苏科版数学七年级下册同步拔高训练 第8章 幂的运算（二）（含答案解析）

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第8章 幂的运算

一、单选题（共10小题）
1.根据测试，华为首款5G手机传输1M的文件只需2.5×10﹣3秒，其中2.5×10﹣3的原数是（　　）
A．2500 B．25000 C．0.00025 D．0.0025
【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示为2.5×10﹣3的原数是0.0025．
故选：D．
【知识点】科学记数法—原数、科学记数法—表示较小的数
2.下列运算正确的是（　　）
A．a4•a2＝a8 B．（2a3）2＝4a6
C．（ab）6÷（ab）2＝a3b3 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及平方差公式进行解答．
【解答】解：A、原式＝a4+2＝a6，故本选项运算错误．
B、原式＝22•a3×2＝4a6，故本选项运算正确．
C、原式＝a6﹣2•b6﹣2＝a4b4，故本选项运算错误．
D、原式＝a2﹣b2，故本选项运算错误．
故选：B．
【知识点】平方差公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法
3.下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+a2＝a4
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a6
【答案】D
【分析】根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【知识点】完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项
4.计算（﹣ab）3•a2b4的结果正确的是（　　）
A．a5b6 B．﹣a5b6 C．a5b7 D．﹣a5b7
【答案】D
【分析】先根据积的乘方算乘方，再根据单项式乘以单项式算乘法即可．
【解答】解：（﹣ab）3•a2b4
＝﹣a3b3•a2b4
＝﹣a5b7，
故选：D．
【知识点】单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方
5.整数68170…0用科学记数法表示为6.817×109，则原数中“0”的个数为（　　）
A．5个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】B
【分析】把6.817×109写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【解答】解：∵6.817×109表示的原数为6817000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选：B．
【知识点】科学记数法—原数、科学记数法—表示较大的数
6.计算（x3）2÷x的结果是（　　）
A．x7 B．x6 C．x5 D．x4
【答案】C
【分析】依次根据幂的乘方法则和同底数幂相除的法则进行计算便可．
【解答】解：原式＝x6÷x＝x6﹣1＝x5，
故选：C．
【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方
7.已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a＜d＜c＜b D．b＜c＜a＜d
【答案】D
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及负指数幂的性质、分数的性质统一各数指数，进而比较即可．
【解答】解：∵a＝2﹣55＝（2﹣5）11＝，
b＝3﹣44＝（3﹣4）11＝，
c＝4﹣33＝（4﹣3）11＝，
d＝5﹣22＝（5﹣2）11＝
∴b＜c＜a＜d．
故选：D．
【知识点】负整数指数幂
8.已知3a＝10，9b＝5，则3a﹣2b的值为（　　）
A．5 B． C． D．2
【答案】D
【分析】首先根据9b＝5，可得：32b＝5，然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出3a﹣2b的值为多少即可．
【解答】解：∵9b＝5，
∴32b＝5，
又∵3a＝10，
∴3a﹣2b＝3a÷32b＝10÷5＝2．
故选：D．
【知识点】幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法
9.若a＝（99×99×99）9，b＝999，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．ab＝1
【答案】A
【分析】由于a和b均大于1，故可排除D；计算，根据其值与1的大小即可判断a和b的大小．
【解答】解：∵a＝（99×99×99）9，b＝999，两个数均大于1
∴D选项：ab＝1错误；
∵＝＝＝＝•
∵1＜＜227＜945
∴0＜•＜1
∴0＜＜1
∴a＜b
∴选项B，C不正确．
故选：A．
【知识点】幂的乘方与积的乘方
10.下列说法中错误的是（　　）
A．（3.14﹣π）0＝1
B．若x2+＝9，则x+＝±3
C．a﹣n（a≠0）是an的倒数
D．若am＝2，an＝3，则am+n＝6
【答案】B
【分析】根据0次幂的意义，负指数次幂的意义以及同底数幂的乘法分别进行判断即可．
【解答】解：任何不为0的0次幂均等于1，因此选项A正确；
当x2+＝9时，x+＝，因此选项B不正确；
因为a﹣n＝，因此选项C正确；
因为am+n＝am•an＝3×2＝6，因此选项D正确；
故选：B．
【知识点】等式的性质、负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘法、倒数

二、填空题（共8小题）
11.若（x﹣3）0＝1有意义，则x的取值范围　　　．
【答案】x≠3
【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得x﹣3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【知识点】零指数幂
12.一个氧原子的直径为0.000000000148m，用科学记数法表示为　　　m．
【答案】1.48×10-10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000000000148有10个0，所以可以确定n＝﹣10．
【解答】解：0.000 000 000 148＝1.48×10﹣10．
故答案为：1.48×10﹣10．
【知识点】科学记数法—表示较小的数
13.6a2b3÷2a2b＝　　；（﹣2a﹣1b3）﹣2＝　　．

【分析】直接利用整式的除法运算法则以及负整数指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：6a2b3÷2a2b＝3b2；
（﹣2a﹣1b3）﹣2＝a2b﹣6＝．
故答案为：3b2；．
【知识点】负整数指数幂、整式的除法、幂的乘方与积的乘方
14.若n为正整数，且x2n＝4，则（3x3n）2﹣4•（x2）2n的值是　　．
【答案】512
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则把所求式子写成9×（x2n）3﹣4×（x2n）2，再把x2n＝4代入计算即可．
【解答】解：∵x2n＝4，
∴（3x3n）2﹣4•（x2）2n
＝9x6n﹣4x4n
＝9×（x2n）3﹣4×（x2n）2
＝9×43+4×42
＝9×64﹣4×16
＝576﹣64
＝512．
故答案为：512．
【知识点】幂的乘方与积的乘方
15.如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，则m＝　　．
【分析】由新规定的运算可得3a＝5，3b＝6，m＝32a﹣b，再将32a﹣b，转化为后，再代入求值即可．
【解答】解：由于（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，根据新规定的运算可得，
3a＝5，3b＝6，m＝32a﹣b，
∴m＝32a﹣b＝＝＝，
故答案为：．
【知识点】幂的乘方与积的乘方
16.若2m×8n＝32，，则的值为　　．

【分析】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于m与n的方程，组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出所求．
【解答】解：∵2m×8n＝2m×23n＝2m+3n＝32＝25，2m÷4n＝2m÷22n＝2m﹣2n＝＝2﹣4，
∴m+3n＝5，m﹣2n＝﹣4，
两式相加得：2m+n＝1，
则原式＝（2m+n）＝．
故答案为：．
【知识点】同底数幂的乘法、整式的除法、幂的乘方与积的乘方
17.已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是　　．
【答案】6
【分析】依据25a•52b＝56，4b÷4c＝4，即可得到a+b＝3，b﹣c＝1，a+c＝2，再根据a2+ab+3c＝a（a+b）+3c＝3a+3c，即可得到结果．
【解答】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4，
∴52a+2b＝56，4b﹣c＝4，
∴a+b＝3，b﹣c＝1，
两式相减，可得a+c＝2，
∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3c＝3a+3c＝3×2＝6，
故答案为：6．
【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法
18.设m＝2100，n＝375，为了比较m与n的大小．小明想到了如下方法：m＝2100＝（24）25＝1625，即25个16相乘的积；n＝375＝（33）25＝2725，即25个27相乘的积，显然m＜n，现在设x＝430，y＝340，请你用小明的方法比较x与y的大小．
【分析】根据x＝430＝（43）10＝6410，y＝340＝（34）10＝8110，判断出x、y的大小关系即可．
【解答】解：x＝430＝（43）10＝6410，y＝340＝（34）10＝8110，
∵64＜81，
∴6410＜8110，
∴x＜y．
【知识点】幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较

三、解答题（共8小题）
19.计算：
（1）[（﹣3a2b3）3]2；
（2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3；
（3）（﹣0.5×3）199×（2×）200；
（4）5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5）．
【分析】（1）先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算即可；
（2）先算乘方，再合并同类项即可；
（3）先根据积的乘方进行计算，再求出即可；
（4）先算乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）1）[（﹣3a2b3）3]2
＝（﹣3a2b3）6
＝729a12b18；

（2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3
＝64x6y12﹣27x6y12
＝37x6y12；

（3）（﹣0.5×3）199×（2×）200
＝（﹣）199×（2×）200
＝（﹣×2×）199×（2×）
＝﹣1×
＝﹣；

（4）5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5）
＝5y2﹣3y2﹣y+6y+2﹣2y2+10y﹣2y+10
＝13y+12．
【知识点】幂的乘方与积的乘方、多项式乘多项式
20.计算：
（1）x•x3+x2•x2．
（2）5x2y•（﹣2xy2）3．
（3）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4．
【分析】（1）先利用同底数幂的乘法运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）先利用积的乘方运算法则进行计算，再计算单项式乘以单项式即可；
（3）先算乘方和乘法，后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝x4+x4＝2x4；

（2）原式＝5x2y•（﹣8x3y6）＝﹣40x5y7；

（3）原式＝7x4•x5•（﹣x7）+5x16＝﹣7x16+5x16＝﹣2x16．
【知识点】单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法
21.若32•92a+1÷27a+1＝81，求a的值．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案
【解答】解：∵32•92a+1÷27a+1＝81，
∴32•34a+2÷33a+3＝34，
∴2+4a+2﹣3a﹣3＝4，
解得：a＝3．
【知识点】幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法
22.（1）已知m+2n＝4，求2m•4n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方运算法则求解；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）2m×4n
＝2m×22n
＝2m+2n
＝24
＝16．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2
＝43﹣2×42
＝32．
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
23.已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．
（1）化简A；
（2）若x2＝（）﹣1，求A的值．
【分析】（1）先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项得到最简结果；
（2）先化简求得x的值，再代入求出A即可．
【解答】解：（1）A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3
＝x2+4x+4+x2﹣1﹣3
＝2x2+4x；
（2）∵x2＝（）﹣1＝4，
∴x＝±2，
∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×（﹣2）＝8﹣8＝0，
即A的值是0或16．
【知识点】平方差公式、负整数指数幂
24.已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为　　．
【答案】c=2a+b
【分析】（1）根据幂的乘方直接解答即可；
（2）根据同底数幂的乘除法进行解答即可；
（3）根据已知条件直接得出答案即可．
【解答】解：（1）∵5a＝3，
∴（5a）2＝32＝9；

（2）∵5a＝3，5b＝8，5c＝72，
∴5a﹣b+c＝＝.＝27；

（3）c＝2a+b；
故答案为：c＝2a+b．
【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
25.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a＝27＝32•3b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC＝　　　　．

【答案】2：3
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则即可求a、b的值．
（2）由于灯A转动速度为灯B的3倍，故灯B射线到达BQ前，灯A已转到AN并返回转，所以两灯光束平行有两种情况：①灯A射线还没到达AN，两光束平行即两转动角度相等，设A灯转动t秒，即B灯转动（20+t）秒，可用t表示两转动角度，列方程即能求t；②灯A射线转到AN之后，此时灯A与AN夹角为3t﹣180°，此度数与灯B转动角度互补，列方程即能求t．
（3）设两灯同时转动x秒，过点C作PQ的平行线，构造内错角相等的等量关系，即可用x表示图中所有角的度数，进而求∠BCD：∠BAC的值．
【解答】解：（1）∵a、b满足3a ＝27＝32•3b，
∴3a ＝33＝32+b
∴a＝3，2+b＝3
∴b＝1

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t＝（20+t）×1
解得t＝10
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣180°＝180°﹣（20+t）×1
解得t＝85
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行

（3）如图，过点C作CE∥MN，

∵PQ∥MN
∴CE∥PQ∥MN
设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x，∠DBC＝x
∴∠BCE＝∠DBC＝x，∠CAN＝180°﹣∠MAC＝180°﹣3x
∴∠ACE＝∠CAN＝180°﹣3x
∵∠BAN＝45°
∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45°﹣（180°﹣3x）＝3x﹣135°
∵CD⊥AC
∴∠ACD＝90°
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACE﹣∠BCE＝90°﹣（180°﹣3x）﹣x＝2x﹣90°
∴∠BCD：∠BAC＝
故答案为：2：3．
【知识点】同底数幂的乘法、平行线的判定与性质、幂的乘方与积的乘方
26.阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算以下各对数的值：log24＝　　，log216＝　　，log264＝　　；
（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；
（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：
logaM+logaN＝　　　　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．
【答案】【第1空】2
【第2空】4
【第3空】6
【第4空】logaMN
【分析】（1）根据an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），进而得出答案；
（2）利用（1）中所求进而得出答案；
（3）利用（2）中所求规律进而得出答案；
（4）利用发现的规律进而分析得出答案．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；
故答案为：2，4，6；

（2）由（1）得：log2 4+log2 16＝log2 64；

（3）由（2）得：logaM+logaN＝loga MN；
故答案为：loga MN；

（4）记loga M＝m，loga N＝n，
则M＝am，N＝an，
所以MN＝am•an＝am+n，
所以loga MN＝loga am+n＝m+n，
所以loga M+loga N＝loga MN．
【知识点】同底数幂的乘法