湖南省长沙市一中双语中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份湖南省长沙市一中双语中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省长沙市一中双语中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（　　）
A．2023 B． C． D．
2．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．已知点，则P到y轴的距离为（　　）
A． B．4 C．3 D．
4．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展形式多样的活动，七、八、九年级共有50人参加书法学习，其中七年级的人数比八年级人数的2倍少1人，设八年级的人数为人，则九年级的人数为（    ）．
A． B． C． D．
5．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（    ）

A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（　　）
A．概率很小的事件是不可能事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率
7．在学校数学学科知识竞赛中，我班“”组的6个同学获得的分数分别为：95、97、97、96、98、95，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（    ）
A．众数为95 B．众数为97 C．平均数为96 D．极差为3
8．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，，则等于（ ）

A． B． C． D．
9．如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（   ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则下列说法中正确的个数是（　　）
①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．

A． B． C． D．

二、填空题
11．已知，则______．
12．已知，则x的取值范围是______；
13．关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值________．
14．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．

15．如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），那么扇形BAC的面积是_____．

16．如图，中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，则的度数为______．


三、解答题
17．计算：．
18．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
19．体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在竖直标杆上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为（即），能识别体温的最小张角为（即）

(1)当设备安装高度米时，求出图中的长度；（结果保留根号）
(2)为了达到良好的检测效果，该公司要求测温区的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度是多少？（结果保留1位小数，参考数据：）
20．为提高学生的综合素养，我校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为_______度；
(3)若我校共有学生2000人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是_______；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
21．如图，ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．

(1)求证：ACD∽BFD；
(2)当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
22．2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
23．如图，在平面直角坐标系中，已知的两条直角边、分别在y轴和x轴上，，，且．动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

(1)求A、B两点的坐标；
(2)当与相似时，求t的值；
(3)当时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

(1)如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；
(2)如图2，圆内接四边形中，，点E是的中点，连结交于点F，连结，，
①求证：是四边形的“相似对角线”；
②若的面积，求线段的长．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．

(1)求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；
(2)如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；
(3)如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．

参考答案：
1．D
【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是；
故选D．
【点睛】本题考查倒数．熟练掌握互为倒数的两数之积1，是解题的关键．
2．D
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法运算逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
3．C
【分析】根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．
【详解】解：，则点P到y轴的距离是．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．
4．C
【分析】用含x的代数式表示出七年级的人数，再用总人数减去七、八年级的人数即可．
【详解】解：由题意得：七年级参加书法学习的人数为：人，
则九年级参加书法学习的人数为：人，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
5．B
【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，即可判断．
【详解】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是明确左视图是从物体的左边观察得到的图形．
6．B
【分析】根据概率的意义、随机事件、中心对称的知识逐项分析即可解答．
【详解】解：A、概率很小的事件是随机事件，故此选项错误；
B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”这个事件是随机事件，故此选项错误；
C. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，故此选项错误；
D、只要试验的次数足够多，频率就无限接近于概率，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要查考了概率的意义、随机事件、中心对称等知识点，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
7．D
【分析】根据一组数据中出现次数最多的为众数，所有数据和除以数据的个数为平均数，最大数减最小数为极差，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两个数据各出现两次，众数为，选项错误，不符合题意；
B、两个数据各出现两次，众数为，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、极差为：，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平均数，众数，极差．熟练掌握平均数，众数，极差的计算方法，是解题的关键．注意，众数不唯一．
8．D
【分析】利用三角形的外角性质以及平行线的性质即可找出∠2=∠1+∠3，从而得解．
【详解】解：由图可知∠2=∠1+∠3，
∵∠1=20°，∠2=40°，
∴∠3=20°；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外交性质是解题的关键．．
9．B
【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．C
【分析】根据作图可知，是的角平分线，可判断①；由，可求出是含角的直角三角形，可判断②；根据线段垂直平分线的判定可判断③；根据30度角的性质可判断④．
【详解】解：①根据作图，可知是的平分线，故①正确；
②在中，，是的平分线，，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴点在的中垂线上，故③正确；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∴．故④不正确．
综上所述，正确的有①②③，
故选：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线，掌握直角三角形的性质，角平分线的判定是解题的关键．
11．##0.4
【分析】根据比例的性质可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．
【分析】试题分析：先根据完全平方公式对根号下的式子因式分解，再根据二次根式的性质判断．
【详解】∵，
∴，
∴ ，．
故答案为：
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握二次根式的性质：当 时， ，当 时，
13．2
【分析】将代入方程，结合一元二次方程，，进行求解即可．
【详解】解：∵x的一元二次方程有一个根是0，
∴，
解得：
∵，是一元二次方程，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及直接开方法解一元二次方程，是解题的关键．注意二次项的系数不为0．
14．##4.8
【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．
【详解】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
15．π
【分析】利用垂径定理的内容得出BF=CF，进而得出AD与半径的关系，从而得出△ABC为等边三角形，利用扇形面积公式求出即可.
【详解】做AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，做BD⊥AE，
假设AE＝x，图象与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），
∴OB＝DE＝1，AD＝x﹣1，
∵AC＝AB，AF⊥BC，
∴BF＝CF＝1，
∴AD＝BF＝1＝x﹣1，
解得：x＝2，
∴AB＝BC＝AC＝2，
△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴扇形BAC的面积是：．
故答案为：π．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出AD＝BF是解决问题的关键.
16．##60度
【分析】过A作轴于C，过B作轴于D，得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出与的比值，从而得到的值，即可得到的值
【详解】过A作轴于C，过B作轴于D，

则，
∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上,
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
17．1
【分析】先化简，再进行加减运算．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，开方运算，合并同类二次根式，是解题的关键．
18．(1)
(2)

【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴
∴，
解得：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
19．(1)的长度为米；
(2)最低安装高度是2.6米．

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解答即可；
（2）根据已知条件判断，再解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：，，米，
∴(米)；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴(米) ，
在中，∵，，
∴(米) ，
答：最低安装高度是2.6米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握题目中的等量关系．
20．(1)，图见解析
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）用组人数除以所占的百分比，求出总数，总数减去其他组的人数求出组人数，补全条形图即可；
（2）用组人数所占的百分比，求出圆心角的度数即可；
（3）用全校人数乘以样本中喜欢跳绳的学生所占的比例，即可得解；
（4）利用列表法进行求解即可．
【详解】（1）解：（名）；
∴本次共调查了名学生；
故答案为：，
组人数为：（名），补全条形图如下：

（2）解：；
∴C组所对应的扇形圆心角为度；
故答案为：；
（3）解：（人）；
∴估计该校喜欢跳绳的学生人数约是；
故答案为：；
（4）解：列表如下：

由表格可知，共有12种等可能的情况，其中刚好抽到1名男生与1名女生的情况有6种，
∴．
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)3

【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．
（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴，

∴BF=AC=3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
22．(1)25%
(2)当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元


【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据题目已知条件列出方程即可求解；
（2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据题目已知条件得出，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%；
（2）解：设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键．
23．(1)
(2)或
(3)存在，或或

【分析】（1）利用，，求出的长，即可得解；
（2）分和两种情况，进行讨论求解；
（3）分别以，为对角线，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：在，，
设，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，
∴，
∴；
①当时：，即：，

解得：；
②当时：，即：，

解得：；
综上：或；
（3）解：存在；
当时，，
∴，
∴
过点作轴于点，

则：，
∴，
∴，
设，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴；
当以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时：设，
①当为对角线时：，解得：，
即：；
②当为对角线时：，解得：，
即：；
③当为对角线时：，解得：，
即：；

综上：当点坐标为：或或时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质．熟练掌握并运用相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
24．(1)图见解析
(2)①证明见解析②

【分析】（1）根据勾股定理求出，，，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解，确定点位置作图即可；
（2）①证明，即可得证；②根据，得，过点作于点，易得，进而得到，即可得解．
【详解】（1）解：由图可知，，，，
∴，
∴，
∵四边形是以为“相似对角线”的四边形，
①当时，或，
∴或，
∴或
同理：当时，或；
作图如下：

（2）①证明：∵点E是的中点，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是四边形的“相似对角线”
②解：∵，
∴，
∴，
过点作于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆内接四边形，解直角三角形．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．
25．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣x+5
(2)圆心P点的坐标为（，）
(3)①四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；②当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为（，）

【分析】(1)根据A(5, 0)，B (6, 1)两点利用待定系数法求二次函数解析式；
(2)先求出直线AC解析式以及E的坐标，再根据⊙P是△OAE外接圆得圆心P必在弦OA 的垂直平分线上，设P(，t),由AE= EP求得t=，即可求得圆心P点的坐标为(,)；
(3)①如图，作BH⊥OA于H．根据点A、B、C的坐标可得∠OAE=∠OAF= 45°，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠OEF=∠OFE = 45°，∠EOF = 90°然后根据等角对等边可得OE= OF，再证明△EOC≌△FOA (SAS)，进而得S△EOC = S△FOA，再证明S四边形OEAF = S△COA， 即可说明四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；
②根据四边形OEAF的面积是定值，当△AEF的面积取得最大值时，△EOF的面积最小，当OE最小时，△EOF的面积最小，求得此时E的坐标即可．
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+5；
（2）当x＝0时， y＝x2﹣x+5；
∴C（0，5），
设直线AC：y＝kx+5，
将A（5，0）代入直线AC，
得0＝5k+5，
∴k＝﹣1，
∴直线AC：y＝﹣x+5，
∵E为线段AC上一点且横坐标为1，
∴E（1，4），
∵⊙P是△OAE外接圆，
∴圆心P必在弦OA的垂直平分线上，
设P（，t），
∵AE＝EP，
∴（5﹣）2+（﹣t）2＝（1﹣）2+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴圆心P点的坐标为（，）；
（3）①如图，过B作BH⊥x轴于H，
∵A（5，0），C（0，5），B（6，1），
∴OA＝OC，AH＝BH，
∴∠OAE＝45°，∠OAF＝∠BAH＝45°，
又∵∠OFE＝∠OAE，∠OEF＝∠OAF，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴OE＝OF，∠EOF＝180°﹣45°×2＝90°，即△OEF是直角三角形；
∴∠EOC＝∠FOA，
在△EOC与△FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA（SAS），
∴S△EOC＝S△FOA，
∴S四边形OEAF＝S△EOA+S△FOA
＝S△EOA+S△COE
＝S△COA＝OA•OC
＝，
∴四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；
②∵四边形OEAF的面积是定值，
∴当△AEF的面积取得最大值时，△EOF的面积最小，
当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，
∴CE＝AE，即E为AC中点，
∴E（，），
∴当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为E（，）．

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求三角形外接圆圆心，全等三角形的判定与性质，根据点A、B、 C的坐标证明出△OEF是直角三角形是解决此题的关键．