初中数学人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试课后复习题

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试课后复习题，共32页。试卷主要包含了菱形的性质，菱形的判定，矩形的性质，矩形的判定，正方形的性质，正方形的判定等内容，欢迎下载使用。
 特殊的平行四边形的性质与判定


知识点一 菱形的性质：
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=．（a、b是两条对角线的长度）

知识点二 菱形的判定：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

知识点三 矩形的性质：
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等且互相平分；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

知识点四 矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

知识点五 正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

知识点六 正方形的判定：
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．














一、单选题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（       ）
A．对边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
【详解】
正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，且．则EF的长度为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可得AC=BD=12，BO=DO=BD=6，再根据三角形中位线定理可得EF=BO=3．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12，
∴BO=DO=BD=6，
∵点E、F是AB，AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF=BO=3，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
3．满足下列条件的四边形是正方形的有（       ）
①对角线互相垂直且相等的平行四边形
②对角线互相垂直的矩形
③对角线相等的菱形
④对角线互相垂直平分且相等的四边形
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的判定逐个判定即可．
【详解】
解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
②对角线互相垂直的矩形是正方形，
③对角线相等的菱形是正方形，
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的判定，熟练掌握根据对角线的特征判定四边形是正方形的判定定理是解题的关键．
4．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（）的斜边恰好重合．点E，F分别是边，上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，己知点E的速度为1单位/秒，若存在某个时刻四边形为平行四边形，则点F的速度为（       ）单位/秒．

A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AE＝CE＝DE，设AC=2a，根据平行四边形的性质可求得BF＝DE=a，根据AE求出E点的运动时间，即F点的运动时间，最后求出点F的运动速度．
【详解】
解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，∠ADC=90°，
∴AE＝CE＝DE，
设AC=2a，则，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BF＝DE=a，
∵点E运动时间为：，
∴点F的运动时间为a，
∴点F的速度为（单位/秒），故A正确．

故选：A．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，根据等腰直角三角形的性质，证明DE＝CE＝AE，是解题的关键．
5．如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EF∥AD交CD于F，连接BE，若BE=7，DF=6，则AC的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过E点作BC垂线，垂足为G，易知EG=EF，再通过勾股定理求出BG，从而求出BC，再通过等腰直角三角形特征求出AC．
【详解】

由E点作BC垂线，垂足为G
∵四边形ABCD为正方形
又EF∥AD，AC为正方形ABCD对角线
∴四边形EFCG为正方形
∴BG=
∴
∴
∴
故选D
【点睛】
本题考查正方形的特性和解直角三角形，掌握这些知识点是本题关键．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
如图，设与的交点为，


根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确，
④四边形是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF．故④正确；
故选B
【点睛】
本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题
7．如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知AB＝2，BE＝1，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】
解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝90°，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形四边相等、四个角为直角的性质是解题关键．
8．如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______．

【答案】8
【解析】
【分析】
根据平移的性质即可求解．
【详解】
解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，
∴四边形B′C′CB为平行四边形，
∵BB′⊥BC，
∴四边形B′C′CB为矩形，
∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC
=S矩形B′C′CB
=4×2
=8(cm2)．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9．菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，


菱形的边长为2，，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．
10．九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点是的黄金分割点，即．延长与相交于点，则________.（精确到0.001）
   
【答案】0.618
【解析】
【分析】
设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得，即可得到答案．
【详解】
解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴，
∴EG≈0.618DE．
故答案为：0.618．

【点睛】
此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y≈0.382x是解题的关键．
11．如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．
【详解】
解：连接AC交BD于点O，如图，


∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，
∴
在Rt中，AB=4，BO=，
∵，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴,
∴
又
∴，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴
∴
在和中，
,
∴≌
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
12．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．

【答案】2
【解析】
【分析】
连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：连接AP，如图所示，


∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题
13．如图，在中，，BD平分．四边形ABED是平行四边形，交BC于点F，连接CE．

(1)求证：四边形BECD是矩形．
(2)若，，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形三线合一证明，，再用四边形ABED是平行四边形，证明，，则，，即可证明．
（2）利用矩形的性质得出，，，在用勾股定理得DE的长度，即可求出CF的长．
(1)
证明：∵在中，，BD平分，
∴，，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形BECD是平行四边形，
又∵，
∴四边形BECD是是矩形．
(2)
解：∵四边形BECD是矩形，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定及勾股定理，掌握平行四边形和矩形的判定是解答本题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．

(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】(1)见详解
(2)△ABC的面积为
【解析】
【分析】
（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．
(1)
证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
(2)
解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E为AB中点，
∴，
∴△BCE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
15．已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E．

(1)作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；
(2)连接DF交AC于点G，作GH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；
(3)你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)能，见解析
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质可知AE＝EC，由平行线分线段成比例定理可知BF＝FC；
（2）先证明△EFG∽△CDG，从而可得到，故此，然后由平行线分线段成比例定理可求得；
（3）过点E作EP⊥DC，连接FP交AC于点Q，过点Q作QM⊥BC，垂足为M则点M为BC的一个四等分点．
(1)
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴点E为AC的中点，AB⊥BC，
∴AE＝EC．
∵EF⊥BC，
∴EF∥AB．
∴CF：FB＝CE：EA＝1．
∴CF＝FB．
∴点F是BC的中点．
(2)
证明：∵AE＝EC，BF＝FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴，
∵EF⊥BC，DC⊥BC，
∴△EFG∽△CDG，
∴，
∴，
∵GH∥AB，
∴，
∴点H是BC的三等分点．
(3)
解： 如图所示：过点E作EP⊥DC于P，连接FP交CE于Q，过Q做QM⊥BC，M为BC的四等分点．

【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质可判定，由△EFG∽△CDG求得GC＝2EG，从而得到AC＝3CG是解题的关键．
16．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．


若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析
【解析】
【分析】
先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．
【详解】
解：赞成小洁的说法，补充
证明：∵OB＝OD，
四边形是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．
17．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为．

①若E为边AC的中点，则的值为_______；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①，②，④，③
(2)证明见解析
(3)①2
②结论仍成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明；
（3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可．
(1)
解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
(2)
解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
(3)
解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，
设，
∴，，，，
∴，
，
∴；
故答案为：2；
②成立，证明如下：
由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
设，，
∴，，，，
∴，
，
∴仍成立．
【点睛】
本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键．
18．（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，BE=CF，AF，DE交于，点G，求证：AF⊥DE且AF=DE；
（2）点E，F分别在边CB，DC的延长线上，且BE=CF，（1）中结论是否也成立？如果成立，请写出证明；如果不成立，请写出理由；
（3）在（2）的基础上，连接AE，BF，分别取AE，EF，FD，AD的中点M，N，P，Q，请判断四边形MNPQ的形状，并写出证明．

【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）四边形MNPQ是正方形，证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据正方形的性质，证明△ADF≌△DCE即可．
（2）根据正方形的性质，证明△ADF≌△DCE即可．
（3）根据正方形的性质，三角形中位线定理证明即可．
【详解】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°．
∵BC=DC，BE=CF，
∴CE=DF
∵AD=DC，∠ADC=∠DCB，CE=DF，
∴△ADF≌△DCE．
∴AF=DE，∠FAD=∠EDC，
∠ADC=90°，
∴∠ADG＋∠EDC=90°，
∵∠ADG＋∠EDC=90°，∠FAD=∠EDC，
∴∠ADG＋∠FAD=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE．
（2）（1）中结论仍然成立，证明如下：四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°．
∵BC=DC，BE=CF，
∴CE=DF
∴AD=DC，∠ADC=∠DCB，CE=DF．
∴△ADF≌△DCE
∴AF=DE，∠FAD=∠EDC．
∴∠ADC=90°，
∴∠ADG＋∠EDC=90° ，
∵∠ADG＋∠EDC=90°，∠FAD=∠EDC，
∴∠ADG＋∠FAD=90° ．
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE
（3）四边形MNPQ是正方形，证明如下：
由（2）可知AF=DE且AF⊥DE．
∵M、N分别为AE、EF的的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
MN//AF，MN=AF
同理可得PQ//AF且PQ=AF
∴MN// PQ，MN=PQ．
∴四边形MNPQ是平行四边形
又∵MQ=DE，DE=AF
∴MN= MQ．
∴四边形MNPQ是菱形
∴MN//AF，NP//DE，AF⊥DE，
∴MN⊥NP
∴∠MNP=90°．
∴∠MNP=90°，四边形MNPQ是菱形，
∴四边形MNPQ是正方形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．







1．如图，正方形中，，动点在边上，以为直角边向上作正方形，连接，则在运动过程中最小值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点作，交的延长线于点，根据题意，首先证出，得到，，进而证出为等腰直角三角形，得到，当在上移动时，点在的角平分线上移动，当时，最短．再证得为等腰直角三角形，解这个直角三角形得，进一步再求出的最小值，从而得解．
【详解】
解：过点作，交的延长线于点，

∵四边形是正方形
∴
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴当在上移动时，点在的角平分线上移动，当时，最短
∵
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵，，
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是线段的最小值的问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握各种图形的性质与判定，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
2．如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．

【答案】13+
【解析】
【分析】
由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值．
【详解】
∵点坐标为，点坐标为，
∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD中，CD＝5，
∵四边形是菱形，
∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，线段轴，
∴EF＝8，

连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1，
则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，
∴EF1=EF-FF1=3，
∵点E，O关于AD对称，
∴OA=AE，
当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝，
∴四边形周长的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+．

【点睛】
本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
3．如图，在四边形ABCD中，，，，．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

(1)当四边形APQD是矩形时，直接写出t的值为．
(2)当时，求t的值；
(3)在点P，Q运动过程中，若四边形BPDQ能够成为菱形，求AD的长．
【答案】(1)
(2)4或
(3)
【解析】
【分析】
（1）四边形APQD为矩形，则，则，即可求解；
（2）作QN⊥AB于点N，作BH⊥CO于点H，而，求出和，而,即可求解；
（3）由菱形的性质可，求出此时t值，由勾股定理可求解；
(1)
∵ ，
∴，
由题意得，，
∴；
∵四边形APQD为矩形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
(2)
如图，作QN⊥AB于点N，作BH⊥CO于点H，


则四边形BHQN为矩形，四边形ADHB为矩形，
∴，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
解得或；
(3)




四边形PBQD是菱形，
∴，
即
∴
∴
∴cm．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
4．如图，点E为正方形ABCD边AD上一动点（不与A、D重合）．连接BE交AC于点F，PQ经过点F，分别与AB、CD交于点P、Q，且PQ=BE．


(1)求证：BE⊥PQ；
(2)求证：FP=FE；
(3)若CQ=，求AC﹣2AF的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
(3)2
【解析】
【分析】
（1）过Q点作QM⊥AB于点M，先证△ABE≌△MQP，得到∠MPQ=∠AEB，即可证明；
（2）连接FD，先证△BCF≌△DCF，FD=BF，∠FDC=∠FBC，再证∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，即有FQ=FD，即有FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，则问题得证；
（3）设MQ交BE于N点，交AC于T点，先证△BPF≌△QNF，得到FN=FP，再证∴△FNT≌△FEA，得到TF=AF，即有AC-2AF=AC-AF-TF=CT，在Rt△CQT中，，则问题得解．
(1)
证明：过Q点作QM⊥AB于点M，如图，


在正方形ABCD中，有∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB=AD=CD，，，
∵MQ⊥AB，
∴∠BMQ=90°=∠PMQ，
∴四边形MBCQ是矩形，
∴MQ=BC=AB，
∵BE=PQ，∠PMQ=∠BAE，
∴△ABE≌△MQP，
∴∠MPQ=∠AEB，
∵在Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠MPQ+∠ABE=90°，
∴∠PFB=90°，
∴PQ⊥BE；
(2)
证明：连接FD，如图，


在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，，，
∴∠BCF=∠DCF，
∵BC=CD，CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴FD=BF，∠FDC=∠FBC，
∵，
∴∠BEA=∠FBC，
∴∠FDC=∠BEA，
∵在（1）中已经证明∠MPQ=∠AEB，
∴∠FDC=∠AEB，
∵，
∴∠MPQ=∠PQD，
∴∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，
∴FQ=FD，
∴FQ=FB，
∵BE=PQ，
∴FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，
∴FP=FE，
问题得证；
(3)
设MQ交BE于N点，交AC于T点，如图，


在（1）中已证得∠PBE=∠MQP，∠BFP=∠BFQ，
在（2）中已证得FQ=FB，
∴△BPF≌△QNF，
∴FN=FP，
根据（2）结论有FP=FE，
∴FN=FE，
∵四边形MBCQ是矩形，，∠CQM=90°，
∴，即，CQ=MB，
∴∠TNF=∠AFE，
∵∠AFE=∠TFN，
∴△FNT≌△FEA，
∴TF=AF，
∴AC-2AF=AC-AF-TF=CT，
∵正方形中对角线AC平分∠BCD，，
∴∠CTQ=∠BCT，
∴∠QCT=45°=∠CTQ，
∴CQ=QT=，
∵∠CQM=90°，
∴Rt△CQT中，，
∴AC-2AF=CT=2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行的性质等知识．构造全等三角形是解答本题的关键．