苏科版数学七年级下册同步拔高训练 第9章 整式乘法与因式分解 （一）（含答案解析）

这是一份苏科版数学七年级下册同步拔高训练 第9章 整式乘法与因式分解 （一）（含答案解析），共18页。
第9章《整式乘法与因式分解》测试卷（一）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．若，则等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020
【答案】C
【分析】
将变形为，，代入即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴




=2018．
故选：C
【点睛】
本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．
2．在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果．
【详解】
解：∵
，
，
∴



．
故选：B．
【点睛】
本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整式的运算法则．
3．化简的结果是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将3转换成的形式，再利用平方差公式求解即可．
【详解】







故答案为：A．
【点睛】
本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．
4．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是
A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1
【答案】B
【分析】
将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】
解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．
2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；

故选：B.
【点睛】
此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
5．我们规定一种运算：，其中都是有理数，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依据去括号和合并同类项法则，按照题目规定的运算规则进行计算.
【详解】
解：
=
=
=
=
故选A
【点睛】
本题目为规定新运算题，考查学生的阅读理解，迁移应用能力，读懂规定的运算规则是解答此题的关键.
6．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．
【详解】
解：
设2为a，3为b，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．
7．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.
【详解】

=（2-1）
=24n-1.
故选A.
【点睛】
本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.
8．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是（　 　）
A．201030 B．201010 C．301020 D．203010
【答案】B
【详解】
解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，
组成密码的数字应包括20，30，10，
所以组成的密码不可能是201010．
故选B．


二、填空题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
9．如图，有一个正六边形的点阵，层数由内向外第一层每边有两个点，第二层每边有三个点，依此类推，从射线开始，沿逆时针方向按顺序将每个点依次标上1，2，3，4，5，6，7，……用含的代数式表示：第层共有______个点、射线上第个数字是________．


【答案】
【分析】
先分别求出第1、2、3层的点的个数，再归纳类推出一般规律即可得；先分别求出射线OC上第1、2、3个数字，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
第1层共有的点的个数为6，
第2层共有的点的个数为，
第3层共有的点的个数为，
归纳类推得：第层共有的点的个数为；
射线OC上第1个数字为，
射线OC上第2个数字为，
射线OC上第3个数字为，
归纳类推得：射线OC上第n个数字为，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了用代数式表示图形的规律型问题、整式的乘法与加减法的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10．的值为_______．
【答案】
【分析】
设，利用平方差公式求出的值，由此即可得．
【详解】
设，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．
11．计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
【答案】264
【分析】
在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．
【详解】
原式＝
＝
＝
＝264﹣1+1
＝264；
故本题答案为264．
【点睛】
此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
12．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数，结合杨辉三角的理解完成以下问题：
（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中每一项的次数都是_______次；（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b2中每一项的次数都是_______次；那么（a＋b）n展开式中每一项的次数都是______次．
（2）写出（a＋b）4的展开式______________________________．
（3）写出（x＋1）5的展开式_________________________．
（4）拓展应用：计算（x＋1）5＋（x－1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为________________．
【答案】（1）2，3，n；（2）；（3）；（4）16
【分析】
（1）观察（a＋b）2展开式和（a＋b）3展开式中各项，即可得答案；
（2）根据展开式的系数规律，可知（a＋1）4的展开式的各项系数，按照a降幂b升幂排列，即可得解；
（3）与（2）同理可得；
（4）根据（3）的结果，再按杨辉三角，分别求得（x−1）6和（x＋1）7展开式中x5项的系数，几个系数相加即可得答案．
【详解】
解：（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中的项分别为：a2、2ab、b2，它们的次数都是2．
（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b3中的项分别为：a3、3a2b、3ab2、b3，它们的次数都是3，
故答案为：2；3；n；
（2）根据展开式系数规律可知（a＋1）4的展开式的各项系数分别为：
1，4，6，4，1，
按照a降幂、b升幂，可得：（a＋1）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
故答案为：a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；
（3）与（2）同理，（x＋1）5的展开式为：，
故填：；
（4）（x＋1）5的展开式x5项的系数为1；
按照杨辉三角可知（x−1）6＝x6＋6x5•（−1）＋…＋1
（x＋1）7＝x7＋7x6×1＋21x5×12＋…＋1
∴（x＋1）5＋（x−1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为：
1＋6×（−1）＋21＝16
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了杨辉三角在多项式展开式系数中的应用，明确杨辉三角的展开式的原理，是解题的关键．
13．已知，则______
【答案】9.
【分析】
观察发现，对的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.
【详解】
解：，

【点睛】
本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.
14．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．

【答案】．
【分析】
根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．
【详解】
解：由面积可得：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．
15．工人师傅按照“最优化处理”打包多个同一款式长方体纸盒，其“最优化处理”是指：每相邻的两个纸盒必须以完全一样的面对接，最后打包成一个表面积最小的长方体，已知长方体纸盒的长xcm、宽ycm、高zcm都为整数，且x＞y＞z＞1，x+z＝2y，x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，若将六个此款式纸盒按“最优化处理”打包，其表面积为_____cm2．
【答案】956
【分析】
根据x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439可得（x+1）（y+1）（z+1）＝440，再根据题意可得（x+1）+（z+1）＝2（y+1），进一步得到x+1＝11，y+1＝8，z+1＝5，解方程求得x，y，z，再根据最优化处理时，最大的表面被重叠，依此可求表面积．
【详解】
∵ x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，
∴ x+y+z+xy+xz+yz+xyz+1＝440，
∴（x+1）（y+1）（z+1）＝440，
∵ x+z＝2y，
∴（x+1）+（z+1）＝2（y+1），
∵ z+1≥3，y+1≥4，x+1≥5，
其中5+11＝2×8，
∴ x+1＝11，y+1＝8，z+1＝5，
解得x＝10，y＝7，z＝4，
最优化处理时，最大的表面被重叠，
表面积为（7×10×2+4×7×12+4×10×12＝956（cm2）．
故答案为：956．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解答的关键是认真分析已知，利用因式分解对方程变形，根据已知要求解决实际问题．
16．=_______．
【答案】
【分析】
先运用平方差公式对各括号内因式分解，然后寻找规律解答即可．
【详解】
解：
=
=
=
=
【点睛】
本题考查了实数的运算以及运用平方差公式因式分解，因式分解后观察发现数字间的规律是解答本题的关键．

三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn
（1）计算S2和S4
（2）已知a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),求S3并猜想Sn-2，Sn-1，Sn三者之间的数量关系（不需要证明）；
（3）若M=(S1+S2+S3+----S99)（S2+S3+----S100），N=（S1+S2+S3+----S100）（S2+S3+----S99）判断M，N的大小，并说明理由．
【答案】（1）S2＝3，S4＝7，（2）S3=4， Sn-2+Sn-1=Sn，理由见详解；（3）M＞N，理由见详解
【分析】
（1）根据完全平方公式以及变形公式，即可求解；
（2）根据a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，即可求出S3=4，由an-2+bn-2 +an-1+ bn-1结合a+b=1，ab=-1，可得Sn-2+Sn-1=Sn；
（3）设A= S1+S2+S3+----+S99，B= S2+S3+----+S100，利用作差法，即可判断M，N的大小．
【详解】
解：（1）S2＝a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝12−2×（−1）＝3，
S4＝a4＋b4＝（a2＋b2）2−2a2b2＝（a2＋b2）2−2（ab）2=32−2×（−1）2＝7，
（2）S3=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=1×（3+1）=4，
猜想：Sn-2+Sn-1=Sn，
理由如下：∵a+b=1，ab=-1，
∴an-2+bn-2 +an-1+ bn-1= an-2(1+a)+ bn-2(1+b)= an-2(-ab+a)+ bn-2(-ab+b)= an-1(1-b)+ bn-1(1-a)= an+bn，
∴Sn-2+Sn-1=Sn；
（3）∵S1=a+b，S100= a100+b100＞0，
设A= S1+S2+S3+----+S99，B= S2+S3+----+S100
∴M-N=AB-(A+ S100)(B- S100)
=AB-AB+(A-B) S100+ S100×S100
=(S1-S100) S100+ S100×S100
= S1 S100
= S100＞0，
∴M＞N．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是Sn−2＋Sn−1＝Sn．
18．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如图所示是该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出的部分

超出但不超出的部分

超出的部分

注：水费按月结算．
（1）填空：若某户居民2月份用水，则2月份应收水费______元；若该户居民3月份用水，则3月份应收水费______元；
（2）若该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为，水费12元；另外一部分用水量为______，此部分应收水费______元；则4月份总共应收水费______元．（用的整式表示并化简）
（3）若该户居民5月份用水，求该户居民5月份共交水费多少元？（用的整式表示并化简）
【答案】（1）8，20；（2），，；（3）该户居民5月份共交水费元
【分析】
（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可；
（2）根据a的范围，求出水费即可；
（3）根据表格中的收费标准，求出每段的水费即可；
【详解】
（1）解：（1）2月份用水，2×4＝8（元）；3月份用水，2×6+2×4=20（元），
故答案为：8 ，20；
（2）另外一部分用水量为： ，
此部分应收水费为：（元），
则4月份总共应收水费为：（元）
故答案为：，，；
（3）（元）
答：该户居民5月份共交水费元．
【点睛】
此题考查了整式的运算和分段计费问题，准确理解题意，能够列出每段费用并熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．已知，．
（1）求；
（2）若，求的值．
（3）若的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）列式计算即可得到答案；
（2）依据平方的非负性及绝对值的非负性求出x与y的值，代入（1）的结果中计算即可；
（3）将整理为5x+（5-7x）y+15，根据题意列得5-7x=0，解方程即可得到答案.
【详解】
（1）∵，，
∴==；
（2）∵，
∴，xy+1=0，
∴，xy=-1，
∴
=
=5（x+y）-7xy+15
=
=；
（3）∵的值与y的取值无关，
==5x+（5-7x）y+15，
∴5-7x=0，
解得.
【点睛】
此题考查整式的混合运算，已知式子的值求代数式的值，整式无关型题的解法.
20．已知为有理数，现规定一种新运算，满足．
求的值；
求的值；
，探索与两个式子是否相等，说明理由．
【答案】（1）8；（2）240；（3）不相等，理由见解析．
【分析】
（1）先根据新运算列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得；
（2）利用两次新运算进行转化，再计算即可得；
（3）先根据新运算列出运算式子，再计算整式的加减法与乘法即可得．
【详解】
（1），
，
；
（2），
，
，
，
，
；
（3）两个式子不相等，理由如下：
，
，
则，
，
，
，
因为，
所以，
所以与两个式子不相等．
【点睛】
本题考查了含乘方的有理数混合运算、整式的加减法与乘法，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键．
21．若（m＋48）2=654421，求（m＋38）（m＋58）的值．
【答案】．
【分析】
（m+38）与（m＋58）的算术平均数为（m+48）,故设，得x2=654421，把所求关于m的代数式换元成关于x的代数式，即可用平方差公式进行简便运算．
【详解】
解：设，则，m=x-48，
把m=x-48代入（m＋38）（m＋58）中得
原式


．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用平方差公式进行简便运算．设（m+38）与（m＋58）的算术平均数为x然后换元是解决此题的关键．本题运用的平均数换元的思想在进行有关代数式的变形中常常用到．
22．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（，是整数）的形式______．
（2）若可配方成（，为常数），则的值______．
探究问题：
（1）已知，则的值______．
（2）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值．
【答案】解决问题：（1）；（2）2；探究问题：（1）；（2）；拓展结论：4
【分析】
解决问题：（1）29可以写成5的平方加上2的平方；
（2）只要再加上4就可以凑成完全平方的形式，所以把5分成4和1；
探究问题：（1）把式子左边凑成两个完全平方式，利用平方式的非负性求出x和y的值；
（2）同（1）的方法把式子先凑成两个完全平方式加上一个常数项的形式，令常数项为零，那么S就是“完美数”；
拓展结论：根据所给的式子，通过移项得到，对式子右边进行配方，求出最小值．
【详解】
解决问题：（1）；
（2），
，，
∴；
探究问题：（1），
，
，
，，
∴；
（2），
若为完美数，，；
拓展结论：，
，
，
当时，取最小值为4．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是能够灵活运用完全平方公式对式子进行变形求解．