辽宁省本溪市第十二中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份辽宁省本溪市第十二中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省本溪市第十二中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列真命题中，逆命题也是真命题的是（    ）
A．全等三角形的对应角都相等
B．如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等
C．对顶角相等
D．等边三角形每一个都等于
【答案】D
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法、平方根的定义、对顶角的定义和等边三角形的判定方法判断四个逆命题的真假．
【详解】解：A．“全等三角形的对应角都相等”的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以选项错误；
B．“如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，此逆命题为假命题，所以选项错误；
C．“对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角为对顶角，此逆命题为假命题，所以选项错误；
D．“等边三角形每一个都等于”的逆命题为等每一个都等于的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，所以选项正确．
故选：．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
2．下列各式从左到右，是因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【详解】解：A．是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
B．结果不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
C．不是对多项式变形，故本选项错误，不符合题意；
D．运用完全平方公式分解，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式．
3．等腰中，，周长为，则的长为（    ）
A． B． C．或 D．以上都不正确
【答案】B
【分析】题目没有明确是腰还是底边，要分两种情况解答：当或当．
【详解】解：当时，，则；
当时，，但，故构不成三角形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，注意考虑两种情况，但也要考虑三角形三边之间的关系来确定三边大小．
4．等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（　　）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的定义可得是顶角，再画出图形，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：等腰三角形中，，
是等腰三角形的顶角

由题意画出图形如下：

为的中点



又

故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
5．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5.5
【答案】A
【分析】根据三角形的面积得出DE的长，进而利用角平分线的性质解答即可．
【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∵△ABD的面积为9，AB=6，
∴DE=＝3，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DE=3，
∴DP≥3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．
6．若是关于的一元一次不等式，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值．
7．若是一个完全平方式，则的值为（    ）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【答案】D
【分析】这里首末两项是3x和2y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍．
【详解】解：中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍．
故k=±12．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8．用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(   )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解集表示方法即可求解．
【详解】解：由数轴可知，表示解集射线方向右，从数字出发，且为实心点，
故．
故选：C．
【点睛】此题主要考查不等式解集的表示方法，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．
9．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得到PE=PD，然后利用平行线的性质及含30°角的直角三角形的性质求解．
【详解】解：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PE=PD．
∵PC∥OB，
∴∠POD=∠OPC，
∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，
∴PE=PC=2，
∴PD=2．
故选B．

【点睛】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
10．在平面直角坐标系内，点P（，）在第四象限，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：点P（，）在第四象限，根据第四象限点的坐标特征，
则
解得：
故选C．

二、填空题
11．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设_________．
【答案】三角形的三个外角中至少有两个锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故答案为：三角形的三个外角中至少有两个锐角．
【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．，则_________，_________．
【答案】          3
【分析】先利用完全平方公式将已知等式变形为，再根据偶次方的非负性即可得．
【详解】解：，
，即，
，
解得，
故答案为：，3．
【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．
13．若关于x，y的方程组的解是一对负数，则＝_____．
【答案】##1-8m
【分析】先将方程组中的两个方程相加可得，相减可得，再根据解是一对负数可得，，然后化简绝对值，计算整式的加减即可得．
【详解】解：，
由①②得：，即，
由①②得：，
关于的方程组的解是一对负数，
，
，，



，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减、化简绝对值，熟练掌握二次一次方程组的解法是解题关键．
14．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_____．

【答案】
【分析】如图所示，在上取一点E使得，连接，证明，得到，推出当三点共线且时，最小，即最小，过点C作于F，由勾股定理得，利用面积法求出，则的最小值为．
【详解】解：如图所示，在上取一点E使得，连接，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即最小，
过点C作于F，
在中，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形从而确定当三点共线且时，最小，即最小是解题的关键．
15．已知：△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，且CD＝AB，则∠B＝_____°
【答案】75
【分析】根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得∠A=30°，根据等腰三角形的性质即可求出∠B的度数．
【详解】解：如下图：

∵AB=AC， CD＝AB，
∴CD＝AC，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD=30°，
∴∠B=，
故答案为：75．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．
16．在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是_____个．
【答案】6
【分析】作出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据直角三角形30°30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后讨论求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵∠ABC=30°，AB=10，
∴AD=5，
当AC=4时，不能作出三角形，
当AC=5时，可作1个三角形，
当AC=7时，可作2个三角形，
当AC=9时，可作2个三角形，
当AC=11时，可作1个三角形，
所以，满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6(个)，
故答案为：6．

【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，难点在于AC的长度大于AD小于AB时可以作2个三角形．
17．已知，，则______．
【答案】18
【分析】本题要求代数式a3b-2a2b2+ab3的值，而代数式a3b-2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a-b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．
【详解】解：a3b-2a2b2+ab3=ab（a2-2ab+b2）
=ab（a-b）2
当a-b=3，ab=2时，原式=2×32=18，
故答案为：18
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______．

①线段AD是△ABC的角平分线；  ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；        ④．
【答案】①②③④
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
【详解】解：由作法得，AD平分∠BAC，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；
∵在直角△ACD中，∠CAD=30°，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．故④正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．

三、解答题
19．（1）解不等式：
（2）解不等式组：
（3）分解因式：
（4）分解因式：
（5）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），13
【分析】（1）根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；
（3）综合利用提取公因式法和十字相乘法分解因式即可得；
（4）先分组为，再利用乘法公式分解因式即可得；
（5）先利用乘法公式计算整式的乘法，再去括号，计算整式的加减，然后将，代入计算即可得．
【详解】解：（1），
两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
两边同除以，得，
即不等式的解集为；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
（3）原式
；
（4）原式

；
（5）原式

，
将，代入得：原式．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）、因式分解、利用乘法公式进行化简求值，熟练掌握不等式（组）的解法和乘法公式是解题关键．
20．已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图像（如图1）．

(1)方程kx+b=0的解为　　　　　　，不等式kx+b＜4的解集为　　　　　　；
(2)正比例函数y=mx（m为常数，且m≠0）与一次函数y=kx+b相交于点P（如图2），则不等式组的解集为　　　　　　；
(3)比较mx与kx+b的大小（直接写出结果）．
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，；当时，；当时，

【分析】（1）根据点的坐标即可得方程的解，再根据点的坐标即可得不等式的解集；
（2）根据函数图像分别求出不等式和的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；
（3）根据点的横坐标，分，和三种情况，结合函数图像即可得．
【详解】（1）解：由函数图像可知，方程的解为，不等式的解集为，
故答案为：，．
（2）解：，
由函数图像可知，不等式的解集为，不等式的解集为，
则这个不等式组的解集为，
故答案为：．
（3）解：由函数图像可知，当时，，
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图像法是解题关键．
21．某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【答案】（1）每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元；（2）学校最多可购买甲种词典5本
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30-m）本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，根据题意，得

解得
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校计划购买甲种词典本，则购买乙种词典本，根据题意，得

解得
答：学校最多可购买甲种词典5本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．

(1)求证：∠FEA＝∠FBA．
(2)求∠EFC的度数．
(3)猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
(3)FE+FA=2FD，证明见解析

【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明；
（2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；
（3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证．
【详解】（1）解：∵AD为边BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵△ACE为等边三角形，  
∴AC=AE，
∴AB=AE，      
∴∠FEA=∠FBA；
（2）解：∵AD为边BC的垂直平分线   
∴AB=AC，FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，     
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，     
∴∠EFC=∠CAE，
∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，    
∴∠EFC=60°．
（3）解：FE+FA＝2FD，
证明：在CF上取 N使得FN=FE，


由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，
∵FN=FE，      
∴△EFN是等边三角形，    
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE为等边三角形，     
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，
∴△EFA≌△ENC（SAS），    
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，       
∴∠FCB=×60°=30°，
∵AD⊥BC，       
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，       
∴FE+FA=2FD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
23．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，其中轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过55万元．
(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．
(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么该租赁公司应选择以上哪种购买方案？
【答案】(1)购车方案有三种：①轿车3辆，面包车7辆；②轿车4辆，面包车6辆；③轿车5辆，面包车5辆
(2)应选择方案三轿车5辆，面包车5辆．

【分析】（1）设购买轿车辆，购买面包车辆，利用轿车至少要购买3辆，且投入的购车款不超过55万元列一元一次不等式组，解此不等式组的整数解即可；
（2）利用总租金=每辆车的租金数量，即可解答．
【详解】（1）解：设购买轿车辆，购买面包车辆，
则，
解得．
又∵，
∴．
∴购车方案有三种：①轿车3辆，面包车7辆；
②轿车4辆，面包车6辆；
③轿车5辆，面包车5辆．
（2）方案一的日租金：3×200+7×110-1370（元），
方案二的日租金：4×200+6×110=1460（元），
方案三的日租金：5×200+5×110=1550（元），
∴为保证日租金不低于1500元，该租赁公司应选择方案三轿车5辆，面包车5辆．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、求一元一次不等式组的整数解，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．