黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
2．已知一个平行四边形两邻边的长分别为6和10，那么它的周长为（    ）
A．60 B．32 C．30 D．16
3．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　)
A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5
5．已知：三角形的各边分别为6cm，8cm，10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为（　　）
A．24cm B．18cm C．14cm D．12cm
6．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（   ）
A．30 B．40 C．50 D．60
7．如图，有一根电线杆在离地面5米处的A点断裂，此时电线杆顶部C落在离电线杆底部B点12米远的地方，则此电线杆原来长度为（　　）米．

A．6 B．7 C．13 D．18
8．下列命题的逆命题成立的是(   )
A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．同旁内角互补，两直线平行 D．全等三角形的面积相等
9．如图，在中，，，交于点O，，则的长是（　　）

A． B．4 C． D．
10．如图，为平行四边形的对角线，于E，于F，相交于H，直线交线段的延长线于G，下面结论：①； ②； ③； ④；其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，斜边AB的长为_____．
12．等边三角形的边长为4，则其面积为______．
13．如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为_________________米．

14．如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是_____．

15．如图，已知，点C对应的数是，，那么数轴上点A所表示的数是_____．

16．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=_________．

17．（如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm．

18．等腰三角形的腰长为10，面积为30，则这个等腰三角形的底边长为 _____．
19．如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 _____．

20．在中，，，，则线段的长度为 _____．


三、解答题
21．先化简，再求值：，其中x=2+．
22．图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的面积均为1，请在下面的网格中按要求画图，使得每个图形的顶点均在小正方形的顶点上．

(1)在图1中，画一个等腰直角三角形，且面积等于5．
(2)在图2中，画一个有一个角是钝角的等腰三角形，且面积等于10．
23．如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距60海里，轮船沿东北方向匀速航行，到达位于灯塔B的北偏东l5°方向上的C处．

(1)求∠ACB的度数；
(2)求灯塔B到C处的距离．(结果保留根号)
24．在平行四边形中，，，垂足为E、F．

(1)求证：．
(2)连接，交于点M，交于点N，请直接写出图中所有的全等三角形．
25．哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？
（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？
26．在中，，点D为的中点，点E、F分别在边、上，且满足．

(1)如图1，当时，若，，则＝　 　；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，当时将沿翻折，边与交于点G，若，，求的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，将沿折叠，使点C落在对角线上的点E处．

(1)求点D的坐标；
(2)动点P从点B出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点O停止，设P运动时间为t，的面积为S，求出S与t的关系式，并写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点Q，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明原因．

参考答案：
1．D
【分析】根据勾股定理的逆定理或三角形三边关系定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵52＋42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、1＋2＝3，∴此组数据不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22＋32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵122＋52＝132，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．B
【分析】根据平行四边形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵平行四边形两邻边的长分别为6和10，
∴平行四边形的周长为：2×(6+10)=32，
故选：B．
【点睛】本题考标查平行四边形的周长，解题关键是熟悉平行四边形周长公式．
3．C
【分析】根据平行四边形的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：A、，不能判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、，不能判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、，能判定四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
D、，不能判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握和运用平行四边形的判定定理是解决本题的关键．
4．D
【详解】解：因为平行四边形的对角相等，∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角，
所以∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是7∶5∶7∶5，
故选：D
5．D
【分析】如图，根据中位线的性质得出、、的长，从而得出周长．
【详解】如图，∵D，E，F分别是的三边的中点，
∴，，，
∴的周长，
故选：D．

【点睛】本题考查中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键．
6．A
【分析】根据勾股定理先求出另外一条直角边，然后由三角形面积公式求解即可得．
【详解】解：根据勾股定理可得：
另一条直角边长为：，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
7．D
【分析】根据勾股定理先求，再将与加起来即可．
【详解】解：由题意可得：在中，米，米，
∴（米），
故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）．
答：此电线杆原来长度为18米．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．
8．C
【分析】根据实数平方的性质、角的性质、平行线的性质和三角形全等的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.该选项的逆命题是：如果它们的平方相等，那么这两个实数相等；
例如：，故本选项错误；
B.该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角；
本选项可直接判断，故本选项错误；
C.该选项的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补；
本选项由平行线的性质可判断，故本选项正确；
D.该选项的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形；
例如：直角三角形的两条直角边分别是3和4面积为6，而普通三角形以一边为底和这条边上的高分别是3和4面积同样是6，但这两个三角形不全等；故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数平方的性质、角的性质、平行线的性质和三角形全等的性质，解决此题的关键是掌握这些基本性质，即可快速解决这类题型．
9．B
【分析】根据，，求出的数值，然后根据平行四边形对角线互相平分，求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相关知识点有：的直角三角形性质，熟记平行四边形的性质是解题关键．
10．C
【分析】先证明为等腰直角三角形，得到，，即可判断①；根据同角的余角相等证明，再由平行四边形的性质得到，则，即可判断②；证明，得到，再由，推出，即可判断③；根据三角形外角的性质得到，再由即可判断④．
【详解】解：∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，故②正确；
在=和中
，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．2
【分析】首先证明CA＝CB＝2，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，

∵∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝CB＝2，
∴AB＝．
故答案为：2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
12．4
【分析】根据三线合一的性质根据勾股定理可以求出AD，根据AD、BC可以计算等边△ABC的面积，即可解题．
【详解】∵等边三角形中中线与高线重合，
∴D为BC的中点，故BD=BC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
则AD=，
∴等边△ABC的面积为BC•AD=．
故答案为 4．

【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形三线合一的性质，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求AD的值是解题的关键．
13．2
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴BD=OD-OB=8-6=2（米），
故答案为：2．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键．
14．20
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD的长度，再求▱ABCD的周长即可．
【详解】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵在▱ABCD中，ADBC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC−BE＝6−2＝4，
∴CD＝CE＝4，
∴▱ABCD的周长＝6＋6＋4＋4＝20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
15．
【分析】根据勾股定理得出的长，即可求出的长，又由点A在数轴的负半轴上可得出点A所表示的数．
【详解】解：由题图可知，，
∵，，
∴．
∵点A在数轴的负半轴上，
∴点A所表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴和勾股定理，能够熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．
16．6
【详解】解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；
在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，
若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，
故BF=x﹣4=6．
故答案为6．
【点评】考查了勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．
17．
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
【详解】
解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，
AB=cm；
如图2所示，AB=cm，
如图3所示，AB= cm，
∵
∴蚂蚁所行的最短路线为cm．
故答案为
【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
18．或
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得，根据面积可得，再利用勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，，是底边边上的高，

，，
在中，
由勾股定理得，
即，
，
，
，
，
即，
或（舍去）或或（舍去），
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，用含有的代数式表示出、的长是解决本题的关键．
19．2.5
【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长．
【详解】如图，延长交于点D．

∵，平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
∴N是的中点．
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案是：2.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
20．##2.2
【分析】作的平分线，交于点D，利用等腰三角形和相似三角形的判定与性质即可得出结论．
【详解】作的平分线，交于点D，如图，

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是作出适当的辅助线构造相似三角形．
21．，
【分析】先按分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再代入x的值按二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=，
当x=2+时，原式=．
【点睛】熟悉“分式混合运算的相关运算法则和二次根式的除法法则”是正确解答本题的关键.
22．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）先求出三角形的面积求出直角边长，再利用网格线的特征作图；
（2）先求出三角形的底边和高，再作图．
【详解】（1）如图所示：
由于三角形为等腰直角三角形，且面积等于5，
设两直角边为，
∴，
∴，
∴即为所求；

（2）如图所示：
由题意得：
，
∴，
令底为10，则高为2，
∴即为所求．
【点睛】本题考查了作图的设计，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．
23．（1）30°；（2）60海里．
【分析】（1）利用三角形内角和定理进行计算；
（2）过点B作AC的垂线，垂足为D．在△BDC中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）在△ABC中，∠CAB=45°，∠CBA=90°+15°=105°．则∠ACB=180°-45°-105°=30°，即∠ACB=30°；

（2）过点B作AC的垂线，垂足为D，依题意可得∠DAB=45°，∠DBA=45°，AB=60海里．
AD=BD=AB⋅sin45∘=60×.
在△BDC中，∠DBC=45°+15°=60°，∠BDC=90°，cos∠DBC==cos60°=．
∴BC=60（海里）．
答：灯塔B到C处的距离是60海里．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)；；；；

【分析】（1）先证明四边形DEBF是平行四边形，即可得出；
（2）根据题目所给的条件以及全等三角形的判定定理写出图中所有的全等的三角形即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
即；
（2）解：图中所有的全等的三角形有：；；；；．
理由如下：根据题目给的条件和第（1）题的解，得
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；．
∵，，
∴
在和中，
，
∴．
在和中，
，
∴
在和中，
．
∴．
在和中，
．
∴．
在和中，
．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定；熟记有关性质与判定定理是解决问题的关键．
25．（1）车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；（2）最多购进载重量为8吨的卡车为2辆．
【分析】（1）根据车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；
（2）利用车队需要一次运输残土166吨以上”得出不等式，解不等式求出最多购进载重量为8吨的卡车辆数即可．
【详解】（1）设车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，
根据题意得：
，
解得：
．
答：车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；
（2）设载重量为8吨的卡车购进辆，
依题意得：，
解得，
∵＞0且为整数，
∴最多购进载重量为8吨的卡车为2辆．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键．
26．(1)
(2)见解析
(3)28

【分析】（1）连接，证出是等边三角形，为直角三角形，然后根据线段长度即可求得．
（2）连接、，证出，根据线段之间的等量关系，在直角三角形中用勾股定理列式即可．
（3）延长至M，使，连接、，过E作交的延长线于点N，证出，为的直角三角形，然后代入线段数值计算即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图2，连接、，

∵，，点D是边的中点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴    ，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，  
∴．
∴
（3）解：如图3，

延长至M，使，连接、，过E作交的延长线于点N，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，  
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、的直角三角形、勾股定理等知识点，辅助线构造全等三角形是解题关键．
27．(1)
(2)
(3)存在，或或

【分析】（1）由翻折可知：，推出，，，设，在中，根据，构建方程求出即可解决问题；
（2）分两种情况当时，当时，分别求解即可解决问题；
（3）点有三种情况分别求解即可；
【详解】（1）解：如图，

的坐标，则，
在中，，则，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，解得，
故点；
（2）解：过点作于点，则，则，则，
∴，解得，故点的横坐标为，即，
正比例函数经过点


，即
，
①当点在段时，即，如下图，过点作于点，  

；
又，

②当点在段时，如下图，过点作于点，


又，

综上，；
（3）解：存在，理由：
如下图，
       
由（2）知，点，当时，则点，
而点，设点
①当为边时，
点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点，
即且，解得
或，
故点的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点公式得：且，解得，
综上点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似、面积的计算等，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．