苏科版数学七年级下册同步拔高训练 第9章 整式乘法与因式分解 （二）（含答案解析）

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第9章《整式乘法与因式分解》测试卷（二）

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．观察下列关于自然数的式子：
①；②；③…
根据上述规律，则第2019个式子的值是（ ）
A．8076 B．8077 C．－8077 D．－8076
【答案】C
【分析】
根据题目中的式子的特点，可以写出第2019个式子，从而可以得到第2019个式子的值，本题得以解决．
【详解】
解：∵①4×1232；②4×2252；③4×3272，……
∴第2019个式子的值是：4×20192（2×2019+1）2=8077，
故选：C．
【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出相应的式子的值．
2．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①； ②；
③若，则； ④若，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
直接利用新定义求解即可判断选项的正误．
【详解】
解：运算a⊗b=a（1-b），
所以2⊗（-2）=2（1+2）=6，所以①正确；
a⊗b=a（1-b），
b⊗a=b（1-a），∴②不正确；
若a⊗b=0，a⊗b=a（1-b）=0，可得a=0，或b=1．所以③不正确；
若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=a（1-a）+b（1-b）=a+b-（a2+b2）=-（a+b）2+2ab=2ab，所以④正确，正确的两个，
故选B．
【点睛】
本题考查了命题的真假的判断与应用，新定义的理解与应用，基本知识的考查．
3．已知，则等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】
把已知条件两边平方得出，据此得出答案
【详解】
解:，
，
即，
．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式,解题的关键在于乘积的二倍项不含字母．
4．已知，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据，可得：（m＋2）2＋（n−2）2＝0，据此求出m、n的值各是多少，然后把求出的m、n的值代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴m2＋n2＝4n−4m−8，
∴（m2＋4m＋4）＋（n2−4n＋4）＝0，
∴（m＋2）2＋（n−2）2＝0，
∴m＋2＝0，n−2＝0，
解得：m＝−2，n＝2，
∴
＝
＝-1．
故选择：C．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
5．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②； ③；④，你认为其中正确的有（ ）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据图中长方形的面积可表示为总长×总宽，也可表示成各矩形的面积和，
【详解】
解：表示该长方形面积的多项式
①（2a+b）（m+n）正确；
②2a（m+n）+b（m+n）正确；
③m（2a+b）+n（2a+b）正确；
④2am+2an+bm+bn正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多项式乘以多项式的应用，关键是正确掌握图形的面积表示方法．
6．若，则的值为（　　　）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案．
【详解】
解：，
∵，
∴m=-2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，能够灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
7．若，，则的值为（）
A．40 B．36 C．32 D．30
【答案】C
【分析】
根据a+b=6，ab=4，应用完全平方公式，求出a2+ab+b2的值为多少即可．
【详解】
解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+ab+b2
=（a+b）2-ab
=36-4
=32
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
8．若n满足（n-2011）2+（2012-n）2=1，则（2012-n）（n-2011）等于（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】
首先设，，然后根据完全平方公式得出的值，从而得出答案．
【详解】
设，，
∴，，
∴
∴，
即
故选:B．
【点睛】
本题主要考查的是完全平方公式的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是得出两个代数式的和为1，这是一个隐含条件．
9．如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
从图表中找出规律，并根据规律计算求解．
【详解】
解：由表1可知，第x行，第y列的数为xy，（x，y均为正整数），
由表2可知，第一列数依次为12=3×4,15=3×5，则a在第3行第6列，即a=3×6=18，
由表3可知，在第m行第m列，则上一行的数b在第（m-1）行第m列，所以，
由表4可知，设18在第x行第y列，则18=xy，35在第（x+2）行第（y+1）列，则，x，y均为整数，则x=3，y=6，c在第（x+1）行，第（y+1）列，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查探索与表达规律．规律就在表一中，所以学生平时要锻炼自己的总结能力，及逻辑能力．
10．已知： ， 则： 的值为( )
A．15 B．18 C．21 D．9
【答案】B
【分析】
把两边平方得出的值，再把变形代入即可得出答案
【详解】
解：∵，
∴，
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键


二、填空题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
11．在实数范围内分解因式：x4﹣9＝______．
【答案】（x﹣）（x+）（x2+3）
【分析】
根据平方差公式将x4﹣9写成（x2）2﹣32的形式，再利用平方差公式进行分解．
【详解】
解：x4﹣9
＝（x2）2﹣32
＝（x2﹣3）（x2+3）
＝（x﹣）（x+）（x2+3）．
故答案为：（x﹣）（x+）（x2+3）．
【点睛】
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
12．老师在黑板上写出三个算式：，，，王华同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，请你再写出两个具有上述规律的算式：_____________ ，__________；用文字写出上述算式反应的规律_________．
【答案】 任意两个奇数的平方差等于8的倍数
【分析】
观察三个算式，发现两个奇数的平方差等于8的倍数，据此解答即可求解．
【详解】
解：，，，
具有上述规律的算式：，；
用文字写出上述算式反应的规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
故答案为：；；任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
【点睛】
本题考查了根据式子寻找数学规律，认真分析各式的特点，找出了式子的规律是解题关键，一般寻找规律时从式子中不变的量和变化的量两个方面入手．
13．已知，则代数式的值为_________．
【答案】49
【分析】
先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案；
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：49．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
14．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）

根据前面各式规律，则的展开式中第4项是_________________．
【答案】20a3b3
【分析】
根据杨辉三角的规律，得到第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1，进而即可得到答案．
【详解】
根据杨辉三角的规律，可知：第六行的数字为：1，5，10，10，5，1，
第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1
∴=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
∴的展开式中第4项是：20a3b3．
故答案是：20a3b3．
【点睛】
本题主要考查数字规律，通过观察，找出杨辉三角的排列规律，是解题的关键．
15．若实数，且，，则_____________．
【答案】3
【分析】
先把两个等式相减，然后利用分解因式得(x+y-3)(x-y)=0，进而即可求解．
【详解】
∵，，
∴-=0，
∴(x+y)(x-y)-3(x-y)=0，
∴(x+y-3)(x-y)=0，
∵x≠y，
∴x+y-3=0，
∴3．
故答案是：3．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，熟练掌握因式分解，是解题的关键．
16．如果，则的值等于______．
【答案】
【分析】
直接将原式变形，化简然后利用完全平方公式得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
分子分母同除可得：，
∵，
∴原式．
【点睛】
此题主要考查了分式的值以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．
17．__________．
【答案】
【分析】
根据完全平方公式推出：得出a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：由完全平方公式知：
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查了完全平方公式的运用，考查学生对数据的处理能力．
18．下列有四个结论．其中正确的是__．
①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2；
④若4x＝a，8y＝b，则23y﹣2x可表示．
【答案】②④
【分析】
根据多项式乘多项式、幂的乘方、同底数幂除法、零指数幂、完全平方公式等逐一进行计算即可．
【详解】
解：①若（x﹣1）x+1＝1，则x是2或﹣1．故①错误；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，
∵（x﹣1）（x2+ax+1）＝x3+（a﹣1）x2+（1﹣a）x﹣1，
∴a﹣1＝0，解得a＝1，故②正确；
③若a+b＝10，ab＝2，
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣8＝92，
则a﹣b＝±2，故③错误；
④若4x＝a，8y＝b，则23y﹣2x＝（23）y÷（22）x＝8y÷4x＝．故④正确．
所以其中正确的是②④．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式、幂的乘方、同底数幂除法、零指数幂、完全平方公式等．熟练掌握相关公式是解题关键．

三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】，当时，．
【分析】
先计算整式混合运算，利用非负数求出的值，在代入求值即可．
【详解】
解：，
，
，
∵，，
∴，
当时，
原式．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算及化简求值，非负数性质，准确进行整式混合运算是解题关键．
20．（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为x，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）

【答案】（1）120；（2）2016；（3）2100
【分析】
（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，利用完全平方公式变形计算；
（2）设（2017-x）=c，（2015-x）=d，则（2017-x）2+（2015-x）2=c2+d2=4036，c-d=（2017-x）-（2015-x）=2，所以2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4036-22=4032，可得cd=2016，即可解答；
（3）根据正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，所以DE=（x-10），DG=x-20，得到（x-10）（x-20）=500，设（x-10）=a，（x-20）=b，从而得到ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，根据举例求出a2+b2，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，
则（30-x）（x-20）=mn=-10，m+n=（30-x）+（x-20）=10，
∴（30-x）2+（x-20）2=m2+n2=（m+n）2-2mn=（-10）2-2×（-10）=120；
（2）设（2017-x）=c，（2015-x）=d，
则（2017-x）2+（2015-x）2=c2+d2=4036，c-d=（2017-x）-（2015-x）=2，
∴2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4036-22=4032，
∴cd=2016，
∴（2017-x）（2015-x）=cd=2016．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，
∴DE=（x-10），DG=x-20，
∴（x-10）（x-20）=500，
设（x-10）=a，（x-20）=b，
∴ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=102+2×500=1100，
∴阴影部分的面积为：a2+b2+2ab=1100+2×500=2100．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化运用．
21．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
（1）如图1所示，甲同学从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿建线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求矩形的面积；
（2）乙同学用如图2所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图3所示的正方形．
①用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
②根据④中的结论计算：已知，求的值．

【答案】（1）6a+15；（2）①见解析；②2020
【分析】
（1）根据矩形的面积公式计算；
（2）①根据正方形的面积公式表示出阴影部分的面积，根据图形表示出阴影部分的面积，得到等式，根据完全平方公式证明结论；
②根据①的结论计算即可．
【详解】
解：（1）矩形的面积=（a+4）2-（a+1）2=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15；
（2）①如图2，阴影部分的面积=a2+b2，
如图3，阴影部分的面积=（a+b）2-2ab，
则得到等式a2+b2=（a+b）2-2ab，
证明：（a+b）2-2ab=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2；
②（2020-m）2+（m-2018）2
=（2020-m+m-2018）2-2×（m-2018）（2020-m）
=4+1008×2
=2020．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式、列代数式，根据正方形的面积公式、结合图形正确列出代数式是解题的关键．
22．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为，．
（1）请比较和的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．

【答案】（1）；（2）4+24m+36．
【分析】
（1）先计算两个长方形的面积，再利用作差法比较它们面积的大小；
（2）先计算两个长方形的周长，再计算该正方形的边长和面积．
【详解】
解：（1）＝（m+1）（m+5）
＝+6m+5，
＝（m+2）（m+4）
＝+6m+8，
∵－
＝+6m+5﹣（+6m+8）
＝+6m+5﹣﹣6m﹣8
＝﹣3＜0，
∴．
即甲的面积小于乙的面积；

（2）甲乙两个长方形的周长和为：
2（m+1+m+5+m+4+m+2）
＝8m+24，
正方形的边长为：（8m+24）÷4
＝2m+6．
该正方形的面积为：
＝4+24m+36．
答：该正方形的面积为：4+24m+36．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，作差法比较大小，完全平方公式的展开，熟练掌握矩形，正方形的性质，灵活使用作差法，完全平方公式是解题的关键．
23．阅读材料：若，求x，y的值．
解：∵
∴
∴
∴，
∴
根据上述材料，解答下列问题：
（1），求的值；
（2），，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）将方程的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求得的值，最后代入即可解题；
（2）由整理得，，代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后由偶次方的非负性解题即可
【详解】
解：（1）∵
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
∵

∴
∴
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】
本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．认真观察下面的算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
算式①
算式②
算式③
算式④
…
（1）请你再写出两个符合上述规律的算式：
① ___________；
② __________．
（2）请用含a，b的等式表示上述规律，并证明你发现的规律．
（3）利用你发现的规律计算及的值．
【答案】（1）81×89=7209，34×36=1224；（答案不唯一）；（2），证明见解析；（3）4221；9025
【分析】
（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；
（3）根据所得规律进行计算即可．
【详解】
解：(1) 81×89=7209
34×36=1224；
故答案为：81×89=7209，34×36=1224；（答案不唯一）
（2）设十位上的数字为a，个位上的数字为b，则上述规律可表示为：

证明：∵（10a+b）[10a+﹙10-b﹚]
=（10a+b）×10a+（10a+b）×﹙10-b﹚
=
=100a﹙a+1﹚+b﹙10-b﹚
∴左边等于右边
∴成立．
（3）63×67=4221

【点睛】
此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．