苏科版数学七年级下册同步拔高训练 第11章 一元一次不等式 （一）（含答案解析）

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第11章《一元一次不等式》测试卷（一）

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知a≤2,b≥-4,c≤6，且，则（ ）
A． B． C．24 D．48
【答案】B
【分析】
由可得，而根据a≤2,b≥-4,c≤6，可得，，由此确定a、b、c的取值，进而求解．
【详解】
解：∵，
∴，
又∵a≤2,b≥-4,c≤6，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴．
故选B．
【点睛】
本题综合考查了不等式性质和代数式求值；解题关键是根据a、b、c的取值范围求出a、b、c的值．
2．不等式组的解集是，那么m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可．
【详解】

解不等式①，得：
∵不等式组 的解集是
∴
故选择：A.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和不等式组的解集得出关于m的不等式是解此题的关键．
3．已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【详解】
解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得，
于是，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故选：C．
【点睛】
此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．
4．已知关于，的方程组，其中，下列结论：
①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】
将原方程求解，用a表示x和y，然后根据a的取值范围，求出x和y的取值范围，然后逐一判断每一项即可．
【详解】
由，解得
∵
∴，
①当时，解得，故①正确；
②不是方程组的解，故②错误；
③当时，解得，此时，故③正确；
④若，即，解得，故④正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和不等式的解法是本题的关键．
5．若不等式组的解 为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于和的方程，题目比较好，综合性比较强．
6．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如=1×4﹣2×3=﹣2，如果＞0，则x的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3
【答案】A
【分析】
根据二阶行列式直接列出关系式，解不等式即可；
【详解】
根据题意得：2x-(3-x)>0，
整理得：3x>3，
解得：x>1.
故选A.
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，根据二阶行列式列出不等式是解题关键.
7．若关于的不等式仅有四个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组有四个整数解即可得到关于的不等式组，求得的值．
【详解】
解：，
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集是：．
不等式组有四个整数解，则是1，2，3，4．
则．
解得：．
故选：．
【点睛】
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
8．若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】
根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集．
【详解】
解：∵不等式组无解，
∴a＞b，
∴-a＜-b，
∴3-a＜3-b，
∴不等式组的解集是．
故选：C
【点睛】
本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b．


二、填空题
9．表示1－2a和6－2a的点在数轴上的位置如图所示，a的取值范围为________．

【答案】

【分析】
先由图中两点位置分别得出两个不等式，在原点右边的数大于0，左边的数小于0，联立这两个不等式求出不等式组的解集，再根据它们到原点的距离不同，列出关于绝对值的关系式，进一步求解即可．
【详解】
解：由图可知：
由得，
由得，
所以该不等式组的解集为，
因为右边的数离原点更远
所以
所以
解得
综上可得：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了学生对数轴的认识以及对不等式（组）的应用，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征，列出相应的不等式，再解不等式（组）即可，解题过程中需要学生理解绝对值的意义，牢记解不等式的步骤，并能正确求出公共解集．
10．四月下旬，世界卫生组织称中国已进入缓疫阶段，各地陆续发布开学通知．虽然疫情有所控制，但防控仍不可掉以轻心．重庆一中的教职工们在学校逐一检查、落实各项防疫措施，为迎接即将返校的初三学生做足准备．王老师用现金6820元为年级采购了额温枪和免洗洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量），若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为__________个．
【答案】39
【分析】
设额温枪的数量为x，消毒酒精的数量为y，剩余100元钞票的数量为a， 10元为为b，1元的c，根据题意列出方程组，然后分别代入可能的a和b，即可求得.
【详解】
设购买额温枪和免洗洗手液后剩余100元，10元，1元的钞票数量分别为a， b， c，
则a， b， c均为整数，且1≤b≤9， 1≤c≤9购买额温枪和免洗洗手液后可列方程：
125x + 55y+ 100a+ 10b+c= 6820，①
如果把购买额温枪和免洗洗手液的数量交换可得方程：
125y+55x+100b+10a+c=6820，②
①-②得：70x-70y+ 100a + 10b-100b-10a= 0
所以70(x- y) + 90(a-b)= 0，则7(x- y)= 9(b- a)，
因为a，b均为整数，且1≤b≤9，
所以b-a=7， x-y=9，
则y=x-9，b=9， a=2
或b=8， a= 1
或b=7，a=0，
当b=9， a= 2时，代入①得
125x+55(x-9)+200+90+c=6820，
180x +c= 6820- 290 + 495 = 7025，
则c= 7025- 180x， 1≤7025-180x≤9，
所以38.98≤x≤39.02， x为整数，
所以x= 39，
故购买额温枪的数量为39个，
当b=8， a= 1时，代入①得
125x+ 55(x- 9)+ 100+ 80+c= 6820
180x +c= 6820- 180+ 495 = 7135，
c= 7135- 180x， 1≤7135- 180x≤9，180x +c= 6820- 180 + 495 = 7135，
则c= 7135- 180x， 1≤7135- 180x≤9，所以39.59≤x≤39.63， x为整数，即这种情况不存在，
当b=7， a= 0时，代入①得
125x + 55(x-9)+ 70 +c= 6820，
180x +c= 6820-70 + 495 = 7245，
则c= 7245- 180x， 1≤7245- 180x≤9，
所以40.2≤x≤40.24，x为整数，即这种情况不存在，
综上所述，购买额温枪的数量为39个．
故答案为：39．
【点睛】
本题考查四元一次方程组与不等式的应用，找出题中数量关系，列出方程组，并整体得出两个未知数的方程是解题的关键，要注意钞票张数是整数．
11．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝___时，n取得最小值__．
【答案】72 5
【分析】
先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值．
【详解】
解：移项得，，
∵m、n为正整数，
∴，
∴m≥67.5，
若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数，
∴当m＝72时，n最小＝5，
故答案为：72；5．
【点睛】
本题考查了二元一次方程分正整数解，解一元一次不等式等知识，根据题意得到关于m的不等式并根据正整数解的定义确定m的值是解题关键．
12．为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品____________件．
【答案】320
【分析】
可设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，根据第一次三种纪念品总数量不超过1000件，列出方程组和不等式求解即可．
【详解】
解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，
则24x=29y-200=19z-370=m，
∵0＜m≤1000，
∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，
∵x，y、z均为正整数，
∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，
24x=29y-200化为：x=y-8+，
∴5y-8=24n（n为正整数），
∴5y=8+24n=8（1+3n），
∴y=8k（k为正整数），5k=3n+1，
∴7≤8k≤41，n=k+，
∴1≤k≤5，1≤2k-1≤9，
∵2k-1必为奇数且是3的整数倍．
∴2k-1=3或2k-1=9，
∴k=2或k=5，
当k=2时，y=16，x=11，z=33（舍）
∴k只能为5，
∴y=40，x=40，z=70．
∴8x=8×40=320．
答：第一次购进A种纪念品320件．
故答案为：320．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程组并能在给定约束条件求解不定方程的整数解．
13．当常数____时，式子的最小值是．
【答案】2或-8
【分析】
分类讨论当时和当时，再具体分类，最后去绝对值并利用原式的最小值为5即可求出m．
【详解】
分类讨论（1）当时，
①当时，原式．则；
②当时，原式；
③当时，原式，则．
∵原式的最小值为5，
∴，
∴．
（2）当时，
①当时，原式．则；
②当时，原式；
③当时，原式，则．
∵原式的最小值为5，
∴，
∴．
综上，m为2或-8．
故答案为：2或-8．
【点睛】
本题考查解不等式及去绝对值，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
14．若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】
要使不等式对一切数x都成立，则需小于等于的最小值，再分、、和四种情况，分别化简绝对值求出最小值即可得．
【详解】
要使不等式对一切数x都成立，则需小于等于的最小值，
由题意，分以下四种情况：
（1）当时，
，
此时；
（2）当时，
，
此时；
（3）当时，
，
此时；
（4）当时，
，
此时；
综上，的最小值为5，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了化简绝对值、一元一次不等式组等知识点，将问题转化为求的最小值是解题关键．

三、解答题
15．对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n）＝，如n＝5678，对调数字后得＝7856，所以F（n）＝＝134．
（1）直接写出F（2021）＝　 　；
（2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；
（3）若s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），当3F（t）－F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值．
【答案】（1）41；（2）见解析；（3）3816或3847或3829
【分析】
（1）根据题意列式计算即可；
（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0），然后根据题意列式计算即可证明；
（3）先求得F（s）＝10a＋b＋38，F（t）＝10b＋a＋13，进而可求得3F（t）－F（s）＝29b－7a＋1，再根据3F（t）－F（s）的值能被8整除，可得5b＋a＋1的值能被8整除，再根据1≤a≤5，5≤b≤9可得27≤5b＋a＋1≤51，进而可得5b＋a＋1＝32，40，48，由此可求得或或，最终即可求得满足条件的s的所有值．
【详解】
解：（1）F（2021）＝＝41，
故答案为：41；
（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0）
所以F（n）＝
＝
＝10a＋b＋10c＋d，
∵a、b、c、d为整数且a≠0，
∴10a＋b＋10c＋d为整数，
∴对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；
（3）∵s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），
∴F（s）＝
＝
＝10a＋b＋38，
F（t）＝
＝
＝10b＋a＋13，
∴3F（t）－F（s）＝3（10b＋a＋13）－（10a＋b＋38）
＝29b－7a＋1，
∵3F（t）－F（s）的值能被8整除，
∴29b－7a＋1的值能被8整除，
∴24b－8a＋5b＋a＋1的值能被8整除，
∴5b＋a＋1的值能被8整除，
∵1≤a≤5，5≤b≤9，
∴27≤5b＋a＋1≤51，
∵5b＋a＋1的值能被8整除，
∴5b＋a＋1＝32，40，48，
∴或或，
∴s＝3816或3847或3829．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用以及有理数的整除，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果是解决本题的关键．
16．材料一：一个整数能够被9整除，则它的各个数位上数字之和能被9整除；
材料二：我们把形如（其中且为整数）的五位正整数称为“对称凹数”，例如：86068、71017都是“对称凹数”．
（1）最小的“对称凹数”是___________，最大的“对称凹数”是___________；
（2）五位正整数都是“对称凹数”，若满足的同时，与之和仍构成一个新的“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被9整除，请求出“对称凹数”与．
【答案】（1）；（2）或或或
【分析】
（1）根据新定义结合且为整数，可直接得到答案；
（2）设为 为 且且为整数，且为整数，可得 由新“对称凹数”能被9整除，能被9整除，结合＞ 可得， 可得或 或，再分类讨论可得答案．
【详解】
解：（1）由新定义可得：且为整数，
所以“对称凹数”为最小时，

最小的“对称凹数”是
所以“对称凹数”为最大时，

最大的“对称凹数”是
故答案为：
（2）设为 为 且且为整数，且为整数，

新“对称凹数”能被9整除，
能被9整除，
能被9整除，
＞
，
又且为整数，且为整数，
或 或，
当时，
当时，则，不合题意舍去，
当时，则 不合题意舍去，
当时，则 符合题意，
此时：
当时，则 不合题意舍去，
当时，则
此时：
当时，则
此时：
当时，则
此时：
当时，则不合题意舍去，
当时，当时，
同理可得没有符合题意的解，
综上：或或或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的类二元一次方程的正整数解问题，不等式的基本性质，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
17．阅读理解：定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是它到点B的时距离的n（n为大于1的常数）倍，则称点C是（A，B）的n倍点，且当C是（A，B）的n倍点或（B，A）的n倍点时，我们也称C是A和B两点的n倍点．例如，在图1中，点C是（A，B）的2倍点，但点C不是（B，A）的2倍点．

（1）特值尝试．
①若，图1中，点________是（D，C）的2倍点．（填A或B）
②若，如图2，M，N为数轴上两个点，点M表示的数是，点N表示的数是4，数________表示的点是（M，N）的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点P从N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动t秒，若P恰好是M和N两点的n倍点，求所有符合条件的t的值．（用含n的式子表示）
（3）拓展应用：
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的M和N两点的所有n倍点P均处于点N的“可视距离”内，请直接写出n的取值范围．（不必写出解答过程）
【答案】（1）①B ；②或7；（2）或或；（3）
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可得出答案；
②根据新定义的概念列绝对值方程求解即可得出答案；
（2）设点P所表示的数为，再根据新定义的概念列方程求解即可；
（3）分，，三种情况分别表示出PN的值，再根据PN的范围列不等式组求解即可．
【详解】
（1）①由数轴可知，
点A表示的数为，点B表示的数为2，
点C表示的数为1，点D表示的数为0，
，，
，
数点A不是【D，C】的2倍点，
，，
，
∴点B是【D，C】的2倍点，
故答案为：B．
②若点C是点【M，N】的3倍点，
，
设点C表示的数为，
，，
，
即或，
解得或，
数或7表示的点是【M，N】的3倍点．
（2）设点P所表示的数为，
点P是M，N两点的倍点，
当点P是【M，N】的n倍点时，
，
，
或，
解得或，
，
，
当点P是【N，M】的n倍点时，，
，，
或，解得或，
符合条件的的值为或或．
（3），
当时，，
当时，，
当时，，
点P均在点N的可视点距离之内，

，解得，
的取值范围是．
【点睛】
本题考查了倍点的概念，解题的关键是掌握倍点的两种不同情况．
18．我校八年级举行“我的数学故事”演讲比赛，准备购买A，B两种套装书籍分别作为优胜奖和参与奖的奖品，已知A，B两种套装书籍每套数量及售价如下表根据比赛设奖情况，设共奖励了n本书籍，获得优胜奖的有x人．
类型
每套售价（元/套）
A种（3本装一套）
24
B种（2本装一套）
20
（1）当时
①获得参与奖的有______________人．（用含x的代数式表示）
②若学校决定购买本次书籍所需资金不能超过420元，则至少有几人获得优胜奖？
（2）若学校购买书籍所需资金恰好为540元，则n的最大值为_____________（直接写出答案）
【答案】（1）①；②至少有13人获得优胜奖；（2）66
【分析】
（1）①根据题意，建立优胜奖人数、参与奖人数和总书籍数的关系，经计算即可得到答案；
②根据题意，结合（1）①的结论，列一元一次不等式并求解，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，结合题意，得，根据等式关系，经计算，即可得到n的最大值．
【详解】
（1）①∵共奖励了n本书籍，获得优胜奖的有x人
∴获得参与奖的人数
∵
∴获得参与奖的人数
②根据题意得：
∴
∵
∴至少有13人获得优胜奖
（2）根据（1）的结论，得
∴
∴
∵
∴
当时，，不为整数，故不符合题意；
当时，，不为整数，故不符合题意；
当时，；
∴n的最大值为：66．
【点睛】
本题考查了代数式、一元一次不等式、二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、一元一次不等式、二元一次方程的性质，从而完成求解．
19．对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如：，．
（1）填空：________，________，________；
（2）若a，b都是整数，且和互为相反数，求代数式的值；
（3）若，求x的取值范围．
【答案】（1）9，，0；（2）；（3）或．
【分析】
（1）根据的定义即可得；
（2）先根据的定义可得、，再根据相反数的定义可得，从而可得，然后代入求值即可得；
（3）设，从而可得，再分三种情况，分别解绝对值方程求出k的值，然后根据的定义即可得．
【详解】
（1），，，
故答案为：9，，0；
（2）都是整数，
，
和互为相反数，
，即，
则，
，
，
；
（3）设，则，
由得：，
因此，分以下三种情况：
①当时，
，
解得，符合题设；
②当时，
，
即此时没有符合条件的k值；
③当时，
，
解得，符合题设；
综上，或，
即或，
则或．
【点睛】
本题考查了代数式求值、相反数、解绝对值方程、一元一次不等式组的解，较难的是题（3），利用换元法将替换为是解题关键．
20．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．
（1）已知．
①求的值；
②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；
（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式．
学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
【答案】（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得，
解得，
②由题意得，
解不等式①得p＞-1．
解不等式②得p≤，
∴-1＜p≤，
∵恰好有3个整数解，
∴2≤＜3．
∴42≤a＜54；
（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m=2n．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．