初中数学苏科版七年级下册第10章 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组巩固练习

10.3  解二元一次方程组（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．已知方程组，则的值为（    ）

A．-1 B．0 C．2 D．-3

【答案】D

【分析】

先分别利用加、减法求出x＋y与x−y的值，原式分解后代入计算即可求出值．

【详解】

解：，

①＋②得：，即，

①−②得：，

．

故选：D．

【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，重点培养学生整体思想的数学中的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法及步骤是解题的关键．

2．若和的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为（    ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】C

【分析】

由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又由∠A比∠B的2倍少30°，即可求得∠B的度数．

【详解】

解：∵∠A和∠B的两边分别平行，

∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，

∵∠A比∠B的2倍少30°，

即∠A＝2∠B−30°，

∴∠B＝30°或∠B＝70°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了平行线的性质与方程组的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，注意分类讨论思想的应用．

3．已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（    ）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】C

【分析】

根据题意及表格中的数据列出关系式，计算即可求出p的值．

【详解】

解：根据题意得：，

整理②得：③

将①代入③，得：

故选：C．

【点睛】

此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键．

4．已知方程组与有相同的解，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意可把原来两个方程组变为和，然后分别求解即可．

【详解】

解：由方程组与有相同的解，可把原来两个方程组变为和，

∴由方程组可得：，

把代入方程组可得：；

故选D．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．

5．已知关于x，y的方程组给出下列结论：

（1）当时，方程组的解也是方程的解；

（2）当时，；

（3）不论a取什么实数，的值始终不变；

（4）若则．

那么以上结论正确的是（    ）

A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）

【答案】D

【分析】

运用消元法解二元一次方程组，逐项分析每一小项中的条件是否成立，选出正确答案即可．

【详解】

解：（1）当时，方程组的第一个方程可写成，

即，与的解不可能同时满足，可得（1）错误；

（2）当时，，即可写成，

解得，，可得（2）正确；

（3）关于x，y的方程组

解得，

将代入得，

，化简后的值为4，可得（3）正确；

（4）关于x，y的方程组

解得，

将代入得，

，

整理得，，

解得，，可得（4）正确．

以上结论正确的是（2）（3）（4）．

故选：D．

【点睛】

本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，掌握消元法解二元一次方程组是解题关键．

6．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ）

A．4 B．1 C．49 D．无法确定

【答案】A

【分析】

首先解方程组求得方程组的解是：，则3＋m是10和15的公约数，且是正整数，据此即可求得m的值，求得代数式的值．

【详解】

解：两式相加得：（3＋m）x＝10，

解得：，

代入第二个方程得：，

当方程组有整数解时，3＋m是10和15的公约数．

∴3＋m＝±1或±5．

即m＝−2或−4或2或−8．

又∵m是正整数，

∴m＝2，

∴m2＝4．

故选：A．

【点睛】

本题考查了求方程组的解，正确理解3＋m是10和15的公约数是关键．

二、填空题

7．若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则整数_______．

【答案】0，3，4，5

【分析】

先解方程组，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．

【详解】

解：

由②得：x＝3y ③，

把③代入①得：6y−my＝6，

∴y＝，

∴x＝，

∵方程组的解是正整数，

∴6−m＞0，

∴m＜6，并且和是正整数，m是整数，

∴m的值为：0，3，4，5．

故答案是：0，3，4，5．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．

8．若方程组的解是，则方程组的解是______．

【答案】

【分析】

利用换元法，把化为，结合的解是，即可求解．

【详解】

解：方程组可变形为，

设=m，=n，

则，

由题意得：，即=3，=4，解得：，

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查解二元一次方程组，掌握整体换元思想，是解题的关键．

9．若与互为相反数，则=_______．

【答案】

【分析】

根据非负数的性质列二元一次方程组，解方程组求出的值，代入即可．

【详解】

解：∵与互为相反数，

∴+=0，

∴，

解得，，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了非负数的性质和解二元一次方程组，解题关键是根据非负数的性质列出二元一次方程组，准确的解方程组．

10．解关于、的方程组时，可以有①×2+②，消去未知数；也可以用①+②×5，消去未知数，则_______．

【答案】-62

【分析】

根据已知得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可．

【详解】

∵解关于x，y方程组可以用①×2+②，消去未知数x；也可以用①+②×5消去未知数y，

∴

即

解得：m=-23，n=-39，

-62

故答案为：-62．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．

三、解答题

11．若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，，∴2353不是“交替数”．

（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．

（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；

（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．

【答案】（1）1111，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．

【分析】

（1）根据新定义，即可得出结论；

（2）根据新定义，即可得出结论；

（3）根据题意知，求得和的值，再根据题意是6的倍数，结合，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．

【详解】

（1）根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，

最小的正整数是1，最大的正整数是9，

∵，，

∴最小的“交替数”是1111，最大的“交替数”是9999，

故答案为：1111，9999；

（2）是，理由如下：

∵，

∴2376是“交替数”；

（3）设这个“交替数”为，为正整数，

依题意得：，，且，

由，知，且，，

即或或，

解得：(舍去)，或或(舍去)，

∵，，，

∴取1或2或3，

当取1时，即，，，

∵，即，即，

∴，

解得：，

∴“交替数”是4224；

当取2时，即，，，

∵，即，即，

∴，

解得：，

∴“交替数”是4257；

当取3时，即，，，

∵，即，即，

∴，

解得：(不合题意，舍去)；

综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．

【点睛】

本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．

12．阅读以下内容：

已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．

三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：

甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；

乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；

丙同学：先解方程组，再求k的值．

（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；

（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．

【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．

【分析】

（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；

（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．

【详解】

解：（1）选择甲，，

①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，

解得：m＝，

②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，

解得：n＝，

代入m+n＝3得：＝3，

去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，

移项合并得：7k＝21，

解得：k＝3；

选择乙，

，

①+②得：5m+5n＝7k﹣6，

解得：m+n＝，

代入m+n＝3得：＝3，

去分母得：7k﹣6＝15，

解得：k＝3；

选择丙，

联立得：，

①×3﹣②得：m＝11，

把m＝11代入①得：n＝﹣8，

代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，

解得：k＝3；

（2）根据题意得：，

解得：，

检验符合题意，

则a和b的值分别为2，5．

【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

13．[阅读材料]

善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程变形：，

即，

把方程代入得：，

所以，

将代入得，

所以原方程组的解为．

[解决问题]

（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，

（2）已知x，y满足方程组，求的值．

【答案】（1）原方程组的解为；（2）

【分析】

（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；

（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．

【详解】

解：

将方程变形得:

把方程代入得:，

所以

将代入得，

所以原方程组的解为；

，

把方程变形，得到，

然后把代入，得，

∴，

∴；

【点睛】

本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．

14．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．

（1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为　   　；

（2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为　   　；

（3）由此请你解决下列问题：

若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值．

【答案】（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2．

【分析】

（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；

（3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值．

【详解】

解：（1）两个方程相加得，

∴，

把代入得，

∴方程组的解为：；

故答案是：；

（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，

由（1）可得：，

∴m+5＝1，n+3＝2，

∴m＝-4，n＝-1，

∴，

故答案是：；

(3)由方程组与有相同的解可得方程组，

解得，

把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，

解得m＝1，

再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，

解得n＝2，

把m＝1代入am＝3得：a＝3，

把n＝2代入bn＝4得：b＝2，

所以a＝3，b＝2．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．