初中数学苏科版七年级下册12.3 互逆命题当堂检测题

12.3  互逆命题

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．

【详解】

解：①对顶角相等的逆命题是相等的解是对顶角，是假命题；

②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补是真命题；

③全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；

④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题，

其中逆命题是真命题的有2个，

故选：B

【点睛】

此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

2．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）

A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等

C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等

【答案】B

【分析】

先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可．

【详解】

解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；

B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；

C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；

D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．

故选：B．

【点睛】

此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

3．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（　　）

A．平行四边形的两组对边分别平行

B．矩形的对角线相等

C．四边相等的四边形是菱形

D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和

【答案】B

【分析】

分别判断该命题的原命题和逆命题后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；

B、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；

C、四边相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；

D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查的是命题和定理的知识，正确的写出它的逆命题是解题的关键．

4．下列定理，没有逆定理的是（    ）

A．两直线平行，同旁内角互补 B．两个全等三角形的对应角相等

C．等角对等边 D．两内角相等的三角形是等腰三角形

【答案】B

【分析】

先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．

【详解】

解：A、其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；
B、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；

C、其逆命题是“等边对等角”，正确，所以有逆定理；
D、其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．
故选：B．

【点睛】

本题考查的是命题与逆命题，其中用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题又叫定理.

5．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设(   )

A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角

B．四边形中所有内角都是锐角

C．四边形的每一个内角都是钝角或直角

D．四边形中所有内角都是直角

【答案】B

【分析】

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法.

【详解】

假设命题中的结论不成立，即命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”不成立，即“四边形中的四个角都不是钝角或直角”，即“四边形中的四个角都是锐角”故选B.

【点睛】

本题考查反证法，要注意命题“至少有一个是”不成立，对应的命题应为“都不是”.

6．已知下列命题：

①若a＝b，则a2＝b2；

②若x＞0，则|x|＝x；

③三角形是由三条线段组成的图形；

④全等三角形的对应边相等．

其中原命题与逆命题均为真命题的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】

根据真假命题的定义，逐个选项进行分析即可得出答案．

【详解】

①若a=b，则a2=b2，其逆命题为若a2=b2，则a=b，故本选项错误，

②若x＞0，则|x|=x，其逆命题为若|x|=x，则x＞0，故本选项错误，

③三角形是由三条线段组成的图形，由三条线段组成的图形不一定是三角形，故本选项错误，

④一组对边平行且不相等的四边形是梯形，其逆命题为若四边形是梯形，则它的对边平行且不相等，故本选项正确．

故选A．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，要求同学们能写出各命题的逆命题，并能通过推理判断其真假．

二、填空题

7．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_____，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．

【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    假   

【分析】

交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．

【详解】

解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，

故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．

【点睛】

本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．

8．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）．

【答案】假；

【分析】

将原命题的条件与结论对换位置，即可得到逆命题，然后判断真假．

【详解】

“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题是“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等”，

根据周长相等，无法判定三角形全等，故该逆命题是假命题，

故答案为：假．

【点睛】

本题考查逆命题与命题的判断，掌握原命题与逆命题的关系是解题的关键．

9．我们把三边长的比为3:4:5的三角形称为完全三角形，记命题A：“完全三角形是直角三角形”.若命题B是命题A的逆命题，请写出命题B：______________________；并写出一个例子(该例子能判断命题B是错误的)

【答案】直角三角形是完全三角形；如：等腰直角三角形，或三边分别为5,12,13 的三角形，或三边比为的三角形等.

【解析】

【分析】

根据完全三角形的定义和互逆命题的知识进行解答即可．

【详解】

解：命题B：直角三角形是完全三角形：：如：等腰直角三角形是直角三角形，但三边比是：1：1：，不是完全三角形；

三边分别为5,12,13 的三角形是直角三角形，但三边比是：, 不是完全三角形；

故答案为直角三角形是完全三角形，如：等腰直角三角形,

或三边分别为5,12,13 的三角形，或三边比为的三角形等.

【点睛】

此题考查了命题与定理，掌握完全三角形的定义和互逆命题是解题的关键；两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

10．命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____，成立吗_____．

【答案】如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；    不成立   

【分析】

把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题．

【详解】

解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”，如两个互为相反数的数平方相等，但这两个数不相等，故不成立．

故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等； 不成立．

【点睛】

要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．

三、解答题

11．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

把原命题的题设和结论部分交换得到其逆命题，然后根据三角形内角和定理证明逆命题．

【详解】

命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题为直角三角形有两角互余．

已知：△ABC中，∠C=90°．

求证：∠A+∠B=90°．

证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，

而∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

即∠A与∠B互余．

【点睛】

本题考查命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了逆命题．

12．把下列命题按要求进行改写．

命题①：若x，y为实数，且x2＋y2＝0，则x，y全为0；

命题②：两直线平行，同位角相等．

(1)交换命题的条件和结论；

(2)同时否定命题的条件和结论；

(3)交换命题的条件和结论后，再同时否定新命题的条件和结论．

【答案】命题①：详见解析；命题②：详见解析.

【解析】

【分析】

（1）若后面是条件,则后面是结论,交换即可,（2）等于的否定为不等于,全为0的否定为不全为0,（3）直接把第（2）问中的条件和结论交换即可.

【详解】

解：命题①：(1)若x，y为实数，且x，y全为0，则x2＋y2＝0；(2)若x，y为实数，且x2＋y2≠0，则x，y不全为0；(3)若x，y为实数，且x，y不全为0，则x2＋y2≠0

命题②：(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线不平行，同位角不相等；(3)同位角不相等，两直线不平行

【点睛】

本题考查了原命题,否命题,逆命题,逆否命题之间的转换,中等难度,掌握命题的否定是解题关键.

13．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：；

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．

【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【分析】

（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；

（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．

【详解】

（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，

∴AB∥CD，

∵∠2＝∠3，

∴CD∥EF，

∴AB∥EF，

∴∠B＋∠F＝180°；

（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【点睛】

本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．