数学七年级下册12.2 证明同步练习题

12.2  证明（2）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天．则x等于（  ）

A．7    B．8    C．9    D．10

【答案】C

【解析】

试题分析：首先假设出全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天，这样可以得出有关a，b，c，d的等式，进而可以求出未知数的值，进而得出答案．

解：设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天．

∵当下午下雨时上午是晴天，

∴全天下雨的天数是0，即a=0，

由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，

②+③﹣④得2d﹣a=4，

即d=2，故b=4，c=3，

∴x=a+b+c+d=9．

故选C．

点评：此题主要考查了推理论证的有关知识，由已知得出a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，是解决问题的关键，遇到类似问题应注意由文字问题应转化为方程问题解决．

2．用1，2，3，4共可以写成不同的四位数（  ）

A．4个    B．12个    C．18个    D．24个

【答案】D

【解析】

试题分析：当1作千位时，可得1234，1243，1324，1342，1423，1432，6个不同的四位数．同理可得其余3个数字当千位上的数字也会有6个不同的四位数，那么可以写成24个不同的四位数．

解：当1作千位上的数字时，四位数可写成1234，1243，1324，1342，1423，1432共6个；

同理，当2、3、4作千位上的数字时，也分别可写成6个不同的四位数．

因此用1、2、3、4共可写成的不同四位数的个数为4×6=24．故选D．

点评：解决本题应先找到确定一个数位上数的四位数的情况，进而得解．

3．你们曾经玩过“两人‘抢30’游戏”（游戏规则中规定每次每人只能说一个或两个数，谁先抢到30，谁得胜），若将“抢30”换成“抢20”．下列说法正确的个数是（  ）

（1）“抢20”游戏不公平；

（2）第一个报数人一开始报“1”，就掌握获胜的主动权；

（3）第一个报数人，一定能抢到20； 

（4）第二个报数人，一定能抢到20．

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】A

【解析】

试题分析：因为两人都可以说1个数或2个数，所以，甲只要保证从第二次开始所说的数与乙的数的个数的和是3，第一次所说的数的个数是20除以3的余数，即可一定抢到20．

解：∵20÷3=6…2，

∴只要是第一个人先说2个数，然后保证下一次所说的数的个数与第二个人所说的数的个数的和是3，就一定能抢到20；

所以，游戏不公平，偏向第一个人；

故选：A．

点评：本题考查了游戏的公平性，读懂题意，确定出甲从第二次开始保证与乙所说的数的个数的和是3是确定出第一次所说的数的关键．

4．某市初中12支排球队进行比赛，如果采用单循环赛制，一共举行几场比赛（  ）

A．11    B．12    C．66    D．72

【答案】C

【解析】

试题分析：一共有12支球队，每支队伍要比赛的场数为11场，因此共需比赛（12×11）场，由于采用单循环赛制，因此需将重复的比赛场数去掉，即比赛的场数为（12×11）÷2=66场．

解：由于采用单循环赛制，则一共举行的比赛场数为：（12×11）÷2=66（场）．故选C．

点评：解答本题的关键是理解单循环赛的规则，即：每两个队只比赛一场．

5．4个人进行游泳比赛，赛前A、B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是（  ）

A．A    B．B    C．C    D．D

【答案】A

【解析】

试题分析：首先考虑B和D，进而得出矛盾，再考虑A和C得出A预测错误．

解：先考虑B和D，如果B错，则B最后，D也错如果D错，则A第一，

B不是最后，C不是最后，D不是最后矛盾，则B和D都对；

再考虑A和C，如果C错，则A第一，B中间，D最后，C就对了，矛盾；

若A错，则C中间D最后，A中间B第一，成立所以A是错的．

故选：A．

点评：此题主要考查了推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．

6．有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒（  ）

A．30    B．27    C．24    D．21

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意利用天平，三次能找到这粒最轻的珠子，从特殊到一般，从少到多，平均分三堆，进行称量，有两种情况：判断较轻的珠子在哪一堆，再对此堆平分三分，重复以上步骤，最后可以求解．

解：若只有一粒重量轻的珠子，对于均衡的三组珠子（最少时一组一粒珠子）一定为下面两种情况：

（1）天平不平衡，此时重量轻的珠子存在于天平较轻的一侧；

（2）天平平衡，此时重量轻的珠子存在于不在天平上的一组，对于均衡的三组珠子，轻珠子存在于其中一组里面，无论是天平平衡还是不平衡，都可以检验出来，最后一次，最多是三粒珠子，以此向上类推，构成等比数列，公比为3，可得最多为：33=27粒

故选：B．

点评：此题主要考查了推理与论证，得出最后一次，最多是三粒珠子是解题关键．

二、填空题

7．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第二局的输者是________。

【答案】丙

【解析】由题意，知：由丙当了3次裁判知有三场比赛是甲乙比赛，丙当裁判，且这三场比赛分别是第一局，第三局，第五局：

第一局：甲VS乙，丙当裁判；

第三局：甲VS乙，丙当裁判；

第五局：甲VS乙，丙当裁判；

由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙。

故答案是：丙。

8．对于命题“一个三角形中至多有一个钝角”，如果用反证法，应先假设____________．

【答案】一个三角形中至少有两个钝角（或一个三角形中钝角有两个或三个）

【分析】

反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行解答．

【详解】

解：用反证法证明“三角形中至多有一个钝角”时，应先假设一个三角形的三个内角中，有两个或三个钝角，即一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．

故答案为：一个三角形中至少有两个钝角（或一个三角形中钝角有两个或三个）

【点睛】

本题考查反证法．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．

三、解答题

9．如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．

【答案】见解析.

【解析】

分析：依据题意，一共能组成2个命题，它们是：题设：DE//BC，∠1=∠2，结论：∠B=∠C；题设：DE//BC，∠B=∠C，结论：∠1=∠2；可根据“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”来写出证明过程即可．

详解：已知,DE∥BC，∠1＝∠2.

求证：∠B＝∠C.

证明：∵DE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.

又∵∠1＝∠2，

∴∠B＝∠C.

点睛：本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

10．求证:对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：根据题设与结论画出符合条件的图形，根据图形写出已知、求证，然后进行证明即可.

试题解析：已知：如图，直线AB与CD交于点O．

求证：∠1＝∠2．已知:如图，

证明：∵AB、CD相交于O(已知)，

∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(邻补角的定义)，

∴∠1＝∠2(同角的补角相等).

11．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.

【答案】见解析

【解析】

试题分析：可以有①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC,得到 又BE∥CF，则∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC−∠EBC=∠DCB−∠FCB，即有∠1=∠2．

试题解析：已知：如图,AB⊥BC、CD⊥BC,BE∥CF.

求证：∠1=∠2.

证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，

∴∠ABC=∠DCB，

又∵BE∥CF，

∴∠EBC=∠FCB，

∴∠ABC−∠EBC=∠DCB−∠FCB，

∴∠1=∠2.

12．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．

【答案】是真命题，证明见解析

【解析】

试题分析：如图, AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，先根据平行线的性质得∠AEF=∠DFE，根据角平分线定义得到则∠1=∠2，

然后根据平行线的判定可判断 EM∥FN，于是可判断“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．

试题解析：命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．

证明如下：如图, AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，

∵AB∥CD，

∴∠AEF=∠DFE，

∵EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，

∴∠1=∠2，

∴EM∥FN，

即两直线平行，内错角的平分线互相平行.

13．求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．

【答案】详见解析.

【解析】

试题分析：根据题意画出图形，再根据平行线的性质即可得出结论．

试题解析：已知：如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别交于M，H，MN平分∠BMH，GH平分∠CHM．

求证：MN∥GH．
证明：∵MN平分∠BMH，GH平分∠CHM．

∵AB∥CD，

∴∠1=∠2，
∴MN∥GH．

点睛：平行线的性质：两直线平行，内错角相等.

14．已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线．

(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）；

(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”，

已知：如图，_____________________________．

求证：________.

证明：____________________.

【答案】详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用图示：根据平行线的性质，证明“两直线平行，内错角相等”的过程解答；
（2）根据“两直线a∥b，判定同位角∠1=∠3”，然后由对顶角∠3=∠2及等量代换证得

∠1=∠2．

试题解析：

(1)①②；(2)已知：a∥b，直线a、b被直线c所截．

求证：∠1=∠2．

证明：∵a∥b，∴∠1=∠3．

∵∠3 =∠2，∴∠1 =∠2.