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2022年山东省青岛市胶州市高考数学一模试卷
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这是一份2022年山东省青岛市胶州市高考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知圆O等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省青岛市胶州市高考数学一模试卷
1.（5分）已知集合A={x|x2-2x-3⩽0}，B={x|y=ln(x-1)}，则A∩B=()
A. B. [-1,1) C. [1,3] D. (1,3]
2.（5分）复数z=i1-i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（5分） 若a→，b→是两个非零向量，则“|a→+b→|=|a→-b→|”是“a→⊥b→”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，则双曲线C的渐进线方程为( )
A. y=±12x B. y=±2x C. y=±6x D. y=±5x
5.（5分）已知函数g(x)={-2,f(x)<-2f(x),f(x)⩾-2，若函数f(x)=2-2x，则g(log23)的值为()
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
6.（5分）已知α∈(0,3π4)，cos2α=25sin(π4+α)，则sin2α的值为()
A. 725 B. 2425 C. -725 D. -2425
7.（5分）已知圆O：x2+y2=4，点P(1,1)，圆O内过点P的最长弦为AB，最短弦为CD，则(AD→+CB→)⋅CD→的值为()
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
8.（5分）数列1，1，2，3，5，8，…是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，称为“斐波那契数列”，该数列从第三项开始，每项等于前两个相邻项之和、若该数列的前2020项的和为T，则它的第2022项为()
A. T-2 B. T-1 C. T D. T+1
9.（5分）已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若存在x0使得f'(x0)=f(x0)，则称x0是f(x)的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是()
A. f(x)=sinx B. f(x)=x3 C. f(x)=lnx D. f(x)=xex
10.（5分）若正实数a，b满足a+b=4，则下列结论正确的是()
A. 1a+1b⩽1 B. a+b⩽22
C. 2a+2b⩾8 D. log2a+log2b⩾2
11.（5分）已知奇函数f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y=g(x)的图象，则下列结论正确的是()
A. 函数g(x)=2sin(2x-π3)
B. 函数g(x)在区间[-π6,π3]上单调递增
C. 函数g(x)的图象关于直线x=-π12对称
D. 当x∈[0,π2]时，函数g(x)的最大值是3
12.（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2.若鳖臑P-ABC外接球的体积为323π，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是()
A. PA=BC=6
B. 鳖臑P-ABC体积的最大值为6
C. 直线PC与平面PAB所成角的正弦值为64
D. 鳖臑P-ABC内切球的半径为15-63
13.（5分）命题“∀x∈[0,π2]，sinx⩾0”的否定为 ______.
14.（5分）已知函数f(x)同时满足性质：①f(-x)=f(x)，②当x∈(0,1)时，f'(x)<0，写出f(x)一个解析式 ______.
15.（5分）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为 ______(用数字作答).
16.（5分）已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过其焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点(点P在第一象限)，|PF|=3|FQ|，则直线l的斜率为 ______；若|FQ|=1，点A为抛物线C上的动点，且点A在直线l的左上方，则△APQ面积的最大值为 ______.
17.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足______.从①{an}是递增的等比数列，S3=7，a2=2；②Sn=2n-1；③Sn=2an-1三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答下列问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn={log2an,n=2kan,n=2k-1(k∈N*)，求数列{bn}的前2n项的和．
18.（12分）如图，在四边形ABCD中，△BCD为锐角三角形，CD=4，sin∠DBC=223，cos∠BDC=33.
(1)求BC；
(2)若AB=m，AC=BC+m3，是否存在正整数m，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=PD=AB=BD=2，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，E是BC的中点．
(1)证明：AP⊥平面PDE；
(2)若PQ→=13PC→，求平面PDE与平面QDE夹角的余弦值．
20.（12分）2022年北京冬奥会圆满落幕，我国运动健儿获得9金4银2铜共15枚奖牌的骄人战绩．
(1)为了解某地观众对2022年北京冬奥会系列体育节目的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，得到如下数据：
性别
日均收看时间
合计
60分钟及以上
少于60分钟
男
25
25
50
女
15
35
50
合计
40
60
100
依据α=0.05的独立性检验，能否认为日均收看时间与性别有关联？
(2)为普及冰雪运动知识，某班组织冬奥知识比赛，两名同学作为一组进行抢答比赛，有2道抢答题目，抢到题目且回答正确者得3分，没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得3分．已知甲、乙两位同学在同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等，且每道题必被一位同学抢到．若甲答对每道题目的概率为35，乙答对每道题目的概率为45，且两人回答各道题目是否正确相互独立．记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21.（12分）已知椭圆C1：x22+y2=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C1上，直线A1P，A2P的斜率分别为k0，k1.
(1)证明：k0k1=-12；
(2)直线A1P交双曲线C2：x2-y2=1于S，T两点，点Q为线段ST中点，直线A2P与直线x=23交于W，直线WQ的斜率为k2，证明：存在常数λ，使得k1=λk2.
22.（12分）已知函数f(x)=lnx+ax+b.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)的最小值为0，x1，x2(x12；
(3)证明：对于任n∈N*，1n+1+1n+2+…+12n
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={x|x2-2x-3⩽0}={x|-1⩽x⩽3}，
B={x|y=ln(x-1)}={x|x>1}，
∴A∩B=(1,3].
故选：D.
求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B.
此题主要考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-12+12i
∴复数z=i1-i在复平面内对应的点为Z(-12,12)，为第二象限内的点
故选：B．
将复数化简整理，得z=-12+12i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限．
本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：若|a→+b→|=|a→-b→|，则|a→+b→|2=|a→-b→|2，即2a→⋅b→=-2a→⋅b→，所以a→⋅b→=0．
若a→⋅b→=0，则以a→,b→为边的四边形为矩形，所以根据矩形的对角线相等得|a→+b→|=|a→-b→|，
所以“|a→+b→|=|a→-b→|”是“a→⊥b→”的充要条件．
故选C．
利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
这道题主要考查充分条件和必要条件的应用以及平面向量数量积的应用．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，
则有e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，
则有b2a2=4，即b=2a，
又由双曲线x2a2-y2b2=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±bax，
则该双曲线的渐近线方程为：y=±2x；
故选：B．
根据题意，由双曲线的离心率公式可得e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，分析可得b2a2=4，即b=2a，再由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±bax分析可得答案．
该题考查双曲线的几何性质，关键是由双曲线的离心率分析a、b的关系．
5.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=2-2x，
g(x)={-2,f(x)<-2f(x),f(x)⩾-2={-2,x>22-2x,x⩽2，
则g(log23)=2-2log23=2-3=-1.
故选：A.
由已知先求出g(x)的解析式，代入后结合对数恒等式即可求解．
此题主要考查了函数值的求解，截图的关键是函数g(x)解析式的确定，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为cos2α=25sin(π4+α)=25(22cosα+22sinα)=15(cosα+sinα)，α∈(0,3π4)，
又cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)，
所以(cosα+sinα)(cosα-sinα)=15(cosα+sinα)，
所以cosα-sinα=15，两边平方，可得1-sin2α=125，
所以sin2α=2425.
故选：B.
利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简已知等式即可求解．
此题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：过点P的最长的弦AB就是过P的一条直径，
不妨设A(-2,2)，B((2,2,),
过点P的最短的弦CD是垂直于AB的弦，
不妨设C(0,2)，D(2,0)，
(AB→+CB→)⋅CD→=((2+2,2)+(2,2-2))⋅(2,-2)=(2+22,22-2)⋅(2,-2)=4+42-42+4=8，
故选：C.
利用平面向量的数量积进行求解即可．
此题主要考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得：Fn=Fn-1+Fn-2，(n⩾3)；
所以S3=1+F1+F2+F3-1=F3+F2+F3-1=F4+F3-1=F5-1；S4=F4+S3=F4+F5-1=F6-1；
S5=F5+S4=F5+F6-1=F7-1；
.......，
S2020=F2022-1，
整理得F2022=T+1.
故选：D.
直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：f(x)=sinx，∴f'(x)=cosx，则sinx=cosx，显然有解，故具有“新驻点”；
f(x)=x3，∴f'(x)=3x2，则x3=3x2，显然有解，故具有“新驻点”；
f(x)=lnx，f'(x)=1x，则lnx=1x，此方程无解，故不具有“新驻点”；
f(x)=xex，f'(x)=(x+1)ex，则xex=(x+1)ex，显然无解，故不具有“新驻点”；
故选：AB.
根据题中的新定义，分别判断即可．
此题主要考查了“新驻点”的定义，考查了数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A：由于正实数a和b满足a+b=4，所以1a+1b=14(a+ba+a+bb)=14(2+ba+ab)⩾14×4=1，当且仅当a=b=2时，等号成立，故A错误；
对于B：由于(a)2+(b)2⩾(a+b)22，故(a+b)2⩽8，整理得a+b⩽22，故B正确；
对于C：2a+2b⩾22a+b=8，当且仅当a=2，b=2时，等号成立，故C正确；
对于D：由于正数a和b满足a+b⩾2ab，所以ab⩽4，
故log2a+log2b=log2ab⩽2，故D错误；
故选：BC.
直接利用不等式的性质和基本不等式的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-π6)，
因为f(x)为奇函数，所以φ-π6=kπ，k∈Z，可得φ=π6+kπ，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ=π6，又f(x)的周期为π，
所以2πω=π，可得ω=2，所以f(x)=2sin2x，
将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，
可得到函数g(x)=2sin(2x-π3)的图象，故A正确；
当x∈[-π6,π3]，则2x-π3∈[-2π3,π3]，则g(x)在区间[-π6,π3]上不单调，故B错误；
当x=-π12时，g(-π12)=2sin[2×(-π12)-π3]=2sin(-π2)=-2，是最小值，
则函数g(x)的图象关于直线x=-π12对称，故C正确；
当x∈[0,π2]时，2x-π3∈[-π3,2π3]，所以sin(2x-π3)∈[-32,1]，
所以2sin(2x-π3)∈[-3,2]，故D错误．
故选：AC.
由三角恒等变换，函数的奇偶性及周期性可求得f(x)，再利用图象的变换规律求得g(x)，由正弦函数的图象与性质逐项判断即可．
此题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：在鳖臑P-ABC中，四个面都为直角三角形，
可知PC的中点到四个顶点的距离都相等，
所以PC的中点是鳖臑外接球的球心，
因为外接球的体积为32π3，得外接球的半径R=2，
∴PC=4，设PA=a，BC=b，则PA2+AB2+BC2=PC2，得a2+b2=12，
∴VP-ABC=13×12×2b×a=13ab⩽13×a2+b22=2，
当且仅当a=b=6时，VP-ABC取得最大值2，
故A正确，B错误；
△PBC中，BC⊥PB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴∠CPB即为PC与平面PAB所成角，正弦值为BCPC=64，故C正确；
设鳖臑内切球的半径为r，
则VP-ABC=13(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)×r=13×S△ABC×PA，
(6+6+15+15)×r=6×6，
解得r=15-63，故D正确．
故选：ACD.
根据外接球的体积为32π3，得外接球的半径R=2，再根据基本不等式，即可求得当PA=BC=6时，鳖臑P-ABC体积的最大值为2，由此判断A，B选项，由∠CPB为PC与平面PAB所成角，可以判断C选项，
根据体积相等可以求出内切球的半径，可以判断D选项．
此题主要考查了三棱锥的体积和内切球的体积计算，属于中档题．
13.【答案】 ∃x∈[0，π2]，sinx＜0
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈[0,π2]，sinx<0，
故答案为：∃x∈[0,π2]，sinx<0，
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
此题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
14.【答案】 f（x）=-x2+1（答案不唯一）
【解析】解：f(x)=-x2+1，
满足f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1=f(x)，
且当x∈(0,1)时，f'(x)=-2x<0，
故函数f(x)=-x2+1，同时满足上述两个性质，
故答案为：f(x)=-x2+1(答案不唯一).
根据题意写出一个满足上述两个性质的函数即可．
此题主要考查了函数的奇偶性，考查了导数的计算，属于基础题．
15.【答案】 24
【解析】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即可，
即可排成不同的音序的种数为44A22AA22=24，
故答案为：24.
先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即可，
此题主要考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了定序问题倍缩法，属基础题．
16.【答案】 3 3; 略
【解析】解：由焦半径公式可得：|PF||QF|=p1-cosθp1+cosθ=1+cosθ1-cosθ=3，∴cosθ=12，k=tanθ=3.
PQ方程为y=3(x-p2)，
与y2=2px联立可得：
3(x2-px+p24)=2px，即3x2-5px+34p2=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=5p3，x1x2=p24，
Δ=25p2-4×3×34p2=16p2，
|PQ|=1+k2△|a|=83p，
∵y2=2px，∴2yy'=2p，y'=py=p2px=2p2x-12，
y'=3，py=3，y=33p，2p2x-12=3，x=p6，
切点(p6,33p)到直线3x-y-32p=0的距离d=|3×p6-33p-32p|2=3p3，
则三角形的最大值为Smax=12⋅83p⋅3p3=43p9，
83p=4，∴4×38p=4，p=32，
即Smax=439×94=3
故答案为：3，3.
首先结合焦半径公式求得直线的斜率，然后利用导数确定三角形面积最大时的切点坐标，最后求解三角形面积的最大值即可．
此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，抛物线中的最值问题等知识，属于中等题．
17.【答案】解：（1）选①，因为{an}是递增的等比数列，S3=7，a2=2，
设公比为q，
所以{a1+a2+a3=7a2=2，即{a1+a3=5a2=2，
所以a2q+a2q=5，
因为q＞1，所以q=2，
所以an=2n-1；
选②，Sn=2n-1，
当n=1时，a1=S1=2-1=1，
当n≥2时，由Sn=2n-1得，
Sn-1=2n-1-1，
两式相减得，an=2n-2n-1=2n-1，
当n=1时，也满足上式，
所以an=2n-1；
选③，Sn=2an-1，
当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-1，
两式相减得，an=2an-2an-1，
即an=2an-1，
所以数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列，
所以an=2n-1；
（2）bn={2n-1,n=2k-1·k∈N*n-1,n=2k,，
T2n=（b1+b3+b5+⋯+b2n-1）+（b2+b1+b6+⋯+b2n）
=（20+22+24+⋯+22n-2）+（1+3+5……+2n-1）
=20×(1-4n)1-4+(1+2n-1)×n2
=13×4n+n2-13．
【解析】
(1)选①，设公比为q，根据条件列出方程组，求得公比，代入通项公式即可；
选②，由an与Sn的关系可推得an；
选③，由an与Sn的关系可推得数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列，从而根据等比数列通项公式可得结果；
(2)求出bn，然后采用分组求和方式求解．
此题主要考查了数列的递推式，等比数列求通项公式以及分组求和，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵cos∠BDC=33，
∴sin∠BDC=1-(33)2=63，
在△BCD中，
CDsin∠DBC=BCsin∠BDC，
即4223=BC63，
解得BC=23；
（2）存在，理由如下：
AC=BC+m3=23+m3，
若△ABC为钝角三角形，
则∠ABC为钝角，
则m2+（23）2-（23+m3）2＜0，
解得0＜m＜332，
故m=1或m=2．
【解析】
(1)由cos∠BDC=33得sin∠BDC=63，结合正弦定理求解即可；
(2)可判断若△ABC为钝角三角形，则∠ABC为钝角，可得m2+(23)2-(23+m3)2<0，解不等式，再确定m的值即可．
此题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：（1）证明：设AD的中点为O，连接PO，BO，
因为AB=BD，所以BO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BO⊂平面ABCD，
所以BO⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以BO⊥PA，
因为E为BC的中点，四边形ABCD为平行四边形，
所以BE∥OD，BE=OD，
所以四边形OBED为平行四边形，所以DE∥OB，
所以DE⊥PA，又PA⊥PD，DE∩PD=D，DE，PD⊂平面PDE，
所以AP⊥平面PDE；
（2）因为PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，又OB⊂平面ABCD，
所以PO⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，
以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
在△PAD中，因为PA=PD=2，PA⊥PD，
所以AD=22，PO=12AD=2，
在△BAD中，因为BA=BD=2，AD=22，
所以BA2+BD2=AD2，即AB⊥BD，所以BO=12AD=2，
则P(0，0，2)，D(-2，0，0)，E(-2，2，0)，C(-22，2，0)，
所以PD→=(-2，0，-2)，DE→=(0，2，0)，PC→=(-22，2，-2)，
QD→=PD→-PQ→=PD→-13PC→=(-2，0，-2)-13(-22，2，-2)=(-23，-23，-223)，
设平面PDE的法向量为m→=(a，b，c)，
则{m→⋅PD→=0m→⋅DE→=0，即{-2a-2c=02b=0，
令a=1，则b=0，c=-1，所以m→=(1，0，-1)，
设平面QDE的法向量为n→=(x，y，z)，
则{n→⋅QD→=0n→⋅DE→=0，即{-23x-23y-223z=02y=0，
令x=2，则y=0，z=-1，所以n→=(2，0，-1)，
所以cos＜m→，n→＞=m→⋅n→|m→||n→|=1×2+12×4+1=31010，
所以平面PDE与平面QDE夹角的余弦值为31010．
【解析】
(1)设AD的中点为O，连接PO，BO，根据平面PAD⊥平面ABCD，得到BO⊥平面PAD，再根据线面垂直判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系后，分别求出平面PDE的法向量和平面QDE的法向量，代入公式即可求解．
此题主要考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：（1）∵χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(25×35-25×15)250×50×40×60≈4.167＞3.841，
∴依据α=0.05的独立性检验，能认为日均收看时间与性别有关联．
（2）由题意可得，X所有可能取值为0，3，6，
一道题目甲得3分的情况有甲抢到且甲答对、乙抢到且乙答错，P1=12×35+12×15=25，
一道题目甲得0分的情况有甲抢到且甲答错、乙抢到且乙答对，P2=12×25+12×45=35，
P（X=0）=(35)2=925，
P（X=3）=C21(25)1(35)1=1225，
P（X=6）=(25)2=425，
故X的分布列为：
X
0
3
6
P
925
1225
425
故E（X）=0×925+3×1225+6×425=125．
【解析】
(1)根据题目所给的数据，填写2×2列联表即可计算卡方值，对照题目中的表格，得出统计结论．
(2)由题意可得，X的所有可能取值为0，3，6，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及独立性检验公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
21.【答案】解：（1）证明：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，
A1(-2，0)，A2(2，0)，
故k0=sinθ2cosθ+2，k1=sinθ2cosθ-2，
故k0k1=sin2θ2(cos2θ-1)=sin2θ-2sin2θ=-12，得证．
（2）证明：由（1）有：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，
k0=sinθ2cosθ+2，k1=sinθ2cosθ-2，
当θ=0时，P，W，Q均在x轴上，此时，k1=k2=0，
当θ≠0时，直线A1P：x=-1k0y-2，
直线A2P：x=-1k1y+2，
联立直线A1P与双曲线可得：(1k02-1)y2+22k0y+1=0，
因为有两个交点，故k0≠±1，yS+yT=22k0k02-1，
故xS+xT=-22k02k02-1，
因为Q为S，T中点，所以Q(-2k02k02-1，2k0k02-1)，
在直线A2P：x=-1k1y+2中，令x=23，解得yW=223k1，
故k2=yQ-ywxQ-xw=3k0-2k02k1+2k11-4k02，
由（1）有k0k1=-12，将其代入上式化简得：
k2=2k1，
综上所述，故存在常数λ=12使得k1=λk2，得证．
【解析】
(1)可利用参数方程的概念将P的坐标设为(2cosθ,sinθ)，然后表示k0，k1即可；
(2)直接将直线A1P与双曲线联立得到关于S，T的坐标关系，从而得到Q点坐标，再将直线A2P：x=-1k1y+2与x=23联立可得W坐标，从而表示WQ的斜率，再利用(1)中的k0k1=-12代入化简可得λ=12即得证．
此题主要考查圆锥曲线与直线联立，及椭圆上的点可充分利用参数方程来解决，属于较难题目．
22.【答案】解：（1）因为f（x）=lnx+ax+b（x＞0），所以f′（x）=1x-ax2=x-ax2，
①当a≤0时，x-a＞0恒成立，所以f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，所以f（x）没有极值，
②当a＞0时，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）有极小值，极小值为f（a）=lna+b+1，无极大值．
（2）证明：因为f（x）的最小值为0，
由（1），可知当a＞0时，f（x）有最小值f（x）min=lna+b+1，所以lna+b+1=0，
因为g（x）=f（x）-12=lnx+ax+b-12，
g（a2）=lna2+2+b-12=12-ln2＜0，g（ae）=lna-1+e+b-12=e-52＞0，
所以ea＜x1＜a2，g（ea）=1+lna+1e+b-12=1e-12＜0，
g（4a）=ln4+lna+14+b-12=ln4-54＞0，
所以ea＜x2＜4a，所以ex2-elnx1＞eea-elna2，（a＞0）
令h（x）=eex-elnx2，则h′（x）=e（eex-1x），
令p（x）=eex-1x，所以p（x）在（0，+∞）上单调递增，
又p（1e）=0，所以在（0，1e）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
在（1e，+∞）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min=h（1e）=ee·1e-eln1e2=e-eln12e=e+eln2e＞2，
所以ex2-elnx1＞2得证．
（3）证明：设Sn=1n+1+1n+2+...+12n，
Sn+1-Sn=（1n+2+1n+3+...+12n+12n+1+12n+2）-（1n+1+1n+2+...+12n）
=12n+1+12n+2-1n+1＞12n+2+12n+2-1n+1=0，
所以数列{Sn}是严格单调递增的，
又n→∞limSn=n→∞limk=1n1n+k=n→∞lim1nk=1n11+kn，
其中1nk=1n11+kn恰是连续函数f（x）=11+x在[0，1]区间上，将[0，1]n等分，ξk=kn所作的积分和，
于是，n→∞limSn=∫0111+xdx=ln（1+x）|01=ln2，
由Sn的严格增加，有1n+1+1n+2+...+12n＜ln2．
【解析】
(1)求导得f'(x)=1x-ax2=x-ax2，分a⩽0和a>0两种情况，判断f(x)的单调性，即可得出答案．
(2)由(1)得当a>0时，f(x)有最小值f(x)min=lna+b+1=0，计算得g(a2)<0，g(ae)>0，则ea0，则ex2-elnx1>eea-elna2(a>0)，令h(x)=eex-elnx2，求导分析最值，即可得出答案．
(3)设Sn=1n+1+1n+2+...+12n，利用放缩法可得Sn+1-Sn>12n+2+12n+2-1n+1=0，推出数列{Sn}是严格单调递增的，结合n→∞limSn=n→∞limk=1n1n+k=n→∞lim1nk=1n11+kn，n→∞limSn=∫0111+xdx=ln2，即可得证．
此题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．
2022年山东省青岛市胶州市高考数学一模试卷
1.（5分）已知集合A={x|x2-2x-3⩽0}，B={x|y=ln(x-1)}，则A∩B=()
A. B. [-1,1) C. [1,3] D. (1,3]
2.（5分）复数z=i1-i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（5分） 若a→，b→是两个非零向量，则“|a→+b→|=|a→-b→|”是“a→⊥b→”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，则双曲线C的渐进线方程为( )
A. y=±12x B. y=±2x C. y=±6x D. y=±5x
5.（5分）已知函数g(x)={-2,f(x)<-2f(x),f(x)⩾-2，若函数f(x)=2-2x，则g(log23)的值为()
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
6.（5分）已知α∈(0,3π4)，cos2α=25sin(π4+α)，则sin2α的值为()
A. 725 B. 2425 C. -725 D. -2425
7.（5分）已知圆O：x2+y2=4，点P(1,1)，圆O内过点P的最长弦为AB，最短弦为CD，则(AD→+CB→)⋅CD→的值为()
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
8.（5分）数列1，1，2，3，5，8，…是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，称为“斐波那契数列”，该数列从第三项开始，每项等于前两个相邻项之和、若该数列的前2020项的和为T，则它的第2022项为()
A. T-2 B. T-1 C. T D. T+1
9.（5分）已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若存在x0使得f'(x0)=f(x0)，则称x0是f(x)的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是()
A. f(x)=sinx B. f(x)=x3 C. f(x)=lnx D. f(x)=xex
10.（5分）若正实数a，b满足a+b=4，则下列结论正确的是()
A. 1a+1b⩽1 B. a+b⩽22
C. 2a+2b⩾8 D. log2a+log2b⩾2
11.（5分）已知奇函数f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y=g(x)的图象，则下列结论正确的是()
A. 函数g(x)=2sin(2x-π3)
B. 函数g(x)在区间[-π6,π3]上单调递增
C. 函数g(x)的图象关于直线x=-π12对称
D. 当x∈[0,π2]时，函数g(x)的最大值是3
12.（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2.若鳖臑P-ABC外接球的体积为323π，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是()
A. PA=BC=6
B. 鳖臑P-ABC体积的最大值为6
C. 直线PC与平面PAB所成角的正弦值为64
D. 鳖臑P-ABC内切球的半径为15-63
13.（5分）命题“∀x∈[0,π2]，sinx⩾0”的否定为 ______.
14.（5分）已知函数f(x)同时满足性质：①f(-x)=f(x)，②当x∈(0,1)时，f'(x)<0，写出f(x)一个解析式 ______.
15.（5分）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为 ______(用数字作答).
16.（5分）已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过其焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点(点P在第一象限)，|PF|=3|FQ|，则直线l的斜率为 ______；若|FQ|=1，点A为抛物线C上的动点，且点A在直线l的左上方，则△APQ面积的最大值为 ______.
17.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足______.从①{an}是递增的等比数列，S3=7，a2=2；②Sn=2n-1；③Sn=2an-1三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答下列问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn={log2an,n=2kan,n=2k-1(k∈N*)，求数列{bn}的前2n项的和．
18.（12分）如图，在四边形ABCD中，△BCD为锐角三角形，CD=4，sin∠DBC=223，cos∠BDC=33.
(1)求BC；
(2)若AB=m，AC=BC+m3，是否存在正整数m，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=PD=AB=BD=2，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，E是BC的中点．
(1)证明：AP⊥平面PDE；
(2)若PQ→=13PC→，求平面PDE与平面QDE夹角的余弦值．
20.（12分）2022年北京冬奥会圆满落幕，我国运动健儿获得9金4银2铜共15枚奖牌的骄人战绩．
(1)为了解某地观众对2022年北京冬奥会系列体育节目的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，得到如下数据：
性别
日均收看时间
合计
60分钟及以上
少于60分钟
男
25
25
50
女
15
35
50
合计
40
60
100
依据α=0.05的独立性检验，能否认为日均收看时间与性别有关联？
(2)为普及冰雪运动知识，某班组织冬奥知识比赛，两名同学作为一组进行抢答比赛，有2道抢答题目，抢到题目且回答正确者得3分，没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得3分．已知甲、乙两位同学在同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等，且每道题必被一位同学抢到．若甲答对每道题目的概率为35，乙答对每道题目的概率为45，且两人回答各道题目是否正确相互独立．记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21.（12分）已知椭圆C1：x22+y2=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C1上，直线A1P，A2P的斜率分别为k0，k1.
(1)证明：k0k1=-12；
(2)直线A1P交双曲线C2：x2-y2=1于S，T两点，点Q为线段ST中点，直线A2P与直线x=23交于W，直线WQ的斜率为k2，证明：存在常数λ，使得k1=λk2.
22.（12分）已知函数f(x)=lnx+ax+b.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)的最小值为0，x1，x2(x1
(3)证明：对于任n∈N*，1n+1+1n+2+…+12n
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={x|x2-2x-3⩽0}={x|-1⩽x⩽3}，
B={x|y=ln(x-1)}={x|x>1}，
∴A∩B=(1,3].
故选：D.
求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B.
此题主要考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-12+12i
∴复数z=i1-i在复平面内对应的点为Z(-12,12)，为第二象限内的点
故选：B．
将复数化简整理，得z=-12+12i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限．
本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：若|a→+b→|=|a→-b→|，则|a→+b→|2=|a→-b→|2，即2a→⋅b→=-2a→⋅b→，所以a→⋅b→=0．
若a→⋅b→=0，则以a→,b→为边的四边形为矩形，所以根据矩形的对角线相等得|a→+b→|=|a→-b→|，
所以“|a→+b→|=|a→-b→|”是“a→⊥b→”的充要条件．
故选C．
利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
这道题主要考查充分条件和必要条件的应用以及平面向量数量积的应用．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，
则有e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，
则有b2a2=4，即b=2a，
又由双曲线x2a2-y2b2=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±bax，
则该双曲线的渐近线方程为：y=±2x；
故选：B．
根据题意，由双曲线的离心率公式可得e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，分析可得b2a2=4，即b=2a，再由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±bax分析可得答案．
该题考查双曲线的几何性质，关键是由双曲线的离心率分析a、b的关系．
5.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=2-2x，
g(x)={-2,f(x)<-2f(x),f(x)⩾-2={-2,x>22-2x,x⩽2，
则g(log23)=2-2log23=2-3=-1.
故选：A.
由已知先求出g(x)的解析式，代入后结合对数恒等式即可求解．
此题主要考查了函数值的求解，截图的关键是函数g(x)解析式的确定，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为cos2α=25sin(π4+α)=25(22cosα+22sinα)=15(cosα+sinα)，α∈(0,3π4)，
又cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)，
所以(cosα+sinα)(cosα-sinα)=15(cosα+sinα)，
所以cosα-sinα=15，两边平方，可得1-sin2α=125，
所以sin2α=2425.
故选：B.
利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简已知等式即可求解．
此题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：过点P的最长的弦AB就是过P的一条直径，
不妨设A(-2,2)，B((2,2,),
过点P的最短的弦CD是垂直于AB的弦，
不妨设C(0,2)，D(2,0)，
(AB→+CB→)⋅CD→=((2+2,2)+(2,2-2))⋅(2,-2)=(2+22,22-2)⋅(2,-2)=4+42-42+4=8，
故选：C.
利用平面向量的数量积进行求解即可．
此题主要考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得：Fn=Fn-1+Fn-2，(n⩾3)；
所以S3=1+F1+F2+F3-1=F3+F2+F3-1=F4+F3-1=F5-1；S4=F4+S3=F4+F5-1=F6-1；
S5=F5+S4=F5+F6-1=F7-1；
.......，
S2020=F2022-1，
整理得F2022=T+1.
故选：D.
直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：f(x)=sinx，∴f'(x)=cosx，则sinx=cosx，显然有解，故具有“新驻点”；
f(x)=x3，∴f'(x)=3x2，则x3=3x2，显然有解，故具有“新驻点”；
f(x)=lnx，f'(x)=1x，则lnx=1x，此方程无解，故不具有“新驻点”；
f(x)=xex，f'(x)=(x+1)ex，则xex=(x+1)ex，显然无解，故不具有“新驻点”；
故选：AB.
根据题中的新定义，分别判断即可．
此题主要考查了“新驻点”的定义，考查了数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A：由于正实数a和b满足a+b=4，所以1a+1b=14(a+ba+a+bb)=14(2+ba+ab)⩾14×4=1，当且仅当a=b=2时，等号成立，故A错误；
对于B：由于(a)2+(b)2⩾(a+b)22，故(a+b)2⩽8，整理得a+b⩽22，故B正确；
对于C：2a+2b⩾22a+b=8，当且仅当a=2，b=2时，等号成立，故C正确；
对于D：由于正数a和b满足a+b⩾2ab，所以ab⩽4，
故log2a+log2b=log2ab⩽2，故D错误；
故选：BC.
直接利用不等式的性质和基本不等式的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-π6)，
因为f(x)为奇函数，所以φ-π6=kπ，k∈Z，可得φ=π6+kπ，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ=π6，又f(x)的周期为π，
所以2πω=π，可得ω=2，所以f(x)=2sin2x，
将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，
可得到函数g(x)=2sin(2x-π3)的图象，故A正确；
当x∈[-π6,π3]，则2x-π3∈[-2π3,π3]，则g(x)在区间[-π6,π3]上不单调，故B错误；
当x=-π12时，g(-π12)=2sin[2×(-π12)-π3]=2sin(-π2)=-2，是最小值，
则函数g(x)的图象关于直线x=-π12对称，故C正确；
当x∈[0,π2]时，2x-π3∈[-π3,2π3]，所以sin(2x-π3)∈[-32,1]，
所以2sin(2x-π3)∈[-3,2]，故D错误．
故选：AC.
由三角恒等变换，函数的奇偶性及周期性可求得f(x)，再利用图象的变换规律求得g(x)，由正弦函数的图象与性质逐项判断即可．
此题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：在鳖臑P-ABC中，四个面都为直角三角形，
可知PC的中点到四个顶点的距离都相等，
所以PC的中点是鳖臑外接球的球心，
因为外接球的体积为32π3，得外接球的半径R=2，
∴PC=4，设PA=a，BC=b，则PA2+AB2+BC2=PC2，得a2+b2=12，
∴VP-ABC=13×12×2b×a=13ab⩽13×a2+b22=2，
当且仅当a=b=6时，VP-ABC取得最大值2，
故A正确，B错误；
△PBC中，BC⊥PB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴∠CPB即为PC与平面PAB所成角，正弦值为BCPC=64，故C正确；
设鳖臑内切球的半径为r，
则VP-ABC=13(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)×r=13×S△ABC×PA，
(6+6+15+15)×r=6×6，
解得r=15-63，故D正确．
故选：ACD.
根据外接球的体积为32π3，得外接球的半径R=2，再根据基本不等式，即可求得当PA=BC=6时，鳖臑P-ABC体积的最大值为2，由此判断A，B选项，由∠CPB为PC与平面PAB所成角，可以判断C选项，
根据体积相等可以求出内切球的半径，可以判断D选项．
此题主要考查了三棱锥的体积和内切球的体积计算，属于中档题．
13.【答案】 ∃x∈[0，π2]，sinx＜0
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈[0,π2]，sinx<0，
故答案为：∃x∈[0,π2]，sinx<0，
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
此题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
14.【答案】 f（x）=-x2+1（答案不唯一）
【解析】解：f(x)=-x2+1，
满足f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1=f(x)，
且当x∈(0,1)时，f'(x)=-2x<0，
故函数f(x)=-x2+1，同时满足上述两个性质，
故答案为：f(x)=-x2+1(答案不唯一).
根据题意写出一个满足上述两个性质的函数即可．
此题主要考查了函数的奇偶性，考查了导数的计算，属于基础题．
15.【答案】 24
【解析】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即可，
即可排成不同的音序的种数为44A22AA22=24，
故答案为：24.
先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即可，
此题主要考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了定序问题倍缩法，属基础题．
16.【答案】 3 3; 略
【解析】解：由焦半径公式可得：|PF||QF|=p1-cosθp1+cosθ=1+cosθ1-cosθ=3，∴cosθ=12，k=tanθ=3.
PQ方程为y=3(x-p2)，
与y2=2px联立可得：
3(x2-px+p24)=2px，即3x2-5px+34p2=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=5p3，x1x2=p24，
Δ=25p2-4×3×34p2=16p2，
|PQ|=1+k2△|a|=83p，
∵y2=2px，∴2yy'=2p，y'=py=p2px=2p2x-12，
y'=3，py=3，y=33p，2p2x-12=3，x=p6，
切点(p6,33p)到直线3x-y-32p=0的距离d=|3×p6-33p-32p|2=3p3，
则三角形的最大值为Smax=12⋅83p⋅3p3=43p9，
83p=4，∴4×38p=4，p=32，
即Smax=439×94=3
故答案为：3，3.
首先结合焦半径公式求得直线的斜率，然后利用导数确定三角形面积最大时的切点坐标，最后求解三角形面积的最大值即可．
此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，抛物线中的最值问题等知识，属于中等题．
17.【答案】解：（1）选①，因为{an}是递增的等比数列，S3=7，a2=2，
设公比为q，
所以{a1+a2+a3=7a2=2，即{a1+a3=5a2=2，
所以a2q+a2q=5，
因为q＞1，所以q=2，
所以an=2n-1；
选②，Sn=2n-1，
当n=1时，a1=S1=2-1=1，
当n≥2时，由Sn=2n-1得，
Sn-1=2n-1-1，
两式相减得，an=2n-2n-1=2n-1，
当n=1时，也满足上式，
所以an=2n-1；
选③，Sn=2an-1，
当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-1，
两式相减得，an=2an-2an-1，
即an=2an-1，
所以数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列，
所以an=2n-1；
（2）bn={2n-1,n=2k-1·k∈N*n-1,n=2k,，
T2n=（b1+b3+b5+⋯+b2n-1）+（b2+b1+b6+⋯+b2n）
=（20+22+24+⋯+22n-2）+（1+3+5……+2n-1）
=20×(1-4n)1-4+(1+2n-1)×n2
=13×4n+n2-13．
【解析】
(1)选①，设公比为q，根据条件列出方程组，求得公比，代入通项公式即可；
选②，由an与Sn的关系可推得an；
选③，由an与Sn的关系可推得数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列，从而根据等比数列通项公式可得结果；
(2)求出bn，然后采用分组求和方式求解．
此题主要考查了数列的递推式，等比数列求通项公式以及分组求和，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵cos∠BDC=33，
∴sin∠BDC=1-(33)2=63，
在△BCD中，
CDsin∠DBC=BCsin∠BDC，
即4223=BC63，
解得BC=23；
（2）存在，理由如下：
AC=BC+m3=23+m3，
若△ABC为钝角三角形，
则∠ABC为钝角，
则m2+（23）2-（23+m3）2＜0，
解得0＜m＜332，
故m=1或m=2．
【解析】
(1)由cos∠BDC=33得sin∠BDC=63，结合正弦定理求解即可；
(2)可判断若△ABC为钝角三角形，则∠ABC为钝角，可得m2+(23)2-(23+m3)2<0，解不等式，再确定m的值即可．
此题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：（1）证明：设AD的中点为O，连接PO，BO，
因为AB=BD，所以BO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BO⊂平面ABCD，
所以BO⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以BO⊥PA，
因为E为BC的中点，四边形ABCD为平行四边形，
所以BE∥OD，BE=OD，
所以四边形OBED为平行四边形，所以DE∥OB，
所以DE⊥PA，又PA⊥PD，DE∩PD=D，DE，PD⊂平面PDE，
所以AP⊥平面PDE；
（2）因为PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，又OB⊂平面ABCD，
所以PO⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，
以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
在△PAD中，因为PA=PD=2，PA⊥PD，
所以AD=22，PO=12AD=2，
在△BAD中，因为BA=BD=2，AD=22，
所以BA2+BD2=AD2，即AB⊥BD，所以BO=12AD=2，
则P(0，0，2)，D(-2，0，0)，E(-2，2，0)，C(-22，2，0)，
所以PD→=(-2，0，-2)，DE→=(0，2，0)，PC→=(-22，2，-2)，
QD→=PD→-PQ→=PD→-13PC→=(-2，0，-2)-13(-22，2，-2)=(-23，-23，-223)，
设平面PDE的法向量为m→=(a，b，c)，
则{m→⋅PD→=0m→⋅DE→=0，即{-2a-2c=02b=0，
令a=1，则b=0，c=-1，所以m→=(1，0，-1)，
设平面QDE的法向量为n→=(x，y，z)，
则{n→⋅QD→=0n→⋅DE→=0，即{-23x-23y-223z=02y=0，
令x=2，则y=0，z=-1，所以n→=(2，0，-1)，
所以cos＜m→，n→＞=m→⋅n→|m→||n→|=1×2+12×4+1=31010，
所以平面PDE与平面QDE夹角的余弦值为31010．
【解析】
(1)设AD的中点为O，连接PO，BO，根据平面PAD⊥平面ABCD，得到BO⊥平面PAD，再根据线面垂直判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系后，分别求出平面PDE的法向量和平面QDE的法向量，代入公式即可求解．
此题主要考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：（1）∵χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(25×35-25×15)250×50×40×60≈4.167＞3.841，
∴依据α=0.05的独立性检验，能认为日均收看时间与性别有关联．
（2）由题意可得，X所有可能取值为0，3，6，
一道题目甲得3分的情况有甲抢到且甲答对、乙抢到且乙答错，P1=12×35+12×15=25，
一道题目甲得0分的情况有甲抢到且甲答错、乙抢到且乙答对，P2=12×25+12×45=35，
P（X=0）=(35)2=925，
P（X=3）=C21(25)1(35)1=1225，
P（X=6）=(25)2=425，
故X的分布列为：
X
0
3
6
P
925
1225
425
故E（X）=0×925+3×1225+6×425=125．
【解析】
(1)根据题目所给的数据，填写2×2列联表即可计算卡方值，对照题目中的表格，得出统计结论．
(2)由题意可得，X的所有可能取值为0，3，6，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及独立性检验公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
21.【答案】解：（1）证明：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，
A1(-2，0)，A2(2，0)，
故k0=sinθ2cosθ+2，k1=sinθ2cosθ-2，
故k0k1=sin2θ2(cos2θ-1)=sin2θ-2sin2θ=-12，得证．
（2）证明：由（1）有：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，
k0=sinθ2cosθ+2，k1=sinθ2cosθ-2，
当θ=0时，P，W，Q均在x轴上，此时，k1=k2=0，
当θ≠0时，直线A1P：x=-1k0y-2，
直线A2P：x=-1k1y+2，
联立直线A1P与双曲线可得：(1k02-1)y2+22k0y+1=0，
因为有两个交点，故k0≠±1，yS+yT=22k0k02-1，
故xS+xT=-22k02k02-1，
因为Q为S，T中点，所以Q(-2k02k02-1，2k0k02-1)，
在直线A2P：x=-1k1y+2中，令x=23，解得yW=223k1，
故k2=yQ-ywxQ-xw=3k0-2k02k1+2k11-4k02，
由（1）有k0k1=-12，将其代入上式化简得：
k2=2k1，
综上所述，故存在常数λ=12使得k1=λk2，得证．
【解析】
(1)可利用参数方程的概念将P的坐标设为(2cosθ,sinθ)，然后表示k0，k1即可；
(2)直接将直线A1P与双曲线联立得到关于S，T的坐标关系，从而得到Q点坐标，再将直线A2P：x=-1k1y+2与x=23联立可得W坐标，从而表示WQ的斜率，再利用(1)中的k0k1=-12代入化简可得λ=12即得证．
此题主要考查圆锥曲线与直线联立，及椭圆上的点可充分利用参数方程来解决，属于较难题目．
22.【答案】解：（1）因为f（x）=lnx+ax+b（x＞0），所以f′（x）=1x-ax2=x-ax2，
①当a≤0时，x-a＞0恒成立，所以f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，所以f（x）没有极值，
②当a＞0时，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）有极小值，极小值为f（a）=lna+b+1，无极大值．
（2）证明：因为f（x）的最小值为0，
由（1），可知当a＞0时，f（x）有最小值f（x）min=lna+b+1，所以lna+b+1=0，
因为g（x）=f（x）-12=lnx+ax+b-12，
g（a2）=lna2+2+b-12=12-ln2＜0，g（ae）=lna-1+e+b-12=e-52＞0，
所以ea＜x1＜a2，g（ea）=1+lna+1e+b-12=1e-12＜0，
g（4a）=ln4+lna+14+b-12=ln4-54＞0，
所以ea＜x2＜4a，所以ex2-elnx1＞eea-elna2，（a＞0）
令h（x）=eex-elnx2，则h′（x）=e（eex-1x），
令p（x）=eex-1x，所以p（x）在（0，+∞）上单调递增，
又p（1e）=0，所以在（0，1e）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
在（1e，+∞）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min=h（1e）=ee·1e-eln1e2=e-eln12e=e+eln2e＞2，
所以ex2-elnx1＞2得证．
（3）证明：设Sn=1n+1+1n+2+...+12n，
Sn+1-Sn=（1n+2+1n+3+...+12n+12n+1+12n+2）-（1n+1+1n+2+...+12n）
=12n+1+12n+2-1n+1＞12n+2+12n+2-1n+1=0，
所以数列{Sn}是严格单调递增的，
又n→∞limSn=n→∞limk=1n1n+k=n→∞lim1nk=1n11+kn，
其中1nk=1n11+kn恰是连续函数f（x）=11+x在[0，1]区间上，将[0，1]n等分，ξk=kn所作的积分和，
于是，n→∞limSn=∫0111+xdx=ln（1+x）|01=ln2，
由Sn的严格增加，有1n+1+1n+2+...+12n＜ln2．
【解析】
(1)求导得f'(x)=1x-ax2=x-ax2，分a⩽0和a>0两种情况，判断f(x)的单调性，即可得出答案．
(2)由(1)得当a>0时，f(x)有最小值f(x)min=lna+b+1=0，计算得g(a2)<0，g(ae)>0，则ea
(3)设Sn=1n+1+1n+2+...+12n，利用放缩法可得Sn+1-Sn>12n+2+12n+2-1n+1=0，推出数列{Sn}是严格单调递增的，结合n→∞limSn=n→∞limk=1n1n+k=n→∞lim1nk=1n11+kn，n→∞limSn=∫0111+xdx=ln2，即可得证．
此题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．
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