数学七年级下册9.4 乘法公式课时作业

9.4  乘法公式（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（   ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】B

【分析】

先配一个（2-1），则可利用平方差公式计算出原式=264，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解．

【详解】

解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（232-1）×（232+1）+1
=264-1+1
=264，
因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，
所以264的个位数是6．
故选：B．

【点睛】

】本题考查了平方差公式,解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．

2．的计算结果的个位数字是（   ）

A．8 B．6 C．2 D．0

【答案】D

【分析】

先将2变形为，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．

【详解】

解：

，，，，，，，，

的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，

，故与的个位数字相同即为1，

∴的个位数字为0，

∴的个位数字是0．

故选：D．

【点睛】

本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先利用已知条件得到x2＝1－2x，利用整体代入得到原式＝，利用多项式乘多项式得到原式＝，再将x2＝1－2x代入进而可求得答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∴

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了整体代入的方法，整式乘法的运算法则，灵活运用整体思想及熟练掌握整式乘法的运算法则是解决本题的关键．

4．设，，．若，则的值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

【答案】A

【分析】

先将a=x-2017，b=x-2019代入，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答．

【详解】

解：∵a=x-2017，b=x-2019，a2+b2=34，

∴（x-2017）2+（x-2019）2=34，

∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，

∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34，

∴2（x-2018）2=32，

∴（x-2018）2=16，

又∵c=x-2018，

∴c2=16.

故答案为A．

【点睛】

本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．

5．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（  ）

A．6 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为，根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A、B、C这3类图形面积部分.其中，分解的ab部分的系数即为B类卡片的张数．

【详解】

大正方形的面积为：

 其中为A类卡片的面积，∴需要A类卡片一张；

 同理，需要B类卡片4张，C类卡片4张．

 故选D．

【点睛】

本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识，然后再求解．

6．设，且，则（     ）

A．673 B． C． D．674

【答案】B

【分析】

令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.

【详解】

设

则

将x，y，z的值代入可得：

解得：

故选：B.

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出x，y，z之间的等式关系是解题关键.

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7．已知非零实数满足，且，则_______．

【答案】或0或1

【分析】

对原式进行变形，写成的形式，则要么要么，再根据的值求出的值．

【详解】

解：将原式变形成：，

，

∴或，

若，

则，

∴．

故答案是：或0或1．

【点睛】

本题考查乘法公式的运用，解题的关键是熟练运用乘法公式进行计算．

8．现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图②的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________．

【答案】1：6

【分析】

先求出图②中阴影部分的面积，由此可求出图③中阴影部分的面积，再根据图③可得到a=3b，由此可求出图③中整个图形的面积，然后求出图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比．

【详解】

解：如图②种阴影部分的面积为（a+b）2-4ab=（a-b）2．

 如图③可知

 3a+3b=4a

 ∴a=3b

 ∴S阴影部分=（3b-b）2=4b2;

 ∴图③中S阴影部分=3×4b2=12b2;

 图③中整个图形的面积为：4a×（a+3b）=12b（3b+3b）=72b2；

 ∴图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为12b2：72b2=1：6．

 故答案为：1：6．

【点晴】

此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是：结合图形找出长与宽的数量关系．

9．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是__________．

【答案】a=2b

【分析】

如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系．

【详解】

如下图

则空白部分的面积+

化简得：

∵

∴

化简得：=0

∴a=2b

故答案为：a=2b．

【点睛】

本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积．

10．若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是_______．

【答案】±4x , 4x4

【分析】

根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q = ±4x; ②如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4.

【详解】

解：∵4x2 +1±4x = (2x±1)2

4x2+1+4x4 = (2x2+1)2;

∴加上的单项式可以是±4x , 4x4,中任意一个,

故答案为：±4x , 4x4.

【点睛】

本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.

三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

11．乘法公式的探究及应用．

数学活动课上，刘老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．

（1）观察图，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系____；

（2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片_____张．

（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：，，求的值：

②已知．求的值．

【答案】（1）；（2）3；（3）①11；②1

【分析】

（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，利用正方形的面积公式可得出S正方形＝（a+b）2；方法2：图2也可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出S正方形＝a2+2ab+b2；由图2中的图形面积不变，可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2；

（2）把括号打开，根据各项的系数就可判断卡片的张数；

（3）①由a+b＝6可得出（a+b）2＝36，将其和a2+b2＝14代入（a+b）2＝a2+2ab+b2中即可求出ab的值；

②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，再根据完全平方公式求解即可．

【详解】

解：（1）方法：图是边长为的正方形，

；

方法：图可看成个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为宽为的长方形的组合体，

．

．

故答案为：；

（2）∵，A卡片的面积为a2，B卡片的面积为b2，C卡片的面积为ab，根据各项系数可得，要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片张．

故答案为：．

（3）①，

，即，

又，

．

②设，则，，

，

，

，

，

，

，即．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：利用长方形、正方形的面积公式，找出结论；根据面积不变，找出（a+b）2＝a2+2ab+b2．

12．对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点，重合时，规定．设数轴上点表示的数为，点表示的数为．

（1）若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段，相对离散度是          ，线段，的相对离散度是          ；

（2）设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度为，求的值；

（3）数轴上点，都在点的右侧（其中点，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，相对离散度为，当时，直接写出点所表示的数的取值范围．

【答案】（1）；；（2）的值为或；（3）数的取值范围是．

【分析】

（1）根据题意，分别解出的中点，再将中点表示的数代入公式解题即可；

（2）设线段，的中点分别为，，分两种情况讨论，当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，根据题中计算公式，分别讨论与的大小关系，化简即可解题；

（3）设点表示的数为,点表示的数是，则，分别求得的中点为，的中点为，的中点为，设，分三种情况讨论，①当点均在之间时；②当点在左侧，点在右侧时；③当点均在的右侧时，分别解得与的值，再结合解题，舍去不符合题意的情况即可．

【详解】

解：（1），，，表示的数分别是，，，，

的中点为，的中点为，

的中点为，EH的中点为，此时两中点重合，

故答案为：，；

（2）设线段，的中点分别为，，

因为，，

所以点，在数轴上表示的数分别为，，

所以，

因为线段，的相对离散度，

所以，

由题意，可知点与点不能重合，

所以，即，

当点在点的左侧时，，

解这个方程，得；

当点在点的右侧时，，

，

解这个方程，得，

综上所述，的值为或．

（3）设点表示的数为,点表示的数是，则

的中点为，的中点为1，的中点为，设，

①当点均在之间时，

当时，，当且仅当时满足

此时不合题意；

②当点在左侧，点在右侧时，

，

当时，，

数轴上点，都在点的右侧

点，不重合

③当点均在的右侧时，与①同理，不符合题意，

综上所述，

所以数的取值范围是．

【点睛】

本题考查数轴，涉及绝对值的化简、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．

13．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．

解：因为a+b＝3，ab＝1

所以（a+b）2＝9，2ab＝2

所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2

得a2+b2＝7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；

（2）请直接写出下列问题答案：

①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝     ；

②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝     ．

（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．

【答案】（1）12；（2）①±3；②17；（3）．

【分析】

（1）根据例题可得（x+y）2-2xy=x2+y2，然后整体代入求值即可；

（2）①将（2a-b）2利用完全平方公式转化为（2a+b）2-8ab，然后再整体求出（2a-b）2，最后直接开平方即可解答；

②由完全平方公式将（4-x）2+（5-x）2转化为[（4-x）-（5-x）]2+2（4-x）（5-x），然后再整体代入求值即可；

（3）设AC=m，CF=n，可得m+n=6，m2+n2=18，求出mn即可．

【详解】

解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，

∴82﹣2xy＝40，

∴xy＝12

答：xy的值为12；

（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，2a+b＝5，ab＝2，

∴（2a﹣b）2＝52﹣8×2＝9，

∴2a﹣b＝±＝±3

故填：±3；

②根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可得，

∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x），

又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，

∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝（﹣1）2+2×8＝17

故填：17；

（3）设AC＝m，CF＝n，

∵AB＝6，

∴m+n＝6，

又∵S1+S2＝18，

∴m2+n2＝18，

由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，

∴62＝18+2mn，

∴mn＝9，

∴S阴影部分＝mn＝．

答：阴影部分的面积为．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式的运算法则，掌握数形结合思想和整体思想是解答本题的关键．

14．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．

这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等．

从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．

（1）根据材料规律，请直接写出的展开式；

（2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值；

（3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值．

【答案】（1）；

（2），=1或9；

（3）或

【分析】

（1）依据规律进行计算即可；

（2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解；

（3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与的关系联立阅读材料可求得的值．

【详解】

解：（1）；

（2）

∵

∴，即，可得，

∵，可得

当时，=

当时，=

（3）∵

整理得到

∵

设，，，

则 ，解得

∴

∴

∴当时，；

当时，；

∴或

【点睛】

本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数．