案】解：因为动点到点的距离比到直线的距离小， 
所以点到点的距离和它到直线的距离相等， 
点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线. 
设抛物线方程为，由，得 
所以的轨迹的方程为 
由题意，直线的方程为，，，且， 
由消去并整理得， 
该方程的判别式 
设，， 
则，， 
所以，同理， 
的斜率， 
直线的方程为 
 
直线的方程为 
可见直线过定点 
又，所以点在以为直径的圆 
上. 
故存在定点，使得线段的长度为定值 
 

【解析】此题主要考查抛物线的定义以及抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，定值问题，属于中档题． 
根据题意，分析可得点到点的距离和它到直线的距离相等，进而分析可得点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，即可得抛物线的标准方程；直线的方程为与抛物线的方程，由根与系数的关系可得、的坐标，求出直线方程，由过定点得出的轨迹为以为直径的圆，故存在定点
 

22.【答案】解： 
若，当时，，，， 
当且仅当时取等号，可见符合题意. 
若，当时，； 
当时，， 
可见，当时，，当且仅当，且时取等号. 
所以在上单调递增，所以 
所以符合题意. 
若，因为在上单调递增，在上单调递增， 
所以在上单调递增. 
又，，由零点存在定理及的单调性. 
存在唯一的，使得 
当时，，单调递减，所以，可见，不符合题意. 
综上，的取值范围是 
若，由，时，，在内无零点. 
当时，，，， 
 
可见，若，在内无零点. 
若，由，时，，在内无零点. 
当时，， 
可见，若，在内无零点. 
③若，由，存在唯一的，当时，， 
单调递减，当时，，单调递增， 
又，所以，又， 
由零点存在定理及的单调性，存在唯一的， 
使得，可见，在内存在唯一的零点. 
当时，，，所以， 
可见，在有且仅有个零点. 
综上所述，若，在内无零点，若，在内有且仅有个零点.

【解析】此题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题及利用导数结合函数的性质及零点判定定理求解函数的零点个数问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于较难题. 
分类若，若，③若时分别利用导数求出的取值范围 
由已知结合导数分析函数的性质，然后结合函数的零点判定定理可求．