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2022年山东省临沂市高考数学一模试卷
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这是一份2022年山东省临沂市高考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了已知z=i，则z的虚部为，已知圆C，已知F1，F2分别为双曲线C，给出下列说法，其中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省临沂市高考数学一模试卷
1.（5分）设集合A={ x|x>1}，B={ x|x⩽2}，则A∪B=( )
A. ∅ B. { x|1
2.（5分）已知z=(2-i)i，则z的虚部为( )
A. -2i B. -2 C. 2 D. 2i
3.（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )
A. 2π B. 3π C. 33π D. 3π
4.（5分）设向量a→=(1,x)，b→=(x,9)，若a→//b→，则x=( )
A. -3 B. 0 C. 3 D. 3或-3
5.（5分）二项式(2x+1x)6的展开式中无理项的项数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.（5分）已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=R2，点A(0,2)，B(2,0)，则“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.（5分）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有( )
A. 2280 B. 2120 C. 1440 D. 720
8.（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在第二象限内，且满足|F1P|=a，(F2→P+F2→F1)⋅F1→P=0，线段F1P与双曲线C交于点Q，若|F1P|=3|F1Q|，则C的离心率为( )
A. 213 B. 305 C. 516 D. 10510
9.（5分）给出下列说法，其中正确的是( )
A. 若数据x1，x2，⋯，xn的方差S2为0，则此组数据的众数唯一
B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多
D. 线性回归直线\hat y=\hat bx+\hat a恒过样本点的中心(- x,- y)，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
10.（5分）已知函数f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，则( )
A. g(x)在[π4,π2]上单调递增
B. (π4,0)是g(x)的一个对称中心
C. g(x)是奇函数
D. g(x)在区间[π6,2π3]上的值域为[0,2]
11.（5分）甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则( )
A. B与A1互相独立 B. A1，A2，A3两两互斥
C. P(B|A2)=25 D. P(B)=12
12.（5分）在平面四边形ABCD中，ΔABD的面积是ΔBCD面积的2倍，又数列{an}满足a1=2，当n⩾2时，恒有BD→=(an-1-2n-1)BA→+(an+2n)BC→，设{an}的前n项和为Sn，则( )
A. {an}为等比数列 B. {an}为递减数列
C. {an2n}为等差数列 D. Sn=(5-2n)2n+1-10
13.（5分）函数f(x)=xln(-x)，则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为 ______.
14.（5分）已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，Q(2,3)为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|+|MF|的最小值为4，则p=______；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段A，B的中点，则ΔAOB的面积为 ______.
15.（5分）已知正三棱台ABC-A'B'C'的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为 ______.
16.（5分）已知函数f(x)=ex-1-e1-x+x，则不等式f(2-x)+f(4-3x)⩽2的解集是 ______.
17.（12分）在①2c=asinC+ccosA，②sin(B+C)=2-1+2sin2A2，③2cos(π2-A)=sin2A这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ΔABC为面积为S，已知___.
(1)求A；
(2)若S=6，b=3，求a.
18.（12分）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告(2022))》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占35，统计后得到如下2×2列联表：
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
20
线上销售时间不足8小时
合计
45
(1)请完成上面的2×2列联表，并依据α=0.01的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；
②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值．
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E是棱PC的中点，F是棱PD上的点，且A，B，E，F四点共面．
(1)求证：F为PD的中点；
(2)若PA⊥底面ABCD，二面角P-CD-A的大小为45°，求直线AC与平面ABEF所成的角．
20.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，4Sn=an+1an+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbnan+1=(-1)nn，求{bn}的前2k项和T2k(k∈N*).
21.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x=2被C截得的线段长为233.
(1)求C的方程；
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2→=λBF1→，求四边形ABF1F2面积的最大值及此时λ的值．
22.（12分）已知函数f(x)=ex-2ax(a>0).
(1)若a=e，讨论f(x)的单调性；
(2)若x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，证明：1
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设集合A={ x|x>1}，B={ x|x⩽2}，
则A∪B=R，
故选：D.
利用并集的定义即可求解．
此题主要考查了集合间的运算关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵z=(2-i)i=1+2i，
∴z的虚部为2.
故选：C.
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
此题主要考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
这道题主要考查圆锥的侧面展开图以及圆锥的体积，属基础题．
通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，进而求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
解：圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，
底面半径为：1，圆锥的高为：3，
圆锥的体积为：13π×12×3=33π.
故选C．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，向量a→=(1,x)，b→=(x,9)，
若，则有x2=9，解可得x=3或-3，
故选：D.
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．
此题主要考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，二项式(2x+1x)6展开式的通项Tr+1=26-r⋅C6rx6-3r2，
分析可得：当r=0、2、4、6时，Tr+1为有理项，
即有4个有理项，而展开式共有7项，
故二项式(2x+1x)6的展开式中无理项的项数为3.
故选：B.
根据题意，求出该二项式展开式的通项，分析其项为有理项时r的值，即可得答案．
此题主要考查二项式定理的应用，关键是掌握有理项的定义以及二项式定理的内容．
6.【答案】A
【解析】解：∵点A(2,0)，B(0,2)，
∴直线AB方程为y=2-00-2x+2，即x+y-2=0，
则C(3,3)到直线AB的距离d=|3+3-2|2=22，
∵直线AB与圆C有公共点⇔R2⩾d2⇔R2⩾8，
则R2>8是直线AB与圆C有公共点的充分不必要条件，
故选：A.
求出直线AB的方程，求出圆心到直线AB的距离，再求出直线AB与圆C有公共点的充分必要条件即可．
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，充分必要条件的判断，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由于数字1，4，1，5，9，2，6中有2个相同的数字1，
故进行随机排列可以得到的不同情况有A77A22种，
而只有小数点前两位为11，12时，排列后得到的数字不大于3.14，
故小于3.14的不同情况有2A55种，
故得到的数字大于3.14的不同情况有A77A22-2A55=2280种．
故选：A.
根据条件得到总共有A77A22种，小于3.14的不同情况有2A55种，则大于3.14的不同情况有A77A22-2A55=2280种．
此题主要考查学生推理论证能力、数的排列组合，运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：取线段F1P的中点E，连接F2E，
因为(F1→P+F1→F2)⋅F2→P=0，
所以F2E⊥F1P，
所以ΔF1F2P是等腰三角形，且|F2P|=|F1F2|=2c，
在RtΔF1EF2中，cos∠F2F1E=|F1E||F1F2|=a22c=a4c，
连接F2Q，又|F1Q|=a3，点Q在双曲线C上，
由|F2Q|-|F1Q|=2a，则|F2Q|=7a3，
ΔF1QF2中，cos∠F2F1Q=|F1F2|2+|F1Q|2-|F2Q|22|F1F2|\cdot|F1Q|=(2c)2+(a3)2-(73a)22×2c×a3=a4c，
整理得12c2=17a2，
所以离心率e=ca=516，
故选：C.
取F1P的中点E，由已知得F2E⊥F1P，由三线合一得ΔF1F2P是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示cos∠F2F1E，再由双曲线的定义表示|F2Q|，在ΔF1QF2中由余弦定理列式，得关于a，c的等式关系，即可求得离心率．
此题主要考查了双曲线的离心率问题，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数据x1，x2，⋯，xn的方差S2为0，则数据x1，x2，⋯，xn的值全部相等，此时组数据的众数唯一，A正确；
对于B，该组数据的第40百分位数为7，B错误；
对于C，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，C正确；
对于D，回归直线\hat y=\hat bx+\hat a恒过样本点的中心(- x,- y)，分析回归直线的拟合效果，需要分析数据的残差平方和，D错误；
故选：AC.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
此题主要考查命题真假的判断，涉及样本的数据分析，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：因为f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)，
所以f(x)=2(32sin2ωx+12cos2ωx)=2sin(2ωx+π6)，
因为函数f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，
∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f(x)=2sin(2x+π6)，把函数 f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位，
得g(x)=2sin[2(x-π3)+π6]=2sin(2x-π2)=-2cos2x，即g(x)=-2cos2x，所以g(x)是偶函数，故C错误；
对于A：当x∈[π4,π2]时2x∈[π2,π]，因为y=cosx在[π2,π]上单调递减，所以g(x)在[π4,π2]上单调递增，故A正确；
对于B：g(π4)=-2cos(2×π4)=-2cosπ2=0，故(π4,0)是g(x)的一个对称中心，故B正确；
对于D：因为x∈[π6,2π3]，所以2x∈[π3,4π3]，所以cos2x∈[-1,12]，所以g(x)∈[-1,2]，故D错误；
故选：AB.
首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，即可得到函数的最小正周期，从而求出ω，再根据三角函数的变换规则得到g(x)的解析式，最后根据余弦函数的性质计算可得．
此题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：事件A1的发生与事件 B的发生有影响，因此事件A1的发生与事件 B不独立，A错；
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；
P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=29×41029=25，C正确；
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=49×510+29×410+39×410=49，D错．
故选：BC.
根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D.
此题主要考查互斥事件和条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：如图，连接BD交AC于点E，
由ΔABC的面积是ΔACD面积的2倍，
得AE=2EC，即AE→=2øverrightarrowEC，
设BD→=λøverrightarrowBE=λ(BC→+CE→)=λ(BC→-13AC→)=λ[BC→-13(BC→-BA→)]=2λ3BC→+λ3BA→，
∵BD→=(an-1-2n-1)BA→+(an+2n)，
∴an-1-2n-1=λ3，an+2n=2λ3，
∴an+2n=2(an-1-2n-1)，
∴an=2an-1-2×2n，
∴an2n=an-12n-1-2，
∵a1=2，
∴a12=1，
∴{an2n}是以1为首项，-2为公差的等差数列，
∴an2n=1-2(n-1)=-2n+3，
则an=(-2n+3)⋅2n，故A不正确，C正确；
∵an+1-an=(-2n+1)⋅2n+1-(-2n+3)⋅2n=-(2n+1)⋅2n<0恒成立，
即an+1
2Sn=1⋅22-2⋅23-3⋅34+…+(-2n+3)⋅2n+1，
∴-Sn=2-2(22+23+24+…+2n)-(-2n+3)⋅2n+1=2-2×4(1-2n-1)1-2-(-2n+3)⋅2n+1=10-(5-2n)2n+1，
∴Sn=(5-2n)2n+1-10.
故选：BCD.
连接BD交AC于点E，由三角形的面积公式，推得AE=2EC，根据向量的加减的几何意义可得设BD→=2λ3BC→+λ3BA→，即可得到{an2n}是以1为首项，-2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式可得an，判断单调性和运用错位相减法求和，即可判断正确结论．
本题为数列与向量综合的问题，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及错位相减法求和，向量的共线定理和向量的加减运算，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
13.【答案】 y=2x+e
【解析】解：求导函数可得f'(x)=ln(-x)+1，
当x=-e时，f'(-e)=lne+1=2，
∵f(-e)=-elne=-e，∴切点为(-e,-e)，
∴曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程是y+e=2(x+e)，即y=2x+e.
故答案为：y=2x+e.
求导函数，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．
此题主要考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
14.【答案】 2 22; 略
【解析】解：如图，过M作MM1垂直准线于M1，
由抛物线定义可知|MF|=|MM1|，
所以|MQ|+|MF|=|MQ|+|MM1|，
过Q作QQ1垂直准线于Q1，交抛物线于P，
所以|MQ|+|MM1|⩾|PQ|+|PQ1|，
所以当M在P处时，|MQ|+|MM1|=|PQ|+|PQ1|=|QQ1|最小，
此时|QQ1|=3+p2=4，解得：p=2.
所以抛物线标准方程为：x2=4y.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则有{x12=4y1x22=4y2，两式相减得：x12-x22=4y1-4y2，
即(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2)，
因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x1+x2=4，
所以直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1，
所以直线 AB的方程为：y-3=1×(x-2)，
即y=x+1，
由A(x1,y1)，B(x2,y2)符合{x2=4yy=x+1，消去y得：x2-4x-4=0，
所以x1+x2=4，x1x2=-4，
所以弦长|AB|=1+k2⋅|x1-x2|=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2=2⋅16+16=8，
而O到直线AB的距离为d=|0-0-1|12+(-1)2=22，
所以SΔABO=12|AB|⋅d=12×8×22=22.
故答案为：2；22.
过M作MM1垂直准线于M1，过Q作QQ1垂直准线于Q1，交抛物线于P，利用几何法判断出当M在P处时，|MQ|+|MM1|=|PQ|+|PQ1|=|QQ1|最小，求出p=2；
利用“点差法”求出直线AB的斜率，求出方程，利用“设而不求法”求出弦长，利用点到直线的距离公式求出高，即可求出面积．
此题主要考查了抛物线的定义和几何性质以及三角形的面积问题，属于中档题．
15.【答案】 2π
【解析】解：过B作BD⊥A'B'，∵AB=2，A'B'=5，
∴DB'=5-22=32，
∵侧棱长为BB'=3，
∴∠DB'B=π3，即∠AA'B=∠AA'C'=∠C'A'B'=π3，
则半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长3×π3×2=2π，
故答案为：2π.
根据正三棱台的性质求出∠AA'B=∠AA'C'=∠C'A'B'=π3，然后利用弧长公式求出弧长即可．
此题主要考查正三棱台的性质以及弧长公式的计算，根据条件求出三个球心角是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】 [1，+∞）
【解析】解：根据题意，设g(x)=f(x)-1=ex-1-e1-x+x-1，
则g(x+1)=ex-e-x+x，
设h(x)=ex-e-x+x，其定义域为R，且h(-x)=e-x-ex-x=-h(x)，则h(x)为奇函数，
则g(x)关于点(1,0)对称，则有g(2-x)=-g(x)，
易得h(x)在R上为增函数，则g(x)在R上为增函数，
不等式f(2-x)+f(4-3x)⩽2，变形可得f(2-x)-1+f(4-3x)-1⩽0，即g(2-x)+g(4-3x)⩽0，
变形可得g(4-3x)⩽g(x)，则有4-3x⩽x，解可得x⩾1，即不等式的解集为[1,+∞)；
故答案为：[1,+∞).
根据题意，设g(x)=f(x)-1=ex-1-e1-x+x-1，再设h(x)=ex-e-x+x，分析可得h(x)为奇函数且在R上为增函数，由此可得g(x)关于点(1,0)对称且在R上为增函数，由此分析，原不等式等价于g(4-3x)⩽g(x)，则有4-3x⩽x，解可得答案．
此题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的对称性和图象的变换，属于中档题．
17.【答案】解：（1）若选①，由正弦定理可得2sinC=sinAsinC+sinCcosA，
因为0＜C＜π，所以sinC≠0，
则2=sinA+cosA=2sin(A+π4)⇒sin(A+π4)=1，
0＜A＜π，于是A=π4．
若选②，由题意，sin(π-A)=2-cosA⇒sinA+cosA=2，
则2sin(A+π4)=2⇒sin(A+π4)=1，
而0＜A＜π，于是A=π4．
若选③，由题意，2sinA=2sinAcosA，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，
则cosA=22⇒A=π4．
（2）由题意，S=12bcsinA=32c×22=6⇒c=42，
由余弦定理cosA=9+32-a22×3×42=22⇒a=17．
【解析】
(1)若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选②，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选③，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而求得答案；
(2)先通过三角形的面积公式求出c，进而根据余弦定理求得答案．
此题主要考查了正余弦定理，三角形的面积计算等知识，属于基础题．
18.【答案】解：（1）∵每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，
∴每天线上销售时间不足8小时的企业有45-20=25家，其中每天销售额不足30万元的企业有25×35=15家，
故2×2列联表如下：
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
3
20
线上销售时间不足8小时
10
15
25
合计
27
18
45
∵K2=45×(17×15-10×3)227×18×20×25=9.375＞6.635，
∴依据α=0.01的独立性检验，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
（2）①销售额不少于30万元的企业数：27×545=3，
销售额不足30万元的企业数：18×545=2．
②由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，
P（X=0）=C152C182=3551，P（X=1）=C31C151C182=1551，P（X=2）=C32C182=151，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
3551
1551
151
故E（X）=0×3551+1×1551+2×151=13．
【解析】
(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
(2)①结合分层抽样的定义，即可求解．
②由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
19.【答案】（1）证明：依题意AB∥CD，∵CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD，
又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF，∴EF∥CD，
双∵PE=EC，∴PF=FD，即F是PD的中点；
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴PD⊥CD，
∴∠ADP为二面角P-CD-A的平面角，∴∠ADP=45°，∴PA=AD，
设AD=2，如图以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），
依题意AC→=（2，2，0），AF→=（0，1，1），AB→=（2，0，0），
设平面ABEF的一个法向量为n→=（x，y，z），
则{n→·AB→=0n→·AF→=0，即{2x=0y+z=0，令z=1，则x=0，y=-1，
∴平面ABEF的一个法向量为n→=（0，-1，1），
设直线AC与平面ABEF所成角为θ，
sinθ=|cos＜n→，AC→＞|=|n→·AC→||n→|·|AC→|=22×22=12，
∵θ∈[0，π2]，
∴直线AC与平面ABEF所成的角为π6．
【解析】
(1)AB//平面PCD，可得EF//CD，从而可得F是PD的中点；
(2)如图以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求平面ABEF的一个法向量，直线AC的方向向量，利用向量法可求直线AC与平面ABEF所成的角．
此题主要考查线面平行的性质，以及线面角的求法，属中档题．
20.【答案】解：（1）由4Sn=an+1an+1⋯①，
当n=1时，4S1=a2a1+1，
∵a1=1，
代入计算可得a2=3，
当n≥2时，4Sn-1=anan-1+1⋯②，
①-②得：4an=an（an+1-an-1），
∵an≠0，
∴an+1-an-1=4，
∴{a2n}是以a2为首项，4为公差的等差数列，n∈N*，
{a2n-1}是以a1为首项，4为公差的等差数列，n∈N*，
由此可得：a2n=3+4（n-1）=4n-1=2×2n-1，
a2n-1=1+4（n-1）=4n-3=2×（2n-1）-1，
∴an=2n-1，n∈N*；
（2）由已知有：bn=(-1)n·n(2n-1)(2n+1)，n∈N*，
∴bn=(-1)n·n2(12n-1-12n+1)，n∈N*，
故前2k项的和T2K=b1+b2+⋯b2k，
=-12(1-13)+22(13-15)+⋯+2k2(14k-1-14k+1)，
=-12+32×13-52×15+⋯+4k-12×14k-1-k4k+1，
=-k4k+1，
∴T2K=-k4k+1．
【解析】
本题首先由递推关系求通项，首先应讨论n=1，和n⩾2的时候，进而发现an需分奇偶求出通项公式之后，观察发现奇偶项可进行合并，从而得到an的通项公式，其次(2)问求和利用裂项相消直接求和即可．
此题主要考查递推关系求通项及裂项相消求和，属于数列中的中档题目．
21.【答案】解：（1）由题意得，离心率e=ca=1-b2a2=63，所以a=3b，
当x=2时，有2a2+y2b2=1，解得y=±b2-23，
因为直线x=2被C截得的线段长为233，
所以2b2-23=233，解得b=1，a=3，
故C的方程为x23+y2=1．
（2）由（1）知，F1（-2，0），F2（2，0），
延长BF1交椭圆C于点D，
因为AF2→=λBF1→，所以AF2∥BD，且λ=|yA||yB|，
由椭圆的对称性知，|AF2|=|DF1|，
设直线AF2与BD之间的距离为d，
则四边形ABF1F2面积S=12（|AF2|+|BF1|）•d=12（|DF1|+|BF1|）•d=12|BD|•d=S△BDF2=12|F1F2|•|yB-yD|=12•22•|yB-yD|=2•|yB-yD|，
设直线BD的方程为x=ty-2，
联立{x=ty-2x23+y2=1，得（t2+3）y2-22ty-1=0，则yB+yD=22tt2+3，yByD=-1t2+3，
所以|yB-yD|=(yB+yD)2-4yByD=(22tt2+3)2-4×(-1t2+3)=23·t2+1t2+3，
所以S=2•|yB-yD|=26t2+1t2+3，
令m=t2+1≥1，则S=26·mm2+2=26m+2m≤262m·2m=3，当且仅当m=2m，即m=2，t=±1时，等号成立，
所以四边形ABF1F2面积的最大值为3，
不妨取t=1，此时yB，yD是方程4y2-22y-1=0的两根，所以yB=2+64，yD=2-64，
所以λ=|yA||yB|=|yD||yB|=6-26+2=2-3．
【解析】
(1)由e=1-b2a2，知a=3b，将x=2代入椭圆方程，结合所截线段长可求得a和b的值，得解；
(2)延长BF1交椭圆C于点D，则|AF2|=|DF1|，λ=|yA||yB|=|yD||yB|，利用梯形的面积公式与割补法，推出S=S△BDF2=12|F1F2|⋅|yB-yD|，设直线BD的方程为x=ty-2，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理、换元法与基本不等式，即可得解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，熟练掌握椭圆的几何性质，割补法，基本不等式等是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
22.【答案】（1）解：f(x)=ex-2ax(a＞0)的定义域为（0，+∞），f′（x）=ex-ax，
当a=e时，f′（x）=ex-ex，
令f′（x）=0，则x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，l）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
（2）证明：因为x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，
所以ex1=2ax1，ex2=2ax2，
显然x1＞0，x2＞0，则有x1=ln2+lna+12lnx1，x2=ln2+lna+12lnx2，
所以x1-x2=12lnx1-12lnx2，
不妨令x1＞x2＞0，设t=x1x2＞1，
所以x1=tlnt2(t-1)，x2=lnt2(t-1)，
所以要证x1+x2=(t+1)lnt2(t-1)＞1，
只要证lnt＞2(t-1)t+1，即lnt-2(t-1)t+1＞0，
令g（t）=lnt-2(t-1)t+1 （t＞1），则g′（t）=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以g（t）＞g（1）=0，所以x1+x2＞1，
因为x1=ln2+lna+12lnx1，x2=ln2+lna+12lnx2，
所以x1+x2=2ln2+2lna+12ln（x1x2），
要证x1+x2＜2lna+ln2，只要证12ln（x1x2）＜-ln2，即x1x2＜14，
因为x1x2=t(lnt)24(t-1)2，所以只要证t(lnt)24(t-1)2＜14，
即lnt＜t-1t，即lnt-t+1t＜0，
令h（t）=lnt-t+1t，t＞1，则h′（t）=1t-12t-12tt=-(t-1)22tt＜0，
所以h（t）在（1，+∞）上单调递减，
所以h（t）＜h（1）=0，所以x1+x2＜2lna+ln2．
综上，1＜x1+x2＜2lna+ln2．
【解析】
(1)对函数求导后，由导函数的正负可求出函数的单调区间；
(2)由题意可得x1=ln2+lna+12lnx1，x2=ln2+lna+12lnx2，两式相减化简可得x1-x2=12lnx1-12lnx2，若令x1>x2>0，设t=x1x2>1，则x1=tlnt2(t-1)，x2=lnt2(t-1)，从而转化为证lnt-2(t-1)t+1>0，构造函数可证得x1+x2>1，而要证x1+x2<2lna+ln2，转化为证lnt-t+1t<0，构造函数利用导数证明即可．
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
2022年山东省临沂市高考数学一模试卷
1.（5分）设集合A={ x|x>1}，B={ x|x⩽2}，则A∪B=( )
A. ∅ B. { x|1
2.（5分）已知z=(2-i)i，则z的虚部为( )
A. -2i B. -2 C. 2 D. 2i
3.（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )
A. 2π B. 3π C. 33π D. 3π
4.（5分）设向量a→=(1,x)，b→=(x,9)，若a→//b→，则x=( )
A. -3 B. 0 C. 3 D. 3或-3
5.（5分）二项式(2x+1x)6的展开式中无理项的项数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.（5分）已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=R2，点A(0,2)，B(2,0)，则“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.（5分）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有( )
A. 2280 B. 2120 C. 1440 D. 720
8.（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在第二象限内，且满足|F1P|=a，(F2→P+F2→F1)⋅F1→P=0，线段F1P与双曲线C交于点Q，若|F1P|=3|F1Q|，则C的离心率为( )
A. 213 B. 305 C. 516 D. 10510
9.（5分）给出下列说法，其中正确的是( )
A. 若数据x1，x2，⋯，xn的方差S2为0，则此组数据的众数唯一
B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多
D. 线性回归直线\hat y=\hat bx+\hat a恒过样本点的中心(- x,- y)，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
10.（5分）已知函数f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，则( )
A. g(x)在[π4,π2]上单调递增
B. (π4,0)是g(x)的一个对称中心
C. g(x)是奇函数
D. g(x)在区间[π6,2π3]上的值域为[0,2]
11.（5分）甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则( )
A. B与A1互相独立 B. A1，A2，A3两两互斥
C. P(B|A2)=25 D. P(B)=12
12.（5分）在平面四边形ABCD中，ΔABD的面积是ΔBCD面积的2倍，又数列{an}满足a1=2，当n⩾2时，恒有BD→=(an-1-2n-1)BA→+(an+2n)BC→，设{an}的前n项和为Sn，则( )
A. {an}为等比数列 B. {an}为递减数列
C. {an2n}为等差数列 D. Sn=(5-2n)2n+1-10
13.（5分）函数f(x)=xln(-x)，则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为 ______.
14.（5分）已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，Q(2,3)为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|+|MF|的最小值为4，则p=______；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段A，B的中点，则ΔAOB的面积为 ______.
15.（5分）已知正三棱台ABC-A'B'C'的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为 ______.
16.（5分）已知函数f(x)=ex-1-e1-x+x，则不等式f(2-x)+f(4-3x)⩽2的解集是 ______.
17.（12分）在①2c=asinC+ccosA，②sin(B+C)=2-1+2sin2A2，③2cos(π2-A)=sin2A这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ΔABC为面积为S，已知___.
(1)求A；
(2)若S=6，b=3，求a.
18.（12分）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告(2022))》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占35，统计后得到如下2×2列联表：
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
20
线上销售时间不足8小时
合计
45
(1)请完成上面的2×2列联表，并依据α=0.01的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；
②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值．
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E是棱PC的中点，F是棱PD上的点，且A，B，E，F四点共面．
(1)求证：F为PD的中点；
(2)若PA⊥底面ABCD，二面角P-CD-A的大小为45°，求直线AC与平面ABEF所成的角．
20.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，4Sn=an+1an+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbnan+1=(-1)nn，求{bn}的前2k项和T2k(k∈N*).
21.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x=2被C截得的线段长为233.
(1)求C的方程；
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2→=λBF1→，求四边形ABF1F2面积的最大值及此时λ的值．
22.（12分）已知函数f(x)=ex-2ax(a>0).
(1)若a=e，讨论f(x)的单调性；
(2)若x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，证明：1
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设集合A={ x|x>1}，B={ x|x⩽2}，
则A∪B=R，
故选：D.
利用并集的定义即可求解．
此题主要考查了集合间的运算关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵z=(2-i)i=1+2i，
∴z的虚部为2.
故选：C.
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
此题主要考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
这道题主要考查圆锥的侧面展开图以及圆锥的体积，属基础题．
通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，进而求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
解：圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，
底面半径为：1，圆锥的高为：3，
圆锥的体积为：13π×12×3=33π.
故选C．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，向量a→=(1,x)，b→=(x,9)，
若，则有x2=9，解可得x=3或-3，
故选：D.
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．
此题主要考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，二项式(2x+1x)6展开式的通项Tr+1=26-r⋅C6rx6-3r2，
分析可得：当r=0、2、4、6时，Tr+1为有理项，
即有4个有理项，而展开式共有7项，
故二项式(2x+1x)6的展开式中无理项的项数为3.
故选：B.
根据题意，求出该二项式展开式的通项，分析其项为有理项时r的值，即可得答案．
此题主要考查二项式定理的应用，关键是掌握有理项的定义以及二项式定理的内容．
6.【答案】A
【解析】解：∵点A(2,0)，B(0,2)，
∴直线AB方程为y=2-00-2x+2，即x+y-2=0，
则C(3,3)到直线AB的距离d=|3+3-2|2=22，
∵直线AB与圆C有公共点⇔R2⩾d2⇔R2⩾8，
则R2>8是直线AB与圆C有公共点的充分不必要条件，
故选：A.
求出直线AB的方程，求出圆心到直线AB的距离，再求出直线AB与圆C有公共点的充分必要条件即可．
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，充分必要条件的判断，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由于数字1，4，1，5，9，2，6中有2个相同的数字1，
故进行随机排列可以得到的不同情况有A77A22种，
而只有小数点前两位为11，12时，排列后得到的数字不大于3.14，
故小于3.14的不同情况有2A55种，
故得到的数字大于3.14的不同情况有A77A22-2A55=2280种．
故选：A.
根据条件得到总共有A77A22种，小于3.14的不同情况有2A55种，则大于3.14的不同情况有A77A22-2A55=2280种．
此题主要考查学生推理论证能力、数的排列组合，运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：取线段F1P的中点E，连接F2E，
因为(F1→P+F1→F2)⋅F2→P=0，
所以F2E⊥F1P，
所以ΔF1F2P是等腰三角形，且|F2P|=|F1F2|=2c，
在RtΔF1EF2中，cos∠F2F1E=|F1E||F1F2|=a22c=a4c，
连接F2Q，又|F1Q|=a3，点Q在双曲线C上，
由|F2Q|-|F1Q|=2a，则|F2Q|=7a3，
ΔF1QF2中，cos∠F2F1Q=|F1F2|2+|F1Q|2-|F2Q|22|F1F2|\cdot|F1Q|=(2c)2+(a3)2-(73a)22×2c×a3=a4c，
整理得12c2=17a2，
所以离心率e=ca=516，
故选：C.
取F1P的中点E，由已知得F2E⊥F1P，由三线合一得ΔF1F2P是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示cos∠F2F1E，再由双曲线的定义表示|F2Q|，在ΔF1QF2中由余弦定理列式，得关于a，c的等式关系，即可求得离心率．
此题主要考查了双曲线的离心率问题，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数据x1，x2，⋯，xn的方差S2为0，则数据x1，x2，⋯，xn的值全部相等，此时组数据的众数唯一，A正确；
对于B，该组数据的第40百分位数为7，B错误；
对于C，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，C正确；
对于D，回归直线\hat y=\hat bx+\hat a恒过样本点的中心(- x,- y)，分析回归直线的拟合效果，需要分析数据的残差平方和，D错误；
故选：AC.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
此题主要考查命题真假的判断，涉及样本的数据分析，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：因为f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)，
所以f(x)=2(32sin2ωx+12cos2ωx)=2sin(2ωx+π6)，
因为函数f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，
∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f(x)=2sin(2x+π6)，把函数 f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位，
得g(x)=2sin[2(x-π3)+π6]=2sin(2x-π2)=-2cos2x，即g(x)=-2cos2x，所以g(x)是偶函数，故C错误；
对于A：当x∈[π4,π2]时2x∈[π2,π]，因为y=cosx在[π2,π]上单调递减，所以g(x)在[π4,π2]上单调递增，故A正确；
对于B：g(π4)=-2cos(2×π4)=-2cosπ2=0，故(π4,0)是g(x)的一个对称中心，故B正确；
对于D：因为x∈[π6,2π3]，所以2x∈[π3,4π3]，所以cos2x∈[-1,12]，所以g(x)∈[-1,2]，故D错误；
故选：AB.
首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，即可得到函数的最小正周期，从而求出ω，再根据三角函数的变换规则得到g(x)的解析式，最后根据余弦函数的性质计算可得．
此题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：事件A1的发生与事件 B的发生有影响，因此事件A1的发生与事件 B不独立，A错；
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；
P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=29×41029=25，C正确；
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=49×510+29×410+39×410=49，D错．
故选：BC.
根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D.
此题主要考查互斥事件和条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：如图，连接BD交AC于点E，
由ΔABC的面积是ΔACD面积的2倍，
得AE=2EC，即AE→=2øverrightarrowEC，
设BD→=λøverrightarrowBE=λ(BC→+CE→)=λ(BC→-13AC→)=λ[BC→-13(BC→-BA→)]=2λ3BC→+λ3BA→，
∵BD→=(an-1-2n-1)BA→+(an+2n)，
∴an-1-2n-1=λ3，an+2n=2λ3，
∴an+2n=2(an-1-2n-1)，
∴an=2an-1-2×2n，
∴an2n=an-12n-1-2，
∵a1=2，
∴a12=1，
∴{an2n}是以1为首项，-2为公差的等差数列，
∴an2n=1-2(n-1)=-2n+3，
则an=(-2n+3)⋅2n，故A不正确，C正确；
∵an+1-an=(-2n+1)⋅2n+1-(-2n+3)⋅2n=-(2n+1)⋅2n<0恒成立，
即an+1
2Sn=1⋅22-2⋅23-3⋅34+…+(-2n+3)⋅2n+1，
∴-Sn=2-2(22+23+24+…+2n)-(-2n+3)⋅2n+1=2-2×4(1-2n-1)1-2-(-2n+3)⋅2n+1=10-(5-2n)2n+1，
∴Sn=(5-2n)2n+1-10.
故选：BCD.
连接BD交AC于点E，由三角形的面积公式，推得AE=2EC，根据向量的加减的几何意义可得设BD→=2λ3BC→+λ3BA→，即可得到{an2n}是以1为首项，-2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式可得an，判断单调性和运用错位相减法求和，即可判断正确结论．
本题为数列与向量综合的问题，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及错位相减法求和，向量的共线定理和向量的加减运算，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
13.【答案】 y=2x+e
【解析】解：求导函数可得f'(x)=ln(-x)+1，
当x=-e时，f'(-e)=lne+1=2，
∵f(-e)=-elne=-e，∴切点为(-e,-e)，
∴曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程是y+e=2(x+e)，即y=2x+e.
故答案为：y=2x+e.
求导函数，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．
此题主要考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
14.【答案】 2 22; 略
【解析】解：如图，过M作MM1垂直准线于M1，
由抛物线定义可知|MF|=|MM1|，
所以|MQ|+|MF|=|MQ|+|MM1|，
过Q作QQ1垂直准线于Q1，交抛物线于P，
所以|MQ|+|MM1|⩾|PQ|+|PQ1|，
所以当M在P处时，|MQ|+|MM1|=|PQ|+|PQ1|=|QQ1|最小，
此时|QQ1|=3+p2=4，解得：p=2.
所以抛物线标准方程为：x2=4y.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则有{x12=4y1x22=4y2，两式相减得：x12-x22=4y1-4y2，
即(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2)，
因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x1+x2=4，
所以直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1，
所以直线 AB的方程为：y-3=1×(x-2)，
即y=x+1，
由A(x1,y1)，B(x2,y2)符合{x2=4yy=x+1，消去y得：x2-4x-4=0，
所以x1+x2=4，x1x2=-4，
所以弦长|AB|=1+k2⋅|x1-x2|=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2=2⋅16+16=8，
而O到直线AB的距离为d=|0-0-1|12+(-1)2=22，
所以SΔABO=12|AB|⋅d=12×8×22=22.
故答案为：2；22.
过M作MM1垂直准线于M1，过Q作QQ1垂直准线于Q1，交抛物线于P，利用几何法判断出当M在P处时，|MQ|+|MM1|=|PQ|+|PQ1|=|QQ1|最小，求出p=2；
利用“点差法”求出直线AB的斜率，求出方程，利用“设而不求法”求出弦长，利用点到直线的距离公式求出高，即可求出面积．
此题主要考查了抛物线的定义和几何性质以及三角形的面积问题，属于中档题．
15.【答案】 2π
【解析】解：过B作BD⊥A'B'，∵AB=2，A'B'=5，
∴DB'=5-22=32，
∵侧棱长为BB'=3，
∴∠DB'B=π3，即∠AA'B=∠AA'C'=∠C'A'B'=π3，
则半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长3×π3×2=2π，
故答案为：2π.
根据正三棱台的性质求出∠AA'B=∠AA'C'=∠C'A'B'=π3，然后利用弧长公式求出弧长即可．
此题主要考查正三棱台的性质以及弧长公式的计算，根据条件求出三个球心角是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】 [1，+∞）
【解析】解：根据题意，设g(x)=f(x)-1=ex-1-e1-x+x-1，
则g(x+1)=ex-e-x+x，
设h(x)=ex-e-x+x，其定义域为R，且h(-x)=e-x-ex-x=-h(x)，则h(x)为奇函数，
则g(x)关于点(1,0)对称，则有g(2-x)=-g(x)，
易得h(x)在R上为增函数，则g(x)在R上为增函数，
不等式f(2-x)+f(4-3x)⩽2，变形可得f(2-x)-1+f(4-3x)-1⩽0，即g(2-x)+g(4-3x)⩽0，
变形可得g(4-3x)⩽g(x)，则有4-3x⩽x，解可得x⩾1，即不等式的解集为[1,+∞)；
故答案为：[1,+∞).
根据题意，设g(x)=f(x)-1=ex-1-e1-x+x-1，再设h(x)=ex-e-x+x，分析可得h(x)为奇函数且在R上为增函数，由此可得g(x)关于点(1,0)对称且在R上为增函数，由此分析，原不等式等价于g(4-3x)⩽g(x)，则有4-3x⩽x，解可得答案．
此题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的对称性和图象的变换，属于中档题．
17.【答案】解：（1）若选①，由正弦定理可得2sinC=sinAsinC+sinCcosA，
因为0＜C＜π，所以sinC≠0，
则2=sinA+cosA=2sin(A+π4)⇒sin(A+π4)=1，
0＜A＜π，于是A=π4．
若选②，由题意，sin(π-A)=2-cosA⇒sinA+cosA=2，
则2sin(A+π4)=2⇒sin(A+π4)=1，
而0＜A＜π，于是A=π4．
若选③，由题意，2sinA=2sinAcosA，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，
则cosA=22⇒A=π4．
（2）由题意，S=12bcsinA=32c×22=6⇒c=42，
由余弦定理cosA=9+32-a22×3×42=22⇒a=17．
【解析】
(1)若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选②，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选③，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而求得答案；
(2)先通过三角形的面积公式求出c，进而根据余弦定理求得答案．
此题主要考查了正余弦定理，三角形的面积计算等知识，属于基础题．
18.【答案】解：（1）∵每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，
∴每天线上销售时间不足8小时的企业有45-20=25家，其中每天销售额不足30万元的企业有25×35=15家，
故2×2列联表如下：
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
3
20
线上销售时间不足8小时
10
15
25
合计
27
18
45
∵K2=45×(17×15-10×3)227×18×20×25=9.375＞6.635，
∴依据α=0.01的独立性检验，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
（2）①销售额不少于30万元的企业数：27×545=3，
销售额不足30万元的企业数：18×545=2．
②由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，
P（X=0）=C152C182=3551，P（X=1）=C31C151C182=1551，P（X=2）=C32C182=151，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
3551
1551
151
故E（X）=0×3551+1×1551+2×151=13．
【解析】
(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
(2)①结合分层抽样的定义，即可求解．
②由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
此题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
19.【答案】（1）证明：依题意AB∥CD，∵CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD，
又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF，∴EF∥CD，
双∵PE=EC，∴PF=FD，即F是PD的中点；
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴PD⊥CD，
∴∠ADP为二面角P-CD-A的平面角，∴∠ADP=45°，∴PA=AD，
设AD=2，如图以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），
依题意AC→=（2，2，0），AF→=（0，1，1），AB→=（2，0，0），
设平面ABEF的一个法向量为n→=（x，y，z），
则{n→·AB→=0n→·AF→=0，即{2x=0y+z=0，令z=1，则x=0，y=-1，
∴平面ABEF的一个法向量为n→=（0，-1，1），
设直线AC与平面ABEF所成角为θ，
sinθ=|cos＜n→，AC→＞|=|n→·AC→||n→|·|AC→|=22×22=12，
∵θ∈[0，π2]，
∴直线AC与平面ABEF所成的角为π6．
【解析】
(1)AB//平面PCD，可得EF//CD，从而可得F是PD的中点；
(2)如图以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求平面ABEF的一个法向量，直线AC的方向向量，利用向量法可求直线AC与平面ABEF所成的角．
此题主要考查线面平行的性质，以及线面角的求法，属中档题．
20.【答案】解：（1）由4Sn=an+1an+1⋯①，
当n=1时，4S1=a2a1+1，
∵a1=1，
代入计算可得a2=3，
当n≥2时，4Sn-1=anan-1+1⋯②，
①-②得：4an=an（an+1-an-1），
∵an≠0，
∴an+1-an-1=4，
∴{a2n}是以a2为首项，4为公差的等差数列，n∈N*，
{a2n-1}是以a1为首项，4为公差的等差数列，n∈N*，
由此可得：a2n=3+4（n-1）=4n-1=2×2n-1，
a2n-1=1+4（n-1）=4n-3=2×（2n-1）-1，
∴an=2n-1，n∈N*；
（2）由已知有：bn=(-1)n·n(2n-1)(2n+1)，n∈N*，
∴bn=(-1)n·n2(12n-1-12n+1)，n∈N*，
故前2k项的和T2K=b1+b2+⋯b2k，
=-12(1-13)+22(13-15)+⋯+2k2(14k-1-14k+1)，
=-12+32×13-52×15+⋯+4k-12×14k-1-k4k+1，
=-k4k+1，
∴T2K=-k4k+1．
【解析】
本题首先由递推关系求通项，首先应讨论n=1，和n⩾2的时候，进而发现an需分奇偶求出通项公式之后，观察发现奇偶项可进行合并，从而得到an的通项公式，其次(2)问求和利用裂项相消直接求和即可．
此题主要考查递推关系求通项及裂项相消求和，属于数列中的中档题目．
21.【答案】解：（1）由题意得，离心率e=ca=1-b2a2=63，所以a=3b，
当x=2时，有2a2+y2b2=1，解得y=±b2-23，
因为直线x=2被C截得的线段长为233，
所以2b2-23=233，解得b=1，a=3，
故C的方程为x23+y2=1．
（2）由（1）知，F1（-2，0），F2（2，0），
延长BF1交椭圆C于点D，
因为AF2→=λBF1→，所以AF2∥BD，且λ=|yA||yB|，
由椭圆的对称性知，|AF2|=|DF1|，
设直线AF2与BD之间的距离为d，
则四边形ABF1F2面积S=12（|AF2|+|BF1|）•d=12（|DF1|+|BF1|）•d=12|BD|•d=S△BDF2=12|F1F2|•|yB-yD|=12•22•|yB-yD|=2•|yB-yD|，
设直线BD的方程为x=ty-2，
联立{x=ty-2x23+y2=1，得（t2+3）y2-22ty-1=0，则yB+yD=22tt2+3，yByD=-1t2+3，
所以|yB-yD|=(yB+yD)2-4yByD=(22tt2+3)2-4×(-1t2+3)=23·t2+1t2+3，
所以S=2•|yB-yD|=26t2+1t2+3，
令m=t2+1≥1，则S=26·mm2+2=26m+2m≤262m·2m=3，当且仅当m=2m，即m=2，t=±1时，等号成立，
所以四边形ABF1F2面积的最大值为3，
不妨取t=1，此时yB，yD是方程4y2-22y-1=0的两根，所以yB=2+64，yD=2-64，
所以λ=|yA||yB|=|yD||yB|=6-26+2=2-3．
【解析】
(1)由e=1-b2a2，知a=3b，将x=2代入椭圆方程，结合所截线段长可求得a和b的值，得解；
(2)延长BF1交椭圆C于点D，则|AF2|=|DF1|，λ=|yA||yB|=|yD||yB|，利用梯形的面积公式与割补法，推出S=S△BDF2=12|F1F2|⋅|yB-yD|，设直线BD的方程为x=ty-2，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理、换元法与基本不等式，即可得解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，熟练掌握椭圆的几何性质，割补法，基本不等式等是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
22.【答案】（1）解：f(x)=ex-2ax(a＞0)的定义域为（0，+∞），f′（x）=ex-ax，
当a=e时，f′（x）=ex-ex，
令f′（x）=0，则x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，l）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
（2）证明：因为x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，
所以ex1=2ax1，ex2=2ax2，
显然x1＞0，x2＞0，则有x1=ln2+lna+12lnx1，x2=ln2+lna+12lnx2，
所以x1-x2=12lnx1-12lnx2，
不妨令x1＞x2＞0，设t=x1x2＞1，
所以x1=tlnt2(t-1)，x2=lnt2(t-1)，
所以要证x1+x2=(t+1)lnt2(t-1)＞1，
只要证lnt＞2(t-1)t+1，即lnt-2(t-1)t+1＞0，
令g（t）=lnt-2(t-1)t+1 （t＞1），则g′（t）=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以g（t）＞g（1）=0，所以x1+x2＞1，
因为x1=ln2+lna+12lnx1，x2=ln2+lna+12lnx2，
所以x1+x2=2ln2+2lna+12ln（x1x2），
要证x1+x2＜2lna+ln2，只要证12ln（x1x2）＜-ln2，即x1x2＜14，
因为x1x2=t(lnt)24(t-1)2，所以只要证t(lnt)24(t-1)2＜14，
即lnt＜t-1t，即lnt-t+1t＜0，
令h（t）=lnt-t+1t，t＞1，则h′（t）=1t-12t-12tt=-(t-1)22tt＜0，
所以h（t）在（1，+∞）上单调递减，
所以h（t）＜h（1）=0，所以x1+x2＜2lna+ln2．
综上，1＜x1+x2＜2lna+ln2．
【解析】
(1)对函数求导后，由导函数的正负可求出函数的单调区间；
(2)由题意可得x1=ln2+lna+12lnx1，x2=ln2+lna+12lnx2，两式相减化简可得x1-x2=12lnx1-12lnx2，若令x1>x2>0，设t=x1x2>1，则x1=tlnt2(t-1)，x2=lnt2(t-1)，从而转化为证lnt-2(t-1)t+1>0，构造函数可证得x1+x2>1，而要证x1+x2<2lna+ln2，转化为证lnt-t+1t<0，构造函数利用导数证明即可．
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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