江苏省扬州中学2022-2023学年高三下学期3月双周练数学试题

江苏省扬州中学2022-2023学年度

高三数学双周练试卷

2023.3.1

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数：，则z在复平面内对应的点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（    ）

A.  B.  C.  D.

3．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“”的否定形式是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

4. 《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（    ）

A.  B.        C.  D.

5．某高中为促进学生的全面发展，秋季学期合唱团、朗诵会、脱口秀、街舞社、音乐社等五个社团面向1200名高一年级同学招新，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加音乐社社团的同学有15名，参加脱口秀社团的有20名，则（    ）

A．高一年级同学参加街舞社社团的同学有120名

B．高一年级参加这五个社团总人数占全年级人数的

C．高一年级同学参加这五个社团的总人数为200名

D．脱口秀社团的人数占这五个社团总人数的

6. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8．已知函数，两个等式

，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ）

A．17    B．16    C．15    D．13

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列命题中，正确的命题（    ）

A. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点

B. 将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变

C. 用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好

D. 若随机变量，且，则

10. 已知正数，满足，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

11.折纸是一种高雅的艺术活动.已知正方形纸片的边长为2，现将沿对角线旋转，记旋转过程中点的位置为点中点分别为，则（    ）

A.

B.最大为

C.旋转过程中，与平面BOP所成的角不变

D.旋转形成的几何体的体积是

12. 在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（    ）

A. 为等比数列 B. 为等差数列

C. 为递增数列 D.

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在的二项式展开式中的系数为90，则______.

14. 已知双曲线，若过点能做该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为______.

15. 在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为__________．

16. 已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为________；记分别是方向上的单位向量，且，，则（m，n为常数）的最小值为________．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出相应的文宇说明､证明过程或演算步骤.

17.（12分）在锐角中，角所对的边分别是，满足.

（1）求证：；

（2）求的取值范围.

18．（12分）已知正项数列，其前n项和，满足．

（1）求证：数列是等差数列，并求出的表达式；

（2）数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．

19. 三棱台的底面是正三角形，平面，，，，E是的中点，平面交平面于直线l．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行，北京也成为了第一个同时举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为推广普及冰雪运动，深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进行研究，得到如下图数据：

（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；

（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”．则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学滑行，转弯，停止三个动作达到“优秀”的概率分别为，且各个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

21. 已知函数.

（1）若，求实数的取值范围.

（2）求证：.

22．已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）①若，证明：；

②若，探究之间关系．

江苏省扬州中学高三数学双周练试卷

2023.3.1

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数：，则z在复平面内对应的点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．

【详解】，

故z在复平面内对应的点位于第二象限，

故选B．

【点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．

2. 设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可求出，再由即可求出.

【详解】，

由，得.

故选：B.

3．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“”的否定形式是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

答案：B

4. 《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合正切的二倍角公式进行求解即可.

【详解】由题意可知：，，

所以.

故选：A.

5．某高中为促进学生的全面发展，秋季学期合唱团、朗诵会、脱口秀、街舞社、音乐社等五个社团面向1200名高一年级同学招新，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加音乐社社团的同学有15名，参加脱口秀社团的有20名，则（    ）

A．高一年级同学参加街舞社社团的同学有120名

B．高一年级参加这五个社团总人数占全年级人数的

C．高一年级同学参加这五个社团的总人数为200名

D．脱口秀社团的人数占这五个社团总人数的

答案：D

6. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据点在抛物线上及抛物线的定义，利用圆的弦长及勾股定理即可求解

【详解】由题意可知，如图所示，

在抛物线上，则

易知，，由，

因为被直线截得的弦长为，则，

由，于是在中，

由解得：，所以．

故选：C.

7. 已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.

【详解】连接，，由，

可知：和是等边三角形，

设三棱锥外接球的球心为，

所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，

是等边三角形，为中点，

所以，又因为侧面底面，侧面底面，

所以底面，而底面，因此，所以是矩形,

和是边长为的等边三角形，

所以两个三角形的高，

在矩形中，，连接，

所以，

设过点的平面为，当时，

此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，

，

因此圆的半径为：，所以此时面积为，

当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，

所以截面的面积范围为.

故选：A．

8．已知函数，两个等式

，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ）

A．17    B．16    C．15    D．13

8．解析：，，的一个对称中心为

，的对称轴方程，

在上单调，

，故选C．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列命题中，正确的命题（    ）

A. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点

B. 将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变

C. 用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好

D. 若随机变量，且，则

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，利用回归直线的性质即可判断；

对于B，利用方差的性质即可判断；

对于C，利用相关指数的性质即可判断；

对于D，利用正态分布的对称性即可求解.

【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点，故A错误；

对于B，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变，故B正确；

对于C，用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好，故C错误；

对于D，因为随机变量，所以，故D正确.

故选：BD.

10. 已知正数，满足，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】构造函数，利用导数得出，由基本不等式判断A；由指数和对数的单调性以及不等式的性质判断BCD.

【详解】解：因为正数，满足，

所以，构造函数，，

令，恒成立，所以在上单调递增，

由复合函数的单调性可知在上单调递增，

所以在上单调递增，由，可得，

对于A，，所以，故A正确

对于B，由，可得，所以，故B正确

对于C，由，可得，则，故C错误

对于D，由，可得，，所以，所以，故D正确．

故选：BD．

11.折纸是一种高雅的艺术活动.已知正方形纸片的边长为2，现将沿对角线旋转，记旋转过程中点的位置为点中点分别为，则（    ）

A.

B.最大为

C.旋转过程中，与平面BOP所成的角不变

D.旋转形成的几何体的体积是

答案：AD

12. 在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（    ）

A. 为等比数列 B. 为等差数列

C. 为递增数列 D.

【答案】BD

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在的二项式展开式中的系数为90，则______.

【答案】

【解析】

【分析】利用展开式的通项，令求出，进而求解.

【详解】因为的二项式展开式的通项为，

令，解得：，所以，

又因为的二项式展开式中的系数为90，则，

所以，

故答案为：.

14. 已知双曲线，若过点能做该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为______.

【答案】

【解答】解：过能作两条切线说明该点在双曲线外部，且不在该双曲线渐近线上，

临界情况时，点在双曲线上，代入，可得，，

得．

当渐近线经过点时，综上，，

15. 在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】设，，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即弦所在直线的方程，由直线与圆相切，得，求出m的最大值.

【详解】设点，，，，

因为分别以点A，B为切点作圆的切线，．

设直线，的交点为，所以，则，

即，所以，因为，

所以，即是方程的解，

所以点在直线上，

同理可得在直线上，

所以弦所在直线的方程为，

因为直线与圆相切，所以，

解得，得，

即的最大值为．

故答案为：3.5

16. 已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为________；记分别是方向上的单位向量，且，，则（m，n为常数）的最小值为________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同，问题可转化为求平面上一点与的距离的最小值，即求到平面的距离得解.

【详解】在中，，所以，，

所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得，

所以与的方向相同或与的方向相同，

不妨取与的方向相同，

由平面向量基本定理可得必与共面，

在平面上取一点，故可设，

则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为.

故答案为：；

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出相应的文宇说明､证明过程或演算步骤.

17.（12分）

在锐角中，角所对的边分别是，满足.

（1）求证：；

（2）求的取值范围.

17.解（1）由

由余弦定理得

由正弦定理得：

又

都是锐角

（2）令

由（1）得

在锐角三角形中

令

在上单调递增

18．（12分）已知正项数列，其前n项和，满足．

（1）求证：数列是等差数列，并求出的表达式；

（2）数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．

(1);(2)不存在

19. 三棱台的底面是正三角形，平面，，，，E是的中点，平面交平面于直线l．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【19题答案】

【答案】（1）证明略

（2）

20．（12分）2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行，北京也成为了第一个同时举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为推广普及冰雪运动，深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进行研究，得到如下图数据：

（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；

（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”．则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学滑行，转弯，停止三个动作达到“优秀”的概率分别为，且各个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

21. 已知函数.

（1）若，求实数的取值范围.

（2）求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据已知条件得，进而得出，利用不等式的性质及构造函数，利用导数法求函数的最值即可求解；

（2）根据（1）的结论及已知条件，只需证当时，成立即可，转化成求函数的最值，利用不等式的性质构造函数及法求函数的最值即可求解.

【小问1详解】

因为，则，即，

反之当时，，

令，则，

设，由于在单调递增，且，

所以当时，，即，

当时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，即，所以.

【小问2详解】

由（1）可知：①

下面证明当时，②

等价于，设，

当时，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减,

所以，所以②式成立，

由①､②可得：，当时取到“”，

取有，，

所以，不等式成立.

22．已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）①若，证明：；

②若，探究之间关系．

22．解析：（1）由题意得：，因此，椭圆C的标准方程为

（2）①（解法一）

，即

又，即

，即

①（解法二）

，因此

①（解法三）证明：显然Q在椭圆内，Q为与的交点，，

得，又，故只需证明：

成立．

②（解法一）设（令）

，消去x得：，，，，，

设，（令），，消去x得：，

，，，

，

．

②（解法二），设，则，

．

于是

．