初中数学人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试复习练习题

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试复习练习题，共32页。试卷主要包含了平行四边形的定义，平行四边形的性质，平行四边形的判定，平行线间的距离等内容，欢迎下载使用。
 平行四边形的性质与判定


知识点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
特别说明：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

知识点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

知识点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等；
2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图一

3. 平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：





知识点六 三角形中线的概念和性质
连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线平行且等于第三边的一半。
注：三角形的中位线与中线的区别
区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。
联系:三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。

一、单选题
1．□的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，画出图形即可解决问题．
【详解】
解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵□的顶点坐标分别是为，，，
∴线段向右平移5个单位，再向上平移2个单位可得到线段，点与点对应，点与点对应，
∴点的坐标为．
故选：C.

【点睛】
本题考查坐标与图形变化—平移，平行四边形的性质和点平移坐标变化的规律等知识． 根据点与点的坐标，得出平移前后点的坐标变化规律是解题的关键．
2．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（－4，－4），（4，－4），则顶点D的坐标是（       ）

A．（-8，2） B．（8，-4） C．（4，2） D．（8，2）
【答案】D
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，只要计算出BC的长度，就可由A点坐标推出D点坐标．
【详解】
解：∵B（-4，-4），C（4，-4）
∴BC=4﹣(-4)=4+4=8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，
∵点A的坐标为（0，2），
∴点D的坐标为（8，2），
故选：D．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离，平行四边形的性质，能够熟练运用平行四边形的性质是解决本题的关键．
3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（       ）

A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．
【详解】
解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，
∴BF=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．
4．下面是八年级（1）班某学习小组讨论的问题：如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，添加一些条件，使四边形AECF是平行四边形，并加以证明．条件分别是①；②；③；④四边形ABCD是平行四边形．其中所添加的条件符合题目要求的是（       ）

A．④ B．①② C．①④ D．①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质与判定可求解．
【详解】
解：当添加①④时，可得四边形AECF是平行四边形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∵BE＝DF
∴AD﹣DF＝BC﹣BE
∴AF＝EC，且AF∥CE
∴四边形AECF是平行四边形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形性质与的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
5．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（       ）

A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案．
【详解】

过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E
∵在中，AO=OC，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识．
6．如图，将平行四边形沿对边上两点连线对折，使点A恰好落在点C处，若，，，则的长为（       ）．

A．4.6 B． C．5.6 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作的延长线于点G，由已知条件求出，进而求出BG，CG，设，由折叠的性质知，在中，由勾股定理可得，由此可解．
【详解】
解：如图，作的延长线于点G，


∵平行四边形中，，，，
∴，，
∴，
∴， ，
设，则，
∴，
∵平行四边形沿对边上两点连线对折，点A落在点C处，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴的长为5.6．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形，勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题
7．如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．
【详解】
解：四边形为平行四边形，
，即将点平移到的过程与将点平移到的过程保持一致，
将点平移到的过程是：（向左平移4各单位长度）；（上下无平移）；
将点平移到的过程按照上述一致过程进行得到，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．
8．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________．

【答案】10
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．
【详解】
解：∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴AB＝2EF＝20，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则_________．

【答案】110º
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE=180º，代入求解即可．
【详解】
解：∵是等腰三角形，∠A=120º，
∴∠ABC=∠C=(180º-∠A)÷2=30º，
∵四边形是平行四边形，
∴OFDE，
∴∠2+∠ABE=180º，
即∠2+30º+40º=180º，
∴∠2=110º．
故答案为：110º．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．
10．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为 _____．

【答案】18°##18度
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理可得，由AB＝CD，可得EG=FG，即可求解．
【详解】
解：∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，
∴，
∵AB＝CD，
∴EG=FG，
∴∠EFG=∠FEG，
∵∠EGF＝144°，
∴∠GEF=18°．
故答案为：18°.
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
11．如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB=4，CD=6，则EF的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．
【详解】
解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，

∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，
∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，
∴EM∥AB，MF∥DC，EM=AB=2，MF=DC=3，
∵MF∥DC，
∴∠FGC=∠EFM，
∵EM∥AB，
∴∠FEM=∠FHB，
∵∠BHF与∠CGF互余，
∴∠CGF+∠BHF=∠EFM+∠FEM=90°，
∴∠EMF=180°-∠EFM-∠FEM=90°，
∴△EMF是直角三角形，
∴EF=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理和直角三角形的判定解答．
12．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则_____________．

【答案】6
【解析】
【分析】
根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解．
【详解】
解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位线，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．
三、解答题
13．如图，点E、F分别在平行四边形的边、上，若平分，平分，求证．

【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对边和对角相等，可得△ABE≌△CDF，于是BE=DF，再由AD=BC即可证明；
【详解】
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE=∠BAD，∠DCF=∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
△ABE和△CDF中：∠BAE=∠DCF，AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
∴AF=CE。
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质；掌握平行四边形的性质是解题关键．
14．在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．


(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS直接证明；
（2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形．
(1)
证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
(2)
证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E．

(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=∠BAD，②___________，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE与△CDF中

∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【解析】
【分析】
（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得，，根据平行四边形的性质得，即∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF．
(1)
解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求．

(2)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
故答案为：，，，．
【点睛】
本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
16．如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为．

(1)求证．
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【解析】
【分析】
（1）延长CE交AB于F，证明△CAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得到AE=EF，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）根据三角形中位线定理计算即可．
(1)
证明：延长CE交AB于F，
∵AM是∠CAB的角平分线，
∴∠CAM=∠BAM，
在△CAE和△FAE中，，
∴△CAE≌△FAE（ASA），
∴CE=EF，
∵CN=NB，
∴EN是△CFB的中位线，
∴；

(2)
解：由（1）可知，△CAE≌△FAE，
∴AF=AC=13，
∴BF=AB-AF=24，
∵EN是△CFB的中位线，
∴EN=BF=．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17．如图所示，≌，点在上．


(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质可得，，进一步可证明，，从而可得结论；
（2）设，，根据全等三角形的性质得出，得出，结合图形进行求解即可．
(1)
证明：，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
(2)
解：由（1）知，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答此题的关键．
18．如图①，在中，，将沿翻折至，连接．

(1)求证：//；
(2)如图①，若，则_______，_______．
(3)如图②，若与边相交于点E，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)的长是
【解析】
【分析】
（1）通过三角形全等即可求得，进而根据等腰三角形的性质证得，根据平行线的判定即可证得结论；
（2）根据对折的性质求得，从而求得，由于，得出，进而即可求得∠ACB= 45°；作AG⊥BC于G，根据解直角三角形即可求得BC；
（3）过点C作于G，通过解直角三角形求得CG、，进而求得AG，设，根据勾股定理即可求得x值，即AE的值．
(1)
四边形ABCD是平行四边形，
，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又与相交，设交点为E，
则和都是等腰三角形，
∴，
∴；
(2)


在平行四边形ABCD中，，将沿翻折至，
，
，
，
，
，
，
，
过点A作AG⊥BC于G，
，
，
，
，
，
故答案为：；
(3)


过点C作于G，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．



1．如图，在中，以点A为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点G．若，则的长为（       ）

A． B．6 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAG=∠DGA，进而得到AD=DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即可解决问题．
【详解】
解：过A作AM⊥CD于M，


根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∵,，
∴CD∥AB，AD=BC=6，，
∴∠DGA=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=BC=6，
∵，
∴∠DGA=30°，∠ADM=60°，
∴在Rt△ADM中，，
∴，
∴在Rt△AGM中，，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键．
2．如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．

【答案】或
【解析】
【分析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．
【详解】
解：，为斜边AB的中点，
∴AB=8，，，
①若与AB交于点F，连接，如图1所示，

由折叠可得，，，
∵点E是AB的中点，
∴，
由题意得，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，

同理可得，，
，
，
，
∴点P与点C重合，
∴，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．
3．如图，点E在内部，EB⊥BC，ED⊥CD，且，连接CE．对于下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中所有正确结论的序号是________．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，结合全等三角形逐个选项判断即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴，故①正确；
延长DE交AB于F


∴DF⊥AB
∵四边形BCDE内角和360°
∴
∴
∴
∵
∴
在和中

∴（ASA）
∴，故③正确；
∴是等腰直角三角形
∴,
∴
∴，故②正确；
当时，
∴
∵
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明是等腰直角三角形．

4．如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，．

(1)求，的长度；
(2)若，求的长；
(3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或12
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由可列方程并求解，可得，进而得到CE、CQ的长，再由求QE的长度即可；由点Q为中点，可知，可计算BC的长；
（2）过点A作于点M，PE交AC于点N，由等腰三角形的性质可知，再证明四边形AMEP为平行四边形，推导，由列方程并求解，可依次求得AP、CQ的长度，由计算BQ的长度即可；
（3）分两种情况讨论：当点Q、E在线段BC上时以及当点Q、E在线段CB的延长线上时，根据平行四边形的性质可知，根据题意分别列方程求解即可．
(1)
解：如下图，由题意可知，，即，
解得，即，
∴，，
∴，
∵点Q为中点，
∴；

(2)
如下图，过点A作于点M，PE交AC于点N，
∵
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形AMEP为平行四边形，
∴，
∵，
由可知，，
解得，即，
∴，
∴；
(3)
存在，理由如下：
①如下图，当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，

则，
∵，
∴，
∴，
解得；
②如下图，当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，

则，
∵，
∴，
∴，
解得．
综上所述，当以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形时，或12．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是用方程的思想解决问题．