广东省广州市荔湾区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市荔湾区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省广州市荔湾区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（    ）
A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6
2．在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　）

A．65° B．75° C．85° D．130°
5．如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（    ）

A．2 B．3 C． D．4
6．如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．或
7．如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（    ）

A．36° B．30° C．25° D．22.5°
8．已知，则函数和的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9． 如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是(　　)

A．4 B．2 C． D．
10．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且

二、填空题
11．平面直角坐标系中，与关于原点对称，则_________．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________．

13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=________．
14．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高




人数
60
260
550
130

根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是__________．
15．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过作轴的垂线交轴于，连接，则的面积为______．

16．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___


三、解答题
17．在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，．试画出绕点逆时针旋转90°的，并写出、坐标．

18．如图，AD=CB，求证：AB=CD．

19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为，，点B的横坐标为．

(1)试确定反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集．
20．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
21．某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有__________人；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
22．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）
23．如图，已知AB是的直径，CD与相切于点D，且．

（1）求证：BC是的切线；
（2）延长CO交于点 E．若，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）
24．如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．

(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
25．如图，等腰中，，D是平面上任意一点，且，过点A作、的垂线，垂足为E、F．

(1)求证：；
(2)当点D在平面上任意运动时，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)点D在平面上任意运动，当面积取最大值时，此时，若，请直接写出的长．

参考答案：
1．B
【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．
【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，
选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；
选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；
选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；
选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．
2．A
【分析】把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一分析即可得到答案.
【详解】解：选项A中的图形是中心对称图形，符合题意，
选项B中的图形不是中心对称图形，不符合题意，
选项C中的图形不是中心对称图形，不符合题意，
选项D中的图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选A
【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.
3．D
【分析】两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P(飞镖落在黑色区域)==.
故答案选：D.
【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是熟练的掌握几何概率的相关知识点.
4．B
【分析】根据旋转的性质及题意易得∠EAB的度数，然后直接进行求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝105°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°
∴旋转角α的度数是75°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解．
5．D
【分析】由圆周角定理可得∠O=90°，然后可得△AOB是等腰直角三角形，进而问题可求解．
【详解】解：∵∠ACB=45°，
∴∠O=2∠ACB =90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴，即，
∴⊙О的直径为4；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．C
【分析】观察函数图象在y=-1上和上方部分的x的取值范围便可．
【详解】解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
7．B
【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先证明△OAB和△OBG都是等边三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG，
由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α
∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，
∴OA=OB=OG=BG=AB，
∴△OAB和△OBG都是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBG=60°，
∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质），
∴∠CBG=30°，
∴α=30°，
故选B．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．C
【分析】根据一次函数、反比例函数的系数与图像的关系分析即可．
【详解】∵，b=﹣1＜0，
∴直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限．
故本题选C．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的系数与图像的关系，熟练掌握此知识点是解答本题的关键．
9．D
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可．
【详解】∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
如图1，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，

则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=(180°-∠CAB+∠ACB)+(180°-∠E-∠BCE)=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=×(5+3)=4，
在Rt△AMC中，AC===；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
10．C
【分析】根据二次函数的定义可得，再根据当二次函数图像与x轴有交点时，则，即可求解．
【详解】解：∵二次函数与x轴有交点，
∴，解得：且；
故答案选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点的情况和各系数之间的关系，解题关键是掌握当抛物线与x有交点时．
11．
【分析】根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
【详解】解：∵与关于原点对称，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
12．5
【详解】解：设圆的半径为r，连接OC，

根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，
，
解得r=5．
故答案为5．
13．a（1+x）2
【详解】试题分析：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为，∴三月份的研发资金为．
故答案为．
考点：根据实际问题列二次函数关系式．

14．
【分析】先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】解：样本中身高不低于的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．1
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的直线，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，点A、C关于原点对称，则，据此解题
【详解】解：过点C作轴于点D，

点A、C关于原点对称，


依题意有，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义，体现数形结合的思想，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．或
【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
当y=0时，，解得，
则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，

∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得b=，
所以b的值为-3或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
17．图见解析，、
【分析】先画出点A、B、C绕点逆时针旋转90°的对应点，再一次连接即可，最后根据图形写出、坐标即可．
【详解】解：如图：

由图可知：、．
【点睛】本题主要考查了旋转的作图，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤．
18．证明见解析.
【详解】试题分析：由在同圆中，弦相等，则所对的弧相等和等量加等量还是等量求解．
试题解析：∵AD=BC，


∴
∴AB=CD.
19．(1)
(2)

【分析】（1）先用待定系数法求出一次函数的解析式，再把代入求出点B的坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）先求出点A的坐标，再根据图象，即可进行解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为．
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式为：
，
解得：，，
∴，
由图可知：当时，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会根据图象求不等式的解集．
20．(1)或
(2)

【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；
（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
21．（1）60；（2）图详见解析，144°；（3）
【分析】（1）由摄影小组的人数及其对应的百分比可得总人数；
（2）用（1）得到的总人数减去其它各小组的人数即可得到航模小组的人数，从而补全条形统计图，再用航模小组的人数除以总人数乘以360°即可得到“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）根据题意列表得出所有等可能的结果数和“恰好是1名男生和1名女生”的结果数，再根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：（1）9÷15%=60（人）
（2）（人）
补全条形统计图如图




答：在扇形统计图中“航模”所对应圆心角的度数为144°．  
（3）解：设两名男生分别为男，男，两名女生分别为女，女，列表如下：

男
男
女
女
男

（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）

（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）

（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）


由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好是1名男生和1名女生的情况有8种．
．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形图和扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．
【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y=-2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，函数有最大值，
∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
23．（1）见解析；（2）
【分析】(1)根据切线的性质和平行线的性质从而证得，得到，即可证得结论；
(2)根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求得即可．
【详解】(1)连接OD，
与相切于点D，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，
，
是的切线；
(2)，
，
，
，
的长：．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，正确添加辅助线，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)点Q在以中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为

【分析】（1）根据点点、可得该函数的解析式为，展开括号即可进行解答；
（2）根据点Q为的中点，且，可得点D在上，进而得出点D的坐标，即可求解；
（3）根据题意得，则点Q在以为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出轴，，则点Q在以中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、，
∴该函数的解析式为，
∴．
（2）解：连接，
∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且，
∴点D在上，
∴，
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为：；

（3）解：∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，
∵、，，
∴当点P与点B重合时，，即，
当点P与点A重合时，，即，
∴轴，，
∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动，
点Q的路径长为：．

【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系．
25．(1)见解析
(2)或
(3)

【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）根据题意，进行分类讨论，当点D在上方时，通过证明四边形为正方形，得出，，即可得出结论；当点D在下方时，过点A作于点A，通过证明得出，再证明，得出，即可得出结论；
（3）过点D作于点N，根据，为定值，得出当最大时，取最大值，最后当经过点O时，取得最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）①当点D在上方时，
由（1）可得，
∴，
∵，，，，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∵，
∴；

②当点D在下方时，点A左侧时，
过点A作于点A，
∵，，
∴，即，
∵，，
∴B、D、A、C四点共圆，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，

当点D在下方时，点A右侧时，
同理可得：，，
∴，
综上：或．
（3）由（2）可得B、D、A、C四点共圆，
过点D作于点N，
∵，为定值，
∴当最大时，取最大值，
当经过点O时，取得最大值，
∴垂直平分，
∴，
∵当点D在上方时，，
∴，整理得：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理定理，解直角三角形，圆的内接四边形，直径所对的圆周角为，求弧长，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用．