2022年山东省济南市高考数学模拟试卷（3月份）

2022年山东省济南市高考数学模拟试卷（3月份）

1.（5分）已知全集，集合，则

A. 或 B. 或
C.  D.

2.（5分）已知复数满足其中为虚数单位，则的模为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）某学校于月日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为，，，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为
 

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）函数的部分图象大致为

A.  B.
C.  D.

6.（5分）我们通常所说的血型系统是由，，三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中，为型血，，为型血，为型血，为型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为，，则孩子的基因型等可能的出现，，，四种结果．已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为型，不考虑基因突变，则小明是型血的概率为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）“”的一个充分条件是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知直线与直线相交于点，点，为坐标原点，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

9.（5分）的展开式中，下列结论正确的是

A. 展开式共项 B. 常数项为
C. 所有项的系数之和为 D. 所有项的二项式系数之和为

10.（5分）在棱长为的正方体中，为正方形的中心，则下列结论正确的是
 

A.  B. 平面
C. 点到平面的距离为 D. 直线与直线的夹角为

11.（5分）已知函数，下列结论正确的是

A. 为偶函数 B. 的值域为
C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称

12.（5分）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线则下列结论正确的是

A. 曲线与轴的交点为，
B. 曲线关于轴对称
C. 面积的最大值为
D. 的取值范围是

13.（5分）已知向量，满足，，则的值为 ______.

14.（5分）已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 ______.

15.（5分）已知椭圆：的焦点分别为，，且是抛物线：的焦点，若是与的交点，且，则的值为 ______.

16.（5分）已知函数，对任意非零实数，均满足则的值为 ______；函数的最小值为 ______.

17.（12分）已知是数列的前项和， 
求数列的通项公式； 
求数列的前项和

18.（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，满足 
求； 
若为边的中点，且，，求

19.（12分）如图，矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置， 
证明：平面平面； 
求直线与平面所成角的正弦值． 
 

20.（12分）第届世界乒乓球锦标赛将于年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用局胜制，每局为分制，每赢一球得分． 
已知某局比赛中双方比分为：，此时甲先连续发球次，然后乙连续发球次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，当任何一方的积分达到分且领先对方分时，该局比赛结束，求该局比赛甲以：获胜的概率； 
已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望．

21.（12分）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为 
求的方程； 
如图，点为双曲线的下顶点，直线过点且垂直于轴位于原点与上顶点之间，过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标．
 

22.（12分）设函数 
若有两个不同的零点，求实数的取值范围； 
若函数有两个极值点，，证明：

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：全集， 
集合， 
 
故选： 
求出集合，利用补集定义求出 
此题主要考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】B

【解析】解：， 
， 
 
故选： 
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解． 
此题主要考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】C

【解析】解：高三年级应分得侧柏的数量为， 
故选： 
按比例计算求解即可． 
此题主要考查了数据分析的应用，属于基础题．
 

4.【答案】A

【解析】解：因为， 
所以，可得，两边平方，可得， 
所以 
故选： 
利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，两边平方利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解． 
此题主要考查了两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】B

【解析】解：的定义域为，， 
可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项； 
又的导数为，可得递增，且， 
所以的零点只有一个，为，可排除选项； 
当时，，可排除选项； 
故选： 
首先判断的奇偶性，可得图象的特点，讨论的零点和时，的变化趋势，由排除法可得结论． 
此题主要考查函数的图象的判断，注意分析函数的奇偶性和函数值的变化趋势，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】C

【解析】解：根据爷爷、奶奶的血型可知小明父亲血型可能是、、、四种血型， 
结合母亲血型可计算小明是型血的概率 
故选： 
根据爷爷、奶奶的血型可知小明父亲血型可能是、、、四种血型，结合母亲血型可计算小明是型血的概率． 
此题主要考查古典概型应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】A

【解析】解：根据得得，所以对； 
由得，当满足，当时也满足，不满足题意，所以错； 
因为满足，也满足，不满足题意，所以错； 
因为满足，也满足，不满足题意，所以错． 
故选： 
根据运算可判断；由得再运算可判断；对、举例可判断； 
此题主要考查充分条件的判断、不等式性质应用、指对函数单调性应用，考查数学运算能力及推理能力，所以基础题．
 

8.【答案】B

【解析】解：由与直线，消去得点的轨迹方程为， 
设过与相交时的直线斜率为，则直线方程为， 
，解得， 
又，的最大值为， 
故选： 
可求得点的轨迹方程为，直线有公共点可求得斜率的范围，可求的最大值． 
此题主要考查点的轨迹与直线与圆的位置关系，属中档题．
 

9.【答案】CD

【解析】解：选项：因为，所以展开式共有项，故错误， 
选项：展开式的常数项为，故错误， 
选项：令，则所有项的系数和为，故正确， 
选项：所有项的二项式系数和为，故正确， 
故选： 
选项：根据二项式定理的性质即可判断，选项：求出展开式的常数项即可判断，选项：令即可判断，选项：根据二项式系数和公式即可判断． 
此题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】ABC

【解析】解：如图，连接，，则， 
连接，交于，连接，则，且则， 
可得四边形为平行四边形，则， 
，为的中点，，可得，故正确； 
由上可知，，平面，平面， 
平面，故正确； 
，点、到平面的距离相等， 
，， 
设到平面的距离为，则，得，故正确； 
直线直线与直线的夹角等于，故错误． 
故选： 
直接证明、正确；利用等体积法求点到平面的距离判断；求出两直线的夹角判断 
此题主要考查空间中点、线、面间的位置关系及距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

 

11.【答案】ABD

【解析】解：根据函数的关系式， 
对于：故故函数为偶函数，故正确； 
对于：由于函数的最小正周期为，故当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为，故函数的值域为，故正确； 
对于：当时，，当时，，故函数不单调，故错误； 
对于：当时，，取得最大值，故函数关于对称，故正确； 
故选： 
直接利用函数的性质，周期性，单调性和对称性的应用求出结果． 
此题主要考查的知识要点：三角函数的性质，单调性，周期性和对称性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】ABD

【解析】解：设点，依题意，， 
整理得：， 
对于，当时，解得，即曲线与轴的交点为，，正确； 
对于，因，由换方程不变，曲线关于轴对称，正确； 
对于，当时，，即点在曲线上，，不正确； 
对于，由得：，解得， 
于是得，解得，正确． 
故选： 
根据给定条件，求出曲线的方程，由判断；由曲线方程对称性判断；取特值计算判断；求出的范围计算判断作答． 
此题主要考查曲线的轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 3

【解析】解：向量，满足，， 
可得， 
所以 
故答案为： 
利用向量的坐标运算求解，然后求解向量的数量积即可． 
此题主要考查向量的坐标运算，向量的数量积的求法，是基础题．
 

14.【答案】 π

【解析】解：圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为的等腰三角形，可得圆锥的底面半径为：，圆锥的高为：， 
圆锥的体积为： 
故答案为： 
求出圆锥的底面半径以及圆锥的高，然后求解几何体的体积． 
此题主要考查圆锥的体积的求法，求解圆锥的底面半径与高是解答该题的关键，是基础题．
 

15.【答案】

【解析】解：依题意，由椭圆定义得，而，则， 
因为点是抛物线：的焦点，则该抛物线的准线过点，如图， 
 
过点作于点，由抛物线定义知，而， 
则，所以， 
故答案为： 
利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答． 
此题主要考查椭圆与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 0 ; 略

【解析】解：因为， 
所以， 
， 
 
， 
所以， 
所以， 
所以且， 
所以，， 
所以 
， 
所以在，上单调递增， 
令，得， 
又， 
所以， 
故答案为：， 
由，得，，解得，，即可得出的解析式，求导分析单调性，进而可得答案． 
此题主要考查导数的综合应用，涉及函数解析式的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：（1）∵Sn是数列{}的前n项和，Sn=，① 
∴S1=12=， 
Sn-1=（n-1）2，② 
①-②得：=2n-1，（n≥2）， 
=1也成立， 
∴=2n-1， 
（2）∵==（-）， 
∴数列的前n项和Tn=（1-+-+......+-）=（1-）=．

【解析】 
根据数列的递推关系，即可求解结论， 
直接裂项求和即可． 
此题主要考查数列通项公式和前项和的求解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题目．
 

18.【答案】解：（1）因为bsinA=acosB， 
所以由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB， 
又sinA≠0， 
可得sinB=cosB，可得tanB=， 
因为B∈（0，π）， 
所以B=． 
（2）延长BD到点M，使BD=DM，连接AM， 
在△ABM中，AB=4，AM=a，BM=2，∠BAM=， 
由余弦定理，可得BM2=AB2+AM2-2AB•AM•cos，即+4a-12=0，解得a=2，或a=-6（舍去）， 
所以a=2．
 

【解析】 
利用正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求的值． 
延长到点，使，连接，在中，由余弦定理可得，解方程即可求解的值． 
此题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
 

19.【答案】解：（1）证明：∵BC=1，PC=2，PB=，则BC2+PB2=PC2， 
∴BC⊥PB，又BC⊥AB，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB， 
∴BC⊥平面PAB， 
而BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAB． 
（2）在平面PAB内过P作PO⊥AB于点O，连接CO，如图， 
 
由（1）知，平面ABC⊥平面PAB，而平面ABC∩平面PAB=AB， 
则PO⊥平面ABC，∴∠PCO是直线PC与平面ABC所成角， 
在△PAB中，PA2+PB2=4=AB2，则∠APB=90°，PO==， 
在Rt△POC中，PC=2，则有sin∠PCO==， 
∴直线PC与平面ABC所成角的正弦值．

【解析】 
根据给定条件，证明平面，再利用面面垂直的判断推理作答． 
在平面内过点作于点，证明平面，即可推理计算作答． 
此题主要考查面面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：（1）在比分为8：8后甲先发球的情况下，甲以11：9赢下此局分两种情况： 
①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为， 
②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为， 
故所求事件概率为． 
（2）由题意可得，X所有可能取值为2，3，4，5， 
P（X=2）=， 
P（X=3）=， 
P（X=4）=， 
P（X=5）=， 
故X的分布列为：

故E（X）=．

【解析】 
在比分为：后甲先发球的情况下，甲以：赢下此局分两种情况，分别求出对应的概率，并求和，即可求解． 
由题意可得，所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解． 
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：（1）因为实轴长为4，即2a=4，a=2， 
又，所以， 
故C的方程为； 
（2）由O，A，N，M四点共圆可知，∠ANM+∠AOM=π， 
又∠MOP+∠AOM=π，即∠ANM=∠MOP， 
故， 
即，所以⋅=1， 
设G（，），H（，），M（，）， 
由题意可知A（0，-2），则直线，直线， 
因为M在直线1，所以=t，代入直线AG方程，可知， 
故M坐标为，所以， 
又==， 
由⋅=1，则， 
整理可得， 
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意， 
故设直线GH：y=kx+t，代入双曲线方程：中， 
可得（-1）+2ktx+-4=0，所以， 
又（+2）（+2）=（k+t+2）（k+t+2） 
=， 
所以， 
故t=2-t，即t=1，所以点P坐标为（0，1）．

【解析】 
根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得，，即得答案； 
根据，，，四点共圆结合几何性质可推出，设，，，从而可以用点的坐标表示出，再设直线：，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入的表达式中化简，可得答案． 
此题主要考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，属于难题．
 

22.【答案】解：（1）令t=，则f（x）有2个零点，等价于a-2t+2=0存在两个正根， 
所以，解得， 
所以使得f（x）有两个零点的a的取值范围是； 
证明：（2）g′（x）=a+（a-2）+2=（+1）（a-2+2）， 
因为＞0，+1＞0，且g（x）有两个极值点，， 
所以，为a-2+2=0的两个不同解， 
由（1）知，且，不妨设＞， 
 
= 
= 
=， 
要证明， 
只需证，因为，所以2a-1＜0， 
只需证，注意到， 
只需证，两边同除得， 
因为＞，只需证， 
设-=t（t＞0），令u（t）=t（+1）-2+2（t＞0），则只需证u（t）＞0即可， 
则u′（t）=（t-1）+1，令v（t）=u′（t）=（t-1）+1， 
则v′（t）=t＞0，所以v（t）在（0，+∞）上单调递增， 
所以v（t）＞v（0）=0，即u′（t）＞0， 
所以u（t）在（0，+∞）上单调递增， 
所以u（t）＞u（0）=0，得证．

【解析】 
令，则有个零点，等价于存在两个正根，求解即可；有两个极值点，，所以，为的两个不同解，得到， 
因为，只需证，构造新函数即可得证． 
此题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于难题．