初中数学苏科版七年级下册11.3 不等式的性质随堂练习题

11.3  不等式的性质（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．若，则下列结论不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据不等式的性质分别进行判断，即可得出结论．

【详解】

解：∵，

A、根据不等式的基本性质1，得，故此结论成立，不符合题意；

B、当时，，故此结论不一定成立，符合题意；

C、根据不等式的基本性质3，得，故此结论成立，不符合题意；

D、根据不等式的基本性质1，得，故此结论成立，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．

2．下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，且，则 D．若，则

【答案】C

【分析】

根据不等式的基本性质，逐项判断即可．

【详解】

解：∵若，则或，

∴选项A不符合题意；

∵若a＞b，c＞0时，ac＞bc，

∴选项B不符合题意；

∵若a＞b，且c＜d，则a-c＞b-d，

∴选项C符合题意；

∵x2＞y2，不一定x＞y，例如（-2）2＞（-1）2，但是-2＜-1，

∴选项D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

3．下列说法错误的是（    ）

A．若a＋3＞b＋3，则a＞b B．若，则a＞b

C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a＋3＞b＋2

【答案】C

【分析】

根据不等式的性质进行判断．

【详解】

解：A、若a+3>b+3，则a>b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B，，则a>b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a>b，则ac>bc，这里必须满足c为正数，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a>b，则a+3>b+2，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：C．

【点睛】

本题考查了不等式的性质，要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

4．随着新冠疫情的有效控制，经济和社会生产生活持续恢复正常水平，疫情防控进入常态化工厂的持续复工复产导致原材料价格下降，某口罩生产企业决定对某型号的防护口罩进行降价销售，现有三种方案：

（1）方案一：第一次降价，第二次降价；

（2）方案二：第一次降价，第二次降价；

（3）方案三：第一、二次均降价．

其中是不相等的正数．三种方案中降价最少的是（    ）

A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．都一样

【答案】C

【分析】

先列出方案一、二、三的降价后销售价，进行变形，方案一与二相同，，把方案三变形降价后销售价为：m（1-）2= m（1-P%）（1-q%）+m•-m•P%•q%，比较与的大小即可．

【详解】

解：设某口罩生产企业决定对某型号的防护口罩原销售价为m元

（1）方案一：第一次降价，第二次降价，

降价后销售价为：m（1-P%）（1-q%），

（2）方案二：第一次降价，第二次降价，

降价后销售价为：m（1-q%）（1-P%）= m（1-P%）（1-q%），

方案一与方案二降价相同，

（3）方案三：第一、二次均降价．

降价后销售价为：m（1-）2= m（1-P%）（1-q%）+m•-m•P%•q%，

∵，且p、q是不相等的正数，

∴m（1-）2＞m（1-P%）（1-q%），

∴方案三降价最少．

故选择：C．

【点睛】

本题考查列代数式，代数式的恒等变形，完全平方公式及公式的变形，掌握列代数式方法，代数式的恒等变形技巧，完全平方公式及公式的变形能力是解题关键．

5．如果、两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意可得a、b的大小关系和符号关系，从而根据不等式的基本性质和有理数乘除法的符号法则可以得到正确解答．

【详解】

解：由题意可得：a<b，-a>b，所以由不等式的性质可得：b-a>0，a+b<0，故A、C错误；

又由题意可得a、b异号，所以B正确，D错误；

故选B ．

【点睛】

本题考查数轴的应用，利用数形结合的思想方法、不等式的性质和有理数乘除法的符号法则求解是解题关键．

6．代数式的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．

【详解】

代数式

∵

∴

即代数式

故选：A．

【点睛】

本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．

二、填空题

7．如果不等式的解集是，那么a必须满足___________．

【答案】

【分析】

根据两边同时除以a-2，不等号的方向改变，可得a-2＜0．

【详解】

解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1，

∴a-2＜0，

解得，a＜2．

故答案为：a＜2．

【点睛】

本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．

8．已知a，b满足，当且时，b的取值范围是_____．

【答案】或

【分析】

利用有理数的乘方：积的乘方公式即可计算．

【详解】

解：由，得，

∵且，

∴

∴或

故答案为：或．

【点睛】

此题主要考查积的乘方，有理数的乘方的运用，熟记有理数的乘方的公式是解题的关键．

9．若，且，以下结论：

①，；

②关于x的方程的解为；

③

④的值为0或2；

⑤在数轴上点A．B．C表示数a、b、c，若，则线段AB与线段BC的大小关系是．

其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．

【答案】②③⑤

【分析】

①根据a+b+c=0，且a＞b＞c推出a＞0，c＜0，即可判断；

②根据a+b+c=0求出a=-（b+c），又ax+b+c=0时ax=-（b+c），方程两边都除以a即可判断；

③根据a=-（b+c）两边平方即可判断；

④分为两种情况：当b＞0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出+++，求出结果，当b＜0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出+++，求出结果，即可判断；

⑤求出AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，根据b＜0利用不等式的性质即可判断．

【详解】

解：（1）∵a+b+c=0，且a＞b＞c，

∴a＞0，c＜0，

∴①错误；

∵a+b+c=0，a＞b＞c，

∴a＞0，a=-（b+c），

∵ax+b+c=0，

∴ax=-（b+c），

∴x=1，

∴②正确；

∵a=-（b+c），

∴两边平方得：a=（b+c），

∴③正确；

∵a＞0，c＜0，

∴分为两种情况：

当b＞0时，+++=+++=1+1+（-1）+（-1）=0；

当b＜0时，+++=+++=1+（-1）+（-1）+1=0；

∴④错误；

∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，

∴a＞0，c＜0，a=-b-c，

∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，

∵b＜0，

∴-3b＞0，

∴-3b+b-c＞b-c，

∴AB＞BC，

∴⑤正确； 即正确的结论有②③⑤．

故答案为：②③⑤．

【点睛】

本题考查了比较两线段的长，数轴，有理数的加法、除法、乘方，一元一次方程的解，绝对值等知识点的综合运用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

10．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________

【答案】10<L<16

【分析】

根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．

【详解】

设第三边长为x，

∵有两条边分别为3和5，

∴5-3<x<5+3,

解得2<x<8，

∴2+3+5<x+3+5<8+3+5，

∵周长L=x+3+5,

∴10<L<16,

故答案为: 10<L<16．

【点睛】

此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．

三、解答题

11．一个两位自然数m，满足各位数字之和小于等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“美丽数”．将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“巅峰数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“对决数”．记，例如：时，，，．

（1）判断368______（是/不是）36的“对决数”，计算______；

（2）已知两个“美丽数”，若是一个完全平方数，且，规定，求P的最小值．

【答案】（1）不是，；（2）

【分析】

（1）根据新定义分别求解当时的 从而可得答案；

（2）由题意可得：，，再分别求解 可得 再由 满足各位数字之和小于等于9，各位数字互不相同且均不为0，可得 结合是一个完全平方数，可得或或再分情况列方程，解方程求解的值，可得 同理：

结合，可得 再分类求解，可得的值，从而可得答案．

【详解】

解：（1）由题意得：

根据新定义可得：

的“对决数”是 不是

当时，

根据新定义可得：

故答案为：不是，

（2）由新定义可得：

满足各位数字之和小于等于9，各位数字互不相同且均不为0，

 ，

 当时，则时，的值最大，此时

当时，则时，的值最小，此时

 是一个完全平方数，

或或

或或，

当时，

当时，

当时，

没有符合题意的整数解，

或

同理：

 ，

当时，则

，

或或

或或

此时：的最小值为：

当时，则

，

或

或

此时：的最小值为：

综上：的最小值为：

【点睛】

本题考查的是新定义情境下的有理数的混合运算，二元一次方程组的整数解，整式的加减运算，不等式的基本性质，理解新定义的含义是解题的关键．

12．如图，已知有甲､乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为、．

（1）请比较与的大小：_____；

（2）若一个正方形与甲的周长相等．

①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；

②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数?若为常数，求出这个常数：如果不是，请说明理由；

（3）若满足条件的整数n有且只有8个，直接写出m的值．

【答案】（1）＜；（2）①m+4.5；②为常数，0.25；（3）m=8

【分析】

（1）根据矩形的面积公式计算即可；

（2）①根据矩形和正方形的周长公式即可得到结论；

②根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；

（3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．

【详解】

解：（1）图甲中长方形的面积S1=（m+5）（m+4）=m2+9m+20，

图乙中长方形的面积S2=（m+7）（m+3）=m2+10m+21，

∵S1-S2=-m-1，m为正整数，

∴-m-1＜0，

∴S1＜S2．

故答案为：＜；

（2）①2（m+5+m+4）÷4=m+4.5；

②S3-S1=（m+4.5）2-（m2+9m+20）=0.25，

故S3与S1的差（即S3-S1）是常数；

（3）由（1）得|S1-S2|=m+1，且m为正整数，

∵0＜n＜|S1-S2|，

∴0＜n＜m+1，

由题意得8＜m+1≤9，

解得：7＜m≤8，

∵m为正整数，

∴m=8．

【点睛】

本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式、长方形的性质、正方形的性质等知识．

13．一直关于的不等式两边都除以，得．

（1）求的取值范围；

（2）试化简．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）根据不等式的基本性质，得到关于a的不等式，即可求解；

（2）根据求绝对值的法则以及a的范围，即可得到答案．

【详解】

（1）∵ 关于的不等式两边都除以得,

∴ ,

∴ ；

由（1）得,

∴，,

∴.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质以及求绝对值的法则，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

14．已知A，B在数轴上分别表示数a，b．

(1)对照数轴填写下表：

(2)试用含a、b的式子表示A、B两点间的距离；

(3)结合数轴直接写出|x-1|＋|x-2|的最小值___,并写出此时x的取值范围_____________．

【答案】（1）填表见解析；（2）；（3）1，

【分析】

（1）结合题意，根据数轴的性质计算，即可得到答案；

（2）根据数轴的性质计算，即可得到答案；

（3）根据数轴的性质，分情况分析并计算，即可得到答案．

【详解】

（1）∵；；；

∴填表如下：

（2）结合（1）的结论，A、B两点间的距离表示为；

（3）当，且时

即时

；

当，且时

即

；

当，且时

即时

；

故最小值为：1，此时x的取值范围．

【点睛】

本题考查了数轴、绝对值、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、不等式的性质，从而完成求解．