初中数学苏科版七年级下册第10章 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组课时训练

10.3  解二元一次方程组（2）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有a的值的和为（    ）

A．6 B．9 C．12 D．16

【答案】C

【分析】

先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．

【详解】

解：对方程组，

②－①×2，得，∴，

∵关于x、y的方程组的解为整数，

∴，即a=﹣2、0、1、3、4、6，

∴满足条件的所有a的值的和为﹣2+0+1+3+4+6=12．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．

2．设的三边长分别为，其中，满足，则第三边的长度取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，再根据三角形的三边关系解答即可．

【详解】

解：∵，

，解得，

，即．

故选：．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系、非负数的性质和二元一次方程组的解法，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．

3．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

把k看做已知数求出x与y，代入已知方程计算即可求出k的值，从而求得的值．

【详解】

，

①-②得：，

把代入②得：，

把，代入，得：

解得：，

∴，，

∴．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

4．方程组的解的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．

【详解】

解：根据x、y的正负分4种情况讨论：

①当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；

②当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，

解得x＝3，y＝2＞0，

则方程组无解；

③当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，

此时方程组的解为；

④当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，

综上所述，方程组的解个数是1．

故选：A．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．若二元一次方程3x﹣y=﹣7，x+3y=1，y=kx+9有公共解，则k的取值为（    ）

A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4

【答案】D

【分析】

由题意建立关于x，y的方程组，求得x，y的值，再代入y=kx+9中，即可求得k的值．

【详解】

解：解方程组得：

，

代入得：，

解得：．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组，解决本题的关键是掌握解二元一次方程组的解法．

6．已知关于、的二元一次方程组给出下列结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解、均为整数)，其中正确的是　　

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②

【答案】A

【分析】

根据二元一次方程组的解法逐个判断即可．

【详解】

当时，方程组为，此时方程组无解

结论①正确

由题意，解方程组得：

把，代入得

解得，则结论②正确

解方程组得：

又为整数

、不能均为整数

结论③正确

综上，正确的结论是①②③

故选：A．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．

二、填空题

7．若关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是______．

【答案】

【分析】

利用已知方程组的解和换元法求解即可；

【详解】

设，，

则原方程组可化为，

∵关于，的方程组的解是，

∴，

∴，即，

∴关于，的方程组的解是；

故答案是．

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确分析计算是解题的关键．

8．已知关于x的方程a(x-3)+b(3x+1)=5(x+1)有无穷多个解，则a+b=______________．

【答案】1．

【分析】

根据题意移项、去括号、将原方程整理成关于x的方程，最后根据题干所给条件列出方程组得出结果即可．

【详解】

解：移项，得：a（x−3）＋b（3x＋1）−5（x＋1）＝0，

去括号，得：ax−3a＋3bx＋b−5x−5＝0，

整理关于x的方程，得：（a＋3b−5）x−（3a−b＋5）＝0，

∵方程有无穷多解，

∴  ，

解得： ．则a＋b＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查了解一元一次方程及解二元一次方程组，需要把握好题干条件，根据条件列出相应方程组．

9．已知关于x、y的方程组的解满足，则k的值为_______．

【答案】6

【分析】

先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程可得，再根据方程的解满足可得一个关于k的一元一次方程，解方程即可得．

【详解】

，

由②①得：，

由题意得：，

解得，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的特殊解法、解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．

10．若是正整数，则，则____________

【答案】7

【分析】

先把16移到等号右边，对等号左边的多项式分解因式，再根据是正整数，进行分类讨论，即可求解．

【详解】

∵，

∴，

∵x，y是正整数，

∴x+2y是正整数，

∴①，解得：（舍去）；

②，解得：（舍去）；

③，解得：（舍去）；

④，解得：（舍去）；

⑤，解得：，

∴x+y=6+1=7

故答案是：7

【点睛】

本题主要考查因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．

三、解答题

11．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为．例如693，，∴693是“银翔数”，

规定：（均为非零常数，为三位自然数）

已知；

（1）求的值及；

（2）已知两个十位数字相同的“银翔数”，，，且为整数，且加上各个数位上数字之和被16除余7，若，求的最小值．

【答案】（1），；；（2）8

【分析】

（1）应用与的定义表示出，，得到关于p和q的二元一次方程组，求解即可；

（2）根据m与各个数位上数字之和能被16除余7，且，得到为正整数，即可得到c的值，再根据得到x和b的二元一次方程组，即可求解．

【详解】

解：（1）∵，，

∴①，

∵，，

∴②，

联立①，②，解得，；

∵，，

∴；

（2）由题知，m与各个数位上数字之和能被16除余7，且，

∴

，结果为整数，

∵，

∴或32，

当时，c不是整数，故舍去，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴或或或，

∴或或或，

，，

，，

∴的最小值为8．

【点睛】

本题考查解二元一次方程组、新定义，理解题意是解题的关键．

12．如图，点C为线段AB上一点，AB=30，且AC - BC=10．

（1）求线段AC、BC的长．

（2）点P从A点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上向B点运动，设运动时间为t秒（），点D为线段PB的中点，点E为线段PC的中点，若CD=DE，试求点P运动时间t的值．

（3）若点D为直线AB上的一点，线段AD的中点为E，且，求线段AD的长．

【答案】（1）；（2）或；（3）的长为：或

【分析】

（1）由， 再两式相加，即可得到 再求解即可；

（2）以为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示对应的数，由CD=DE，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；

（3）以为原点画数轴，分三种情况讨论，当在的左侧，当在线段上，当在的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示 再利用建立方程，解方程即可得到答案．

【详解】

解：（1） AB=30，

①

又ACBC=10②，

①+②得：

（2）如图，以为原点画数轴，

则对应的数分别为：，

 点D为线段PB的中点，

对应的数为：

 点E为线段PC的中点，

对应的数为：

，

 CD=DE，

或

解得：或．

由，经检验：或都符合题意．

（3）如图，以为原点画数轴，设对应的数为，

当在的左侧时，

＜

舍去，

当在上时，

 线段AD的中点为E，

对应的数为： 此时在上，

当在的右侧时，如图，

同理：

或

解得：（舍去），

综上：的长为：或

【点睛】

本题考查的是线段的和差问题，动点问题，数轴及数轴上线段的中点对应的数，两点之间的距离，绝对值方程，一元一次方程的应用，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．

13．对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算．

如：，．

（1）填空：_____（用含，的代数式表示）；

（2）若且．

①求与的值；

②若，求的值．

【答案】（1）；（2）①；②

【分析】

（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果；

（2）①根据新运算规定和T（-2，0）=-2且T（5，-1）=6，得关于a、b的方程组，解方程组即可；

②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m-10，m）=T（m，3m-10）得关于m的方程，求解即可．

【详解】

解：（1）；

故答案为：；

（2）①∵且，

∴

解得：

②∵a=1，b=，且x+y≠0，

∴．

∴，

∵，

∴，

解得：．

【点睛】

本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键

14．新定义，若关于，的二元一次方程组①的解是，关于，的二元一次方程组②的解是，且满足，，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于，的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】

根据已知条件，先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m的取值范围便可．

【详解】

解：解方程组得 ：，

解方程组得 ：，

∵关于，的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，

因此有：且，

化简得：，即

解得：，
故答案为．

【点睛】

本题主要考查了新定义，二元一次方程组的解，解绝对值不等式，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解“模糊解”的定义是解题的关键．