江西省宜春市丰城第九中学2022-2023学年八年级上学期期末A卷数学试题（含答案）

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江西省宜春市丰城第九中学2022-2023学年八年级上学期期末A卷数学试题.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列命题是假命题的是（  ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．任意多边形的外角和等于360°
C．四条边都相等的四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，多边形外角和定理，正方形的定义，矩形的性质即可求解．
【详解】解：选项，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；
选项，任意多边形的外角和等于360°，是真命题，不符合题意；
选项，四条边都相等的四边形不一定是正方形，是假命题，符合题意；
选项，矩形的对角线互相平分且相等，是真命题，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查对命题，定理，性质的理解，掌握相关的概念，定理，性质是解题的关键．
2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(    )
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且．
故选：B．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
3．如果一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，那么k、b应满足的条件是（　　）
A．k＞0，且b＞0 B．k＞0，且b＜0 C．k＜0，且b＞0 D．k＜0，且b＜0
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质得出即可．
【详解】解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，得k＞0，b＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
4．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（   ）

A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）
【答案】A
【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．
【详解】解： 四边形ABCD为平行四边形。
且。
C点和D的纵坐标相等，都为3．
A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），
．
D点坐标为（2，3），
C点横坐标为，
点坐标为（7，3）．
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
5．已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴＜0，故②错误
∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）

∴8a+2b=2
∴4a+b=1，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）
则抛物线与直线y=x交于这两点
∴＜0可化为，
根据图象，解得：1＜x＜3
故④错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．
6．如图，在矩形中，，，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接．设点P的运动路程为x，为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三种情况，分别画出图形，列出函数关系式，根据函数图象与性质逐项排除即可求解．
【详解】解：如图1，当0≤x≤3时，，
∴A选项错误，不合题意；

如图2，当3＜x≤4时，作QE⊥AB于E，，
∴B选项错误，不合题意；

如图3，当4＜x≤7时，，
∴选项D错误，不合题意．

故选：C
【点睛】本题为根据点的运动确定函数图象，考查了分类讨论、列函数解析式，二次函数图象、勾股定理等知识，综合性较强，根据题意分类讨论，列出函数关系式是解题关键．

二、填空题
7．若一次函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】根据一次函数的定义和性质即可得到关于m的不等式，解出即可．
【详解】解：一次函数y＝(m+4)x+m-1中，令x=0，解得：y＝m-1，
∵一次函数与y轴的交点在x轴的下方，则有m-1＜0，解得m＜1，
又∵m+4≠0，
∴m≠-4
故答案为：m＜1且m≠-4．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义和一次函数与y轴的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与y轴的交点为（0，b）．
8．已知m是关于x的方程的一个根，则＝______．
【答案】6
【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根，
∴，
∴，
∴=6，
故答案为6．
9．如图，在矩形中，若，则的大小是________．

【答案】##60度
【分析】根据矩形的性质可得，再由，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
10．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣(k+3)x+2k+2＝0 有一根小于 1，一根大于1，则 k 的取值范围是______．
【答案】k＜0
【分析】先根据根的判别式得到关于k的不等式，再利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】由题意得，
解得，
又∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，
∴x1=2，x2=k+1．
∵方程有一根小于1，一根大于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0，
故答案为k＜0．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：利用根的判别式结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式组．
11．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_________．

【答案】25
【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿AB、AF、EF剪开，向下翻折，使面CBEH和下面在同一个平面内，连接AM，然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，

由题意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm，
在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM=cm；
将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，
如图2，
由题意得：BM=BC+MC=20+5=25（cm），AB=10cm,
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=cm,
连接AM，如图3，
由题意得：AC=AB+CB=10+20=30（cm），MC=5cm,
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM=cm,
∵，
则需要爬行的最短距离是25．
【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．

【答案】
【分析】根据题意，AM=EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∴BC边上的高h=，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM=EF，
∴AM=AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为，
∴AM的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．

三、解答题
13．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）用配方法求解即可；
（2）把方程转化成，然后用因式分解法即可解出．
【详解】（1）


∴
∴解得，；
（2）


∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程一配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

四、填空题
14．如图，利用函像图像回答下列问题：

（1）方程组的解为_________；
（2）不等式2x＞-x＋3的解集为________．
【答案】          x>1
【分析】观察函数的图像与相交于（1,2），再根据交点坐标即可求出不等式2x＞－x＋3的解集．
【详解】解：（1）由图像知，直线x+y=3与直线y=2x相交于（1，2），
所以方程组的解为；
（2）∵ x+y=3与y=2x相交于(1，2)，
∴ 由图像知：不等式2x>-x+3的解集为x>1．
故答案为：；x>1．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能根据函数图像的交点解方程组和不等式．一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

五、解答题
15．已知关于x的方程．
(1)若该方程的一个根为1，求a的值．
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)见解析

【分析】（1）将代入解方程求解即可；
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】（1）∵该方程的一个根为1，
∴将代入得，
解得；
（2）∵
∴
∴该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
16．如图，菱形的对角线交于点O．已知，求菱形的高线长．

【答案】
【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出其边长即可；利用菱形的面积公式求出菱形的面积，即可．
【详解】解：设菱形的高线长为，
∵菱形的对角线交于点O．已知，
∴，
∴菱形的边长，
菱形的面积为：，
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
17．（1）画出函数的图象．
（2）设是x轴上的一个动点，它与x轴上表示的点的距离为y．求y关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）先列表，然后画出函数图像即可；
（2）先根据题意求出函数解析式，然后列表，最后画出函数图像即可
【详解】解：（1）由题意得：y=|x-1|，即y；
x
1
2
y=x-1
0
1

x
0
1
y=-x+1
1
0

函数图象如图：

（2）由题意得：y=|x-（-3）|=|x+3|，即y；
x
-3
-2
y=x+3
0
1

x
-4
-3
y=-x-3
1
0

函数图象如图：

【点睛】本题主要考查函数及其图像，掌握函数图象的画法是解题的关键．
18．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．

(1)求证：；
(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(3)若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形是菱形，证明见解析
(3)当时，四边形是正方形．证明见解析

【分析】（1）根据，得，结合得，根据平行四边形的判定，得．
（2）由题（1）得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，可判定四边形是平行四边形，又根据，判定平行四边形是菱形．
（3）根据三角形内角和，当时，得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，根据等角对等边，得，又根据正方形的判定，即可判定四边形是正方形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）四边形是菱形．理由如下：
由（1）得，，
∵，点为的中点
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（3）当时，四边形是正方形．
证明，如下：
∵，
∴
又∵点为的中点
∴
∴
∴
又∵四边形是菱形
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理和直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．
19．已知直线与x轴交于点，又知点A的坐标为，
（1）求k的值；
（2）若点是直线l在第二象限直线上的一个动点，当点P运动过程中，请求出的面积S和x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，点P的坐标为_______．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】（1）直线l经过点，将其代入函数解析式，即可确定k值；
（2）根据（1）可确定函数解析式，根据图象，的底为，高为点P的纵坐标，所以依据三角形面积公式即可确定面积S与x的函数关系式；由于点P在第二象限，所以，，将代入即可确定自变量x的取值范围；
（3）将代入，求出x，然后将x代入确定y值，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）∵直线l经过点，
∴将点代入得：，
∴；

（2）由（1）得函数解析式为：，
∵，
∴，
∵点是第二象限直线上一点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，；
（3）当时，代入，
可得：，
解得：,
将,代入，
解得：，
点P的坐标为．
【点睛】题目主要考查一次函数解析式的确定及一次函数中动点三角形面积、点的坐标的求法，理解题意，作出函数图象，掌握确定函数解析式方法是解题关键．
20．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．

(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)90°

【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可证明得到结论；
（2）利用全等三角形的性质，，即可代换出，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵∠PAE＝∠E，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，∠PAE＝∠E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是本题的关键．
21．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)

【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．

             图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．

（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
22．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a =，b =且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)

【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式

，
（2）∵a =，b =，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上.若点P、Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P、Q的“涵矩形”．下图为点P、Q的“涵矩形”的示意图.

（1）点B的坐标为（3，0）；
①若点P的横坐标为，点Q与点B重合，则点P、Q的“涵矩形”的周长为 .
②若点P、Q的“涵矩形”的周长为6，点P的坐标为（1，4），则点E（2，1），F（1，2），G（4，0）中，能够成为点P、Q的“涵矩形”的顶点的是 .
（2）四边形PMQN是点P、Q的“涵矩形”，点M在△AOB的内部，且它是正方形；
①当正方形PMQN的周长为8，点P的横坐标为3时，求点Q的坐标.
②当正方形PMQN的对角线长度为时，连结OM.直接写出线段OM的取值范围 .
【答案】（1）①9，②（1，2）；（2）①（1，5）或（5，1），②
【分析】（1）①根据题意求出PE，EQ即可解决问题．
②求出点P、Q的“涵矩形”的长与宽即可判断．
（2）①求出正方形的边长，分两种情形分别求解即可解决问题．
②点M在直线y=-x+5上运动，设直线y=-x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D．求出OM的最大值，最小值即可判断．
【详解】解：（1）①如图1中，

由题意：矩形PEQF中，EQ=PF=3- ，
∴OE=EQ，
∵EP∥OA，
∴AP=PQ，
∴PE=QF=OA=3，
∴点P、Q的“涵矩形”的周长=（3+）×2=9．
②如图2中，

∵点P、Q的“涵矩形”的周长为6，
∴邻边之和为3，
∵矩形的长是宽的两倍，
∴点P、Q的“涵矩形”的长为2，宽为1，
∵P（1，4），F（1，2），
∴PF=2，满足条件，
∴F（1，2）是矩形的顶点．
（2）①如图3中，

∵点P、Q的“涵矩形”是正方形，
∴∠ABO=45°，
∴点A的坐标为（0，6），
∴点B的坐标为（6，0），
∴直线AB的函数表达式为y=-x+6，
∵点P的横坐标为3，
∴点P的坐标为（3，3），
∵正方形PMQN的周长为8，
∴点Q的横坐标为3-2=1或3+2=5，
∴点Q的坐标为（1，5）或（5，1）．
②如图4中，

∵正方形PMQN的对角线为，
∴PM=MQ=1，
易知M在直线y=-x+5上运动，设直线y=-x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D，
∵OE=OF=5，
∴EF= ，
∵OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴OD=EF= ，
∴OM的最大值为5，最小值为，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．