2022年山东省青岛市高考数学一模试卷

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2022年山东省青岛市高考数学一模试卷

1.（5分）已知全集U={-1,0,1,3,6}，A={0,6}，则∁UA=()
A. {-1,3} B. {-1,1,3}
C. {0,1,3} D. {0,3,6}
2.（5分）若命题“∀x∈R，ax2+1⩾0”为真命题，则实数a的取值范围为()
A. a>0 B. a⩾0 C. a⩽0 D. a⩽1
3.（5分）设z=3+4i1+i(i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 72+12i B. 522 C. 52 D. 252
4.（5分）若双曲线ky2-8x2=8的焦距为6，则该双曲线的离心率为()
A. 324 B. 32 C. 3 D. 103
5.（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a斤，设f(x)={10x+1,x>11-5x,0c>a C. a>c>b D. a>b>c
9.（5分）某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是() 

A. 推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高
B. 推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高
C. 推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡
D. 推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化
10.（5分）已知向量a→=(2,1)，b→=(x,x+1)，则下列结论正确的是()
A. 若a→⊥b→，则x=-13 B. 若a→//b→，则x=±2
C. 若x=1，则|a→-b→|=2 D. 若x=1，则a→与b→的夹角为锐角
11.（5分）已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别是F1，F2，M(43,y0)为椭圆C上一点，则下列结论正确的是()
A. △MF1F2的周长为6
B. △MF1F2的面积为153
C. △MF1F2的内切圆的半径为159
D. △MF1F2的外接圆的直径为3211
12.（5分）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上=1，r下=2，母线AB长为2，E为母线AB中点，则下列结论正确的是()

A. 圆台母线AB与底面所成角为60°
B. 圆台的侧面积为12π
C. 圆台外接球半径为2
D. 在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为5
13.（5分）(x-2y)5的展开式中x2y3的系数是 ______.(用数字作答)
14.（5分）已知α∈(0,π2)，若tan(α+π4)=2，则sinα=______.
15.（5分）截角四面体(亦称“阿基米德多面体”)的表面由四个正三角形和四个正六边形组成，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得到的几何体．若一正四面体的棱长为3，则由其截得的截角四面体的体积为 ______.
16.（5分）已知函数f(x)=e-x-ex，若函数h(x)=f(x-4)+x，则函数h(x)的图象的对称中心为 ______；若数列{an}为等差数列，a1+a2+a3+⋯+a11=44，h(a1)+h(a2)+⋯+h(a11)=______.
17.（12分）已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1=b3-2b1，S7=7a3.

第一列
第二列
第三列
第一行
1
5
2
第二行
4
3
10
第三行
9
8
20
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 
(2)若cn=[lgbn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg2]=0，[lg98]=1，求数列{cn}的前100项的和T100.
18.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC. 
(1)求角A； 
(2)若b=5，BC边上的高为1077，求边c.
19.（12分）如图①，在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC=CD=2，AB=4，E为AB的中点，以DE为折痕把ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题． 
(1)证明：AC⊥DE； 
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D-AE-C的余弦值． 
①四棱锥A-BCDE的体积为2； 
②直线AC与EB所成角的余弦值为64. 

20.（12分）已知O为坐标原点，点E(34,0)，过动点W作直线x=-14的垂线，垂足为点F，OW-·EF-=0，记W的轨迹为曲线C. 
(1)求曲线C的方程； 
(2)若A1，B1，A2，B2均在C上，直线A1B1，A2B2的交点为P(14,0)，A1B1⊥A2B2，求四边形A1A2B1B2面积的最小值．
21.（12分）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； 
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：
t
1
2
3
4
5
y
232
98
60
40
20
求y关于t的回归方程y^=b^t+a^，并预测成功的总人数(精确到1)； 
(3)证明：122+(1-122)132+(1-122)(1-132)142+⋯+(1-122)(1-132)⋯(1-1n2)1(n+1)20Δ=0-4a⩽0，解可得a>0， 
综合可得：a⩾0， 
故选：B. 
分a=0与a≠0两种情况讨论，求出a的取值范围，即可得答案． 
此题主要考查命题真假的判断，涉及全称命题的定义，属于基础题．

3.【答案】B
【解析】解：∵z=3+4i1+i=(3+4i)(1-i)(1+i)(1-i)=7+i2， 
∴|z|=(72)2+(12)2=522. 
故选：B. 
首先化简z可得z=7+i2，即可求出答案． 
此题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

4.【答案】A
【解析】解：双曲线ky2-8x2=8的焦距为6， 
可得1+8k=3，解得k=1， 
双曲线方程为：y28-x21=1， 
所以a=22，c=3，所以双曲线的离心率为：322=324. 
故选：A. 
通过双曲线的焦距，求解k，然后求解a，c，得到离心率． 
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．

5.【答案】C
【解析】解：这个人原来持金为a斤， 
第1关收税金为12a，第2关收税金为13×(1-12)·a=12×3a， 
第3关收税金为14×(1-12-16)·a=13×4a， 
以此类推可得，第4关收税金为14×5a，第5关收税金为15×6a， 
所以12a+12×3a+13×4a+14×5a+15×6a=1，即(1-12+12-13+13-14+14-15+15-16)a=a=(1-16)a=1，解得a=65， 
由f(x)={10x+1,x>11-5x,0log32>13>3-43， 
所以f(log23)>f(log32)>f(log3-43)， 
 
则a>b>c. 
故选：D. 
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 
此题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．

9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，故A错误， 
对于B，从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为45～50万元，其次是40～45万元及50～55万元， 
减免后占比最多的为50～55万元，其次是55～60万元及45～50万元，明显增多， 
所以平均年收入也有明显提高，B正确． 
对于C，从图中看出，推行减免政策后，年收入的频率差距增大，而减免前差距较小，所以减免后年收入不均衡，C错误； 
对于D，从图中看出，推行减免政策后，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误． 
故选：ACD. 
根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可． 
此题主要考查了频率分布直方图的实际应用，属于基础题．

10.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，a→⊥b→，则2x+1×(x+1)=0，则x=-13，即选项A正确； 
对于选项B，a→//b→，则2(x+1)=x，则x=-2，即选项B错误； 
对于选项C，x=1，则|a→-b→|=12+(-1)2=2，即选项C错误； 
对于选项D，x=1，则b→=(1,2)，则a→·b→=2×1+1×2=4>0，又a→与b→不共线，即a→与b→的夹角为锐角，即选项D正确， 
故选：AD. 
由平面向量数量积运算结合共线向量及向量的夹角公式逐一判断即可． 
此题主要考查了平面向量数量积运算，重点考查了共线向量，属基础题．

11.【答案】ABC
【解析】解：由题意知，a=2，b=3，c=1， 
由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a=4，|F1F2|=2c=2， 
所以△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=4+2=6，即选项A正确； 
将M(43,y0)代入椭圆方程得，(43)24+y023=1，解得y0=±153， 
所以△MF1F2的面积为S=12|F1F2|⋅|y0|=153，即选项B正确； 
设△MF1F2的内切圆的半径为r，则S=12(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)⋅r，即153=12×6×r， 
所以r=159，即选项C正确； 
不妨取M(43,153)，则|MF1|=43，|MF2|=83， 
所以△MF1F2的面积为S=12|MF1|⋅|MF2|sin∠F1MF2，即153=12⋅43⋅83⋅sin∠F1MF2，所以sin∠F1MF2=31516， 
由正弦定理知，△MF1F2的外接圆的直径D=|F1F2|sin∠F1MF2=231516=321545，即选项D错误． 
故选：ABC. 
A，结合椭圆的定义可得△MF1F2的周长为2a+2c； 
B，将M(43,y0)代入椭圆方程，求得y0的值，由S=12|F1F2|⋅|y0|，得解； 
C，设△MF1F2的内切圆的半径为r，由S=12(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)⋅r，得解； 
D，不妨取M(43,153)，由两点间距离公式计算|MF1|和|MF2|的长，再由S=12|MF1|⋅|MF2|sin∠F1MF2，求出sin∠F1MF2，最后利用正弦定理，得解． 
此题主要考查椭圆的几何性质，正弦定理及其变形公式，三角形面积公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12.【答案】ACD
【解析】解：圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上=1，r下=2，母线AB长为2，E为母线AB中点， 
如图所示： 
 
由于BC=1，AB=2，利用勾股定理，解得AC=3， 
所以∠ABC=60°， 
即圆台母线AB与底面所成的角为60°，故A正确； 
圆台的展开面如图所示： 
对于B：圆台的侧面积为S=12·π·42-12·π·22=6π，故B错误． 
 
根据比例关系求出CD=OD=2，展开面为半圆环； 
点E为母线的中点， 
所以OE=3， 
根据设球心在圆台的中心连线上， 
设到上底面的距离为x， 
所以1+x2=22+(3-x)2，解得x=3， 
所以外接球的球心在圆台的下底面的圆心； 
所以外接球的半径为2，故C正确； 
根据展开图：CE=32+42=5，故D正确． 
故选：ACD. 
首先利用圆台中的底面半径和母线的长度求出圆台的展开图为半圆环，进一步利用圆台的展开面，及圆台和外接球的关系求出球的半径，最后判定A、B、C、D的结论． 
此题主要考查的知识要点：圆台的展开图，线面的夹角，圆台和外接球的关系，勾股定理的应用，圆台的展开面，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

13.【答案】 -80
【解析】解：根据二项式定理可得展开式中含x2y3的项为C53x2(-2y)3=-80x2y3， 
所以x2y3的系数为-80， 
故答案为：-80. 
根据二项式定理求出展开式中含x2y3的项，由此即可求解． 
此题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

14.【答案】 1010
【解析】解：设θ=α+π4，则α=θ-π4，π4