广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2021-2022学年九年级下学期第一次大测数学试卷（含答案）

这是一份广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2021-2022学年九年级下学期第一次大测数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2021-2022学年九年级下学期第一次大测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若，则（    ）
A．3 B． C． D．
2．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近189000000人，数据189000000可用科学记数法表示为（    ）．
A． B． C． D．
3．已知一组数据2，3，5，x，5，3有唯一的众数3，则x的值是（    ）
A．3 B．5 C．2 D．无法确定
4．某几何体的主视图如图所示，则它的左视图为（　　）

A． B． C． D．
5．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（    ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．若，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
7．下列分解因式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（    ）
A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4
C．0没有立方根 D．1的立方根是±1
9．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．
10．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△APB的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（　　）

A．3 B．2 C．6 D．8

二、填空题
11．计算：________．
12．如图，在⊙O中，，A、C之间的距离为4，则线段BD＝______．

13．若，则__________．
14．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____0（填“”，“”或“”）．

15．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的抛物为___．
16．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，于点F，连结EF，则EF的长为______．

17．水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部，若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分），若带子宽度为1，水管直径为4，则α的余弦值为_______.


三、解答题
18．计算：
19．如图，在平行四边形中，，．

(1)尺规作图：作的平分线交于点；
(2)在（1）所作图形中，求线段的长．
20．若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并判断不是这个方程的解．
21．如图，是直角三角形，点O是线段上的一点，以点O为圆心，为半径作圆．O交线段于点D，作线段的垂直平分线，交线段于点E，交线段于点F．

(1)若，求的度数；
(2)证明：是的切线．
22．某校为了加强同学们的安全意识，随机抽取部分同学进行了一次安全知识测试，按照测试成绩分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，绘制了如下不完整的统计图．

(1)参加测试的学生人数为 　 　，等级为优秀的学生的比例为 　 　；
(2)该校有600名学生，请估计全校安全意识较强（测试成绩能达到良好以上等级）的学生人数；
(3)成绩为优秀的甲、乙两位同学被选中与其他学生一起参加安全宣讲活动，该活动随机分为A，B，C三组．求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
23．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，A获利30元与B获利240元时的数量相等．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．在（1）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件B时，每件获利不变，若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．求每天制作二种手工艺品的人数及可获得的总利润W（元）的最大值．
24．如图，C为线段上一点，分别以、为边在的同侧作等边与等边，连接．

(1)如图1，当时，直接写出与的数量关系为___________；
(2)在（1）的条件下，点C关于直线的对称点为E，连接、，求证：平分；
(3)现将图1中绕点C顺时针旋转一定角度，如图2，点C关于直线的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
25．如图，已知抛物线 y＝x2+2x 的顶点为 A，直线 y＝x+2 与抛物线交于 B，C 两点．
（1）求 A，B，C 三点的坐标；
（2）作 CD⊥x 轴于点 D，求证：△ODC∽△ABC；
（3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．C
【分析】根据实数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知实数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】将用科学记数法表示为：，
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．A
【分析】根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可．
【详解】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次，“5”出现2次，“2”出现1次，
要使这组数据有唯一的众数3，因此x所表示的数一定是3．
故选：A．
【点睛】本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这这组数据的众数是正确判断的关键．
4．D
【分析】根据从左面看到的是大小两个同心圆即可得到答案．
【详解】解：由题意得从左面看到的图形是大小两个同心圆，且都是实线，
故选D．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数60°，计算即可．
【详解】解：边数＝360°÷60°＝6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，360°除以每一个外角的度数就等于正多边形的边数，需要熟练记忆．
6．D
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可得到答案．
【详解】选项A，在不等式x＞y两边都乘以-1，不等号的方向改变得，故选项A不正确；
选项B，在不等式x＞y两边都乘上，不等号的方向不变得，故选项B不正确；
选项C，在不等式x＞y两边都除以6，不等号的方向不变得，故选项C不正确；
选项D，在不等式x＞y两边都加以4，不等号的方向不变得，故选项D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的相关知识质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
7．C
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断即可．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
．，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题的关键是掌握因式分解的提公因式法和公式法．
8．A
【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可．
【详解】∵4的算术平方根是2，
∴A正确，符合题意；
∵0.16的平方根是±0.4，
∴B错误，不符合题意；
∵0的立方根是0，
∴C错误，不符合题意；
∵1的立方根是1，
∴D错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了平方根即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，立方根如果一个数的立方等于a，称这个数为a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
9．C
【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．
【详解】解：如图，过点C作 CT⊥AB 于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，

由题意可得AB垂直平分线段OK，
∴AO=AK，OH=HK=3，
∵OA=OK，
∴OA=OK=AK，
∴∠OAK=∠AOK=60°，
∴AH=OA×sin60°=6×=3，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AB=2AH=6，
∵OC+OH⩾CT，
∴CT⩽6+3=9，
∴CT的最大值为9，
∴△ABC的面积的最大值为=27，
故选：C.
【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．
10．C
【分析】根据点P的运动情况，结合函数图象可得，，考虑当P在CD上时，的面积不变，利用三角形面积公式可得，，结合勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：根据图象可知，，，
当P在CD上时，的面积不变，
∴，
∴，
∴，
又∵是直角三角形，
∴，
，
解得：或（舍去），
故选：C．
【点睛】题目主要考查点的运动与其函数图象，勾股定理解三角形等，理解题意，结合点的运动及其函数图象得出相关信息是解题关键．
11．
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是单项式除以单项式，熟练掌握单项式的运算法则是解本题的关键．
12．4
【分析】连接、，在同圆中等弧所对的圆心角相等，得到，进一步知道，从而得到．
【详解】解：连接、，如下图;

∵
∴
∴
即：
∴
又∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，牢记定理内容并能够数形结合是解题关键．
13．
【分析】对原式变形，将看为一个整体代入求解．
【详解】解：由，得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求代数式的值，将视为一个整体是解题的关键．
14．
【分析】先判断出的大小关系，进而判断出的符号．
【详解】解：由图可知：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号．解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定的大小关系．
15．
【分析】先化为顶点式，再根据二次函数的平移，“左加右减，上加下减”规律即可求解．
【详解】解：∵
则向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的解析式为：

即
新的抛物线解析式为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
16．
【分析】由D，E分别是边BC，AC的中点，等边三角形ABC的边长为4，证明 可得为等边三角形，再求解 再证明最后利用勾股定理可得答案.
【详解】解： D，E分别是边BC，AC的中点，等边三角形ABC的边长为4，

为等边三角形，

则





故答案为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“等边三角形的判定”是解本题的关键.
17．
【分析】使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为4π．根据锐角三角函数的定义即可求得α的余弦值．
【详解】解：∵水管直径为4，
∴水管的周长为4π，
∵带子宽度为1，
∴，
∴cos∠α=
故答案为：．

【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握三角函数的定义式是解题的关键．
18．-1
【分析】根据零指数幂定义、负整数指数幂定义分别化简，并代入三角函数值，计算乘方，最后计算加减法．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握运算法则及零指数幂定义、负整数指数幂定义、三角函数值、乘方的计算法则是解题的关键．
19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图，即可；
（2）根据平行四边形的性质，，，，根据等角对等边，即可．
【详解】（1）解：如图：
尺规作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，于点；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，延长点D与两弧交点的线段交于点．

（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的尺规作图，平行四边形的知识，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图的方法，平行四边形的性质．
20．，，是
【分析】把和代入，得到方程组，解出，的值；得到方程，把代入方程，即可验证．
【详解】∵和都是关于，的二元一次方程的解，
∴，
令，
由得，，解得：，
把代入式，得，解得：，
∴方程为：，
把代入方程得：左边；右边，
∴左边等于右边，
∴是这个方程的解．
【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法：代入消元法和加减消元法．
21．(1)
(2)见解析

【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质及，即可证得，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
；
（2）证明：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22．(1)40人；30%
(2)420人
(3)

【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后求出优秀的学生的比例即可；
（2）良好以上占比是70%，再利用样本代表总体的方法得出答案；
（3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．
【详解】（1）解：抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；
优秀人数的比例：12÷40＝30%；
故答案为：40人；30%；
（2）解∶良好以上占比是30%+40%＝70%，
所以全校安全意识较强（测试成绩能达到良好以上等级）的学生人数约：600×70%＝420（名）；
（3）解∶如图：

可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，由图形获取正确信息是解题关键．
23．(1)制作一件A种手工艺品获利15元，制作一件B种手工艺品获利120元
(2)当安排40人制作A种手工艺品，25人制作B种手工艺品时，获得的总利润最大，最大值为3200元

【分析】（1）设制作一件A种手工艺品获利x元，则制作一件B种手工艺品获利元，根据A获利30元与B获利240元时的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出制作一件A种手工艺品获得的利润，再将其代入中即可求出制作一件B种手工艺品获得的利润；
（2）设安排人制作B种手工艺品，则安排人制作A种手工艺品，每件B种手工艺品获利元，利用获得的总利润＝制作每件A种手工艺品获得的利润×制作数量+制作每件B种手工艺品获得的利润×制作数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设制作一件A种手工艺品获利x元，则制作一件B种手工艺品获利元，
依题意得：＝，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：制作一件A种手工艺品获利15元，制作一件B种手工艺品获利120元．
（2）设安排人制作B种手工艺品，则安排人制作A种手工艺品，每件B种手工艺品获利元，
依题意得：，
即．
∵，
∴当m＝25时，W取得最大值，最大值为3200，此时．
答：当安排40人制作A种手工艺品，25人制作B种手工艺品时，总利润取得最大值，最大值为3200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式．
24．(1)
(2)证明见解析
(3)结论仍然正确，理由见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠HCD = 180°-∠ACH –∠DCB= 60°，从而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）由对称性得，可得，由（1）可得，可得，等量代换即可得证；
（3）证明，则A，C，E都在以H为圆心，为半径的圆上，圆周角定理可得，，同理可得，从而得出结论．
【详解】（1）∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH = ∠DCB = 60°， AC = HC，BC = CD，
∴∠HCD = 180°-∠ACH –∠DCB= 60°
∵∠DHC = 90°，
∴∠HDC= 180° -∠DHC- ∠HCD= 30°
∴CD=2CH，
故答案为：CD=2CH；
（2）如图1，由对称性得，

∵，
∴，
∵，
∴E，H，C三点共线，      
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，即平分；
（3）结论仍然正确，理由如下：
如图2，由对称性可知：，

又∵，
∴，
则A，C，E都在以H为圆心，为半径的圆上，
∴            
同理可得．，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，圆周角定理，旋转的性质，掌握性质的性质，证明三点共圆是解题的关键．
25．（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）见解析；（3）存在这样的点 P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）根据勾股定理可得∠ABC＝90°，进而可求△ODC∽△ABC.
（3）设出p点坐标，可表示出M点坐标，利用三角形相似可求得p点的坐标．
【详解】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点 A（﹣1，﹣1）；
由    ，解得：或
∴B（﹣2，0），C（1，3）；
（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），
∴AB＝ ，
BC＝ ，
AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，，
∴∠ABC＝90°，
∵OD＝1，CD＝3，
∴=，
∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，
∴△ODC∽△ABC；
（3）存在这样的 P 点，设 M（x，0），则 P（x，x2+2x），
∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，
当以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时，
有或 ，
由（2）知：AB＝ ，CB＝，
①当时，则 ＝， 当 P 在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，
∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -， 当 P 在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，
∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-，
②当时，则 ＝3， 同理代入可得：x＝﹣5 或 x＝1（舍），

综上所述，存在这样的点 P，坐标为（-，-）或（-，）或（﹣5，15）．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.