广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B． C． D．
2．北京冬奥会上，数字人民币发挥了重要作用，令各国参会者感受到了中国数字支付的独特魅力．截至2021年底，我国数字人民币交易金额达亿元．数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知一组数据2，3，5，x，5，3有唯一的众数3，则x的值是（    ）
A．3 B．5 C．2 D．无法确定
4．某几何体的主视图如图所示，则它的左视图为（　　）

A． B． C． D．
5．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（    ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，中，，，点O是的内心．则等于（    ）

A．124° B．118° C．112° D．62°
7．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（    ）

A．1 B．2 C． D．
8．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，反比例函数的图像经过的顶点和对角线的交点，顶点在轴上．若的面积为12，则的值为（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：
①abc＜0；
②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；
③a+b+c＜0；
④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．
其中正确的结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．使二次根式有意义的的取值范围是__．
12．分解因式：＝_____
13．二次函数图象向左平移2个单位，再下移1个单位，所得二次函数为_____．
14．如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．

15．如图，等腰直角中，为的中点，点P在上，的最小值为 _____．


三、解答题
16．（1）计算：
（2）化简：
17．先化简，再求值：，其中．
18．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．

(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形，使新图与原图相似比为2：1；
(3)求出的面积．
19．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．

20．城市因文明而美丽，市民因礼仪而优雅．在长沙市创建全国文明典范城市的过程中，太阳山社区为了巩固垃圾分类的成果，营造干净整洁的生活氛围，创建和谐文明的社区环境、准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数是用13500元购买B种垃圾桶的组数的2倍．
(1)求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
(2)该社区计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
21．如图，C为线段上一点，分别以、为边在的同侧作等边与等边，连接．

(1)如图1，当时，直接写出与的数量关系为___________；
(2)在（1）的条件下，点C关于直线的对称点为E，连接、，求证：平分；
(3)现将图1中绕点C顺时针旋转一定角度，如图2，点C关于直线的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
22．如图，已知抛物线 y＝x2+2x 的顶点为 A，直线 y＝x+2 与抛物线交于 B，C 两点．
（1）求 A，B，C 三点的坐标；
（2）作 CD⊥x 轴于点 D，求证：△ODC∽△ABC；
（3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．B
【分析】只有符号不同的两个数称为相反数，由此即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查相反数的概念，掌握相反数的概念，求一个数的相反数的计算方法是解题的关键．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：亿．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可．
【详解】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次，“5”出现2次，“2”出现1次，
要使这组数据有唯一的众数3，因此x所表示的数一定是3．
故选：A．
【点睛】本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这这组数据的众数是正确判断的关键．
4．D
【分析】根据从左面看到的是大小两个同心圆即可得到答案．
【详解】解：由题意得从左面看到的图形是大小两个同心圆，且都是实线，
故选D．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数60°，计算即可．
【详解】解：边数＝360°÷60°＝6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，360°除以每一个外角的度数就等于正多边形的边数，需要熟练记忆．
6．B
【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．
【详解】解：∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×74°=37°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
7．D
【分析】连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．
【详解】解：连接OB
∵菱形OABC
∴OA=AB
又∵OB=OA
∴OB=OA=AB
∴△OAB是等边三角形
∵BD是圆O的切线
∴∠OBD=90°
∴∠AOB=60°
∴∠ODB=30°
∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× =
故答案为D．

【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB是等边三角形是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答．
【详解】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，

∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1 cm，
∴OG＝cm，
∴S△AOB＝AB•OG＝×2×＝cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝cm2．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积．
9．C
【分析】分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，则可用k表示出CD，利用平行四边形的性质可表示出EF，则可求得E点横坐标，且可求得AE=EF=CF=m，从而可表示出四边形OABC的面积，可求得k．
【详解】解：如图，分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，

∵反比例函数的图象经过▱OABC的顶点C和对角线的交点E，设C（m，），
∴OD＝m，CD＝，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴E为AC中点，且EF∥CD，
∴EF＝CD＝，且DF＝AF，
∵E点在反比例函数图象上，
∴E点横坐标为2m，
∴DF＝OF﹣OD＝m，
∴OA＝3m，
∴S△OAE＝OA•EF＝×3m×＝，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴S四边形OABC＝4S△OAE，
∴4×＝12，解得k＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．
10．B
【分析】根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①；利用二次函数的性质判断②；利用图象得出与x轴的另一交点，进而得出a+b+c＝0，即可判断③，根据函数增减性，判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（2，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2＜3，
∴y1＜y2，故②错误；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），
∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③错误；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m为任意实数），
∴am2+bm+c≥﹣4a，故④正确，
故结论正确的有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质，灵活运用数形结合思想是解题关键，中点把握抛物线的对称性．
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
【详解】解答：解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．a（a＋4）（a－4）
【分析】先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可.
【详解】

.
故答案为：a(a+4)(a-4)
13．
【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．
【详解】解：将二次函数  的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得图象的函数表达式为：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题的关键．
14．
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD=    
∴．
故答案为．

【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
15．
【分析】过点C作于O，延长到，使，连接，交于P，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过点C作于O，延长到，使，连接，交于P，连接，

此时的值最小． 连接，
∵等腰直角中，为的中点，
∴，， ，
结合对称性可知， ，
∴，
根据勾股定理可得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二次根式，确定动点P的位置，使的值最小是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）先根据绝对值的意义、零指数幂、负指数幂分别计算，然后根据实数的混合运算法则计算即可得到答案；
（2）先将括号里面的通分运算，再利用分式的混合运算法则计算即可得到答案.
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式

.
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
17．，
【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：

，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)10

【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）以x轴为分割线，将分成两部分，即可求得的面积．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）的面积＝×5×（2+2）＝10．

【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19．（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论；
（2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，
∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD ；
（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴，
∵△ABP∽△PCD
，
设，则，

∴

经检验：是原方程的解，
所以三角形的边长为：3．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．
20．(1)A、B两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；
(2)最多可以购买B种垃圾桶13组

【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价是x元，则B种垃圾桶每组的单价是 元，然后根据用18000元购买A种垃圾桶的组数是用13500元购买B种垃圾桶的组数的2倍，列出方程求解即可；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶组，然后根据计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种垃圾桶每组的单价是x元，则B种垃圾桶每组的单价是 元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴A、B两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；
答：A、B两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；
（2）解：设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶组，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵y是整数，
∴y的最大值为13，
∴最多可以购买B种垃圾桶13组，
答：最多可以购买B种垃圾桶13组．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程和不等式求解．
21．(1)
(2)证明见解析
(3)结论仍然正确，理由见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠HCD = 180°-∠ACH –∠DCB= 60°，从而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）由对称性得，可得，由（1）可得，可得，等量代换即可得证；
（3）证明，则A，C，E都在以H为圆心，为半径的圆上，圆周角定理可得，，同理可得，从而得出结论．
【详解】（1）∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH = ∠DCB = 60°， AC = HC，BC = CD，
∴∠HCD = 180°-∠ACH –∠DCB= 60°
∵∠DHC = 90°，
∴∠HDC= 180° -∠DHC- ∠HCD= 30°
∴CD=2CH，
故答案为：CD=2CH；
（2）如图1，由对称性得，

∵，
∴，
∵，
∴E，H，C三点共线，      
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，即平分；
（3）结论仍然正确，理由如下：
如图2，由对称性可知：，

又∵，
∴，
则A，C，E都在以H为圆心，为半径的圆上，
∴            
同理可得．，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，圆周角定理，旋转的性质，掌握性质的性质，证明三点共圆是解题的关键．
22．（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）见解析；（3）存在这样的点 P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）根据勾股定理可得∠ABC＝90°，进而可求△ODC∽△ABC.
（3）设出p点坐标，可表示出M点坐标，利用三角形相似可求得p点的坐标．
【详解】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点 A（﹣1，﹣1）；
由    ，解得：或
∴B（﹣2，0），C（1，3）；
（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），
∴AB＝ ，
BC＝ ，
AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，，
∴∠ABC＝90°，
∵OD＝1，CD＝3，
∴=，
∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，
∴△ODC∽△ABC；
（3）存在这样的 P 点，设 M（x，0），则 P（x，x2+2x），
∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，
当以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时，
有或 ，
由（2）知：AB＝ ，CB＝，
①当时，则 ＝， 当 P 在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，
∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -， 当 P 在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，
∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-，
②当时，则 ＝3， 同理代入可得：x＝﹣5 或 x＝1（舍），

综上所述，存在这样的点 P，坐标为（-，-）或（-，）或（﹣5，15）．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.