福建省宁德市2022-2023学年九年级下学期期末质量检测数学试卷（一检）（含答案）

福建省宁德市2022-2023学年九年级下学期期末质量检测数学试卷（一检）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．cos45°的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论；

【详解】∵ ，

故选：C．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

2．若＝，则的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，然后用k表示a和b，进而求得的值．

【详解】解：设，

则有，，

∴．

故选：A．

【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是利用设k法，用k表示a和b即可．

3．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(　　)

A．0.22 B．0.56 C．0.50 D．0.44

【答案】B

【分析】由于事件“凸面向上”和“凹面向上”是对立事件，根据对立事件的概率和为1计算即可．

【详解】瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为0.44，

则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1-0.44=0.56，

故答案为0.56．

【点睛】本题考查了概率的意义、等可能事件的概率，解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面．

4．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据左视图的定义：由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线)，判断即可．

【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图为：

故选B．

【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图，掌握左视图的是解决此题的关键．

5．二次函数的顶点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．

【详解】解：二次函数y=（x-1）2-2的顶点坐标是（1，-2）．

故选A．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．

6．下列各种现象属于中心投影现象的是（    ）

A．上午人走在路上的影子 B．晚上人走在路灯下的影子

C．中午用来乘凉的树影 D．早上升旗时地面上旗杆的影子

【答案】B

【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．

【详解】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．

故选B．

【点睛】本题考查了中心投影的性质，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．

7．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（  ）

A．E B．F C．G D．H

【答案】D

【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．

【详解】解：如图，连接并延长，

以点为位似中心，点D是点C的对应点，

位似比为，

则点A的对应点是H，

故选：D．

【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．

8．在平面直角坐标系中，点A，B，C的位置如图所示，若抛物线的图象经过A，B，C三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是（  ）

A．开口向上 B．与y轴交于负半轴 C．顶点在第二象限 D．对称轴在y轴右侧

【答案】D

【分析】根据题意，画出草图，根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及顶点坐标与坐标轴的交点，逐项分析即可求解．

【详解】根据题意，抛物线的图象经过A，B，C三点，则

开口向下，与轴交于正半轴，顶点在第一象限，对称轴在轴的右侧，故A，B，C选项错误，D选项正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．

9．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作于C，求出长，再用解直角三角形求出即可．

【详解】解：作于C，

∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），

∴，

∴（米），

∵，

∴（米）

故选：D．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．

10．已知，点，在反比例函数的图象上，则以下结论正确的是（  ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

【答案】C

【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．

【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：

A、若，且、在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；

B、若，则，故选项错误，不符合题意；

C、若，则，故选项正确，符合题意；

D、若且，则．故选项错误，不符合题意．

故选：C．

【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．

二、填空题

11．如图，在中，，D为边的中点．若，则的长是________

【答案】6

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案．

【详解】如图，∵，D为边的中点，

∴，

∵，

∴，

故答案为：6．

【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

12．一元二次方程的解是________

【答案】

【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．

【详解】解：

∴或，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

13．在中，，，若将三边都扩大3倍得到，则________

【答案】##0.6

【分析】根据正弦函数的定义求解即可．

【详解】解：根据题意得，

若将三边都扩大3倍得到，

∴，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查正弦函数的定义，理解正弦函数的定义是解题关键．

14．若抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是______．

【答案】##

【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得再解不等式可得答案．

【详解】解：∵抛物线与轴没有公共点，

∴

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，掌握“当时，抛物线与轴没有交点”是解本题的关键．

15．将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是6，则大正六边形的面积是________

【答案】

【分析】由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形得面积，即可得出结果．

【详解】解：如图连线：

∵多边形为正六边形，

∴图中每个三角形都为等边三角形且全等，

∵小正六边形的面积是6，

∴每个三角形的面积为，

由图得共有54个等边小三角形，

故大正六边形的面积是，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查正多边形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．

16．如图，已知矩形，，点E在上，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若G是中点，则__________

【答案】##

【分析】连接，根据矩形的性质及等边对等角、等量代换得出得出，再由勾股定理得出，，利用相似三角形的判定和性质求解即可．

【详解】解：连接，

∵矩形，

∴，，

∵且G是中点，

∴，

∴，

∴

∵是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，且，

∴，，

∴

∴

∴

∵，

∴即，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

故答案为：．

【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．

三、解答题

17．解方程：．

【答案】，

【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．

【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4

∴方程有两个不相等的实数根

∴原方程的解为，．

【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键．

18．如图，，AD与BC交于点O，若，， ，求OC的长．

【答案】3

【分析】根据题意，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

19．如图，点是反比例函数图像上两点，轴于点C，轴于点D．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求五边形的面积．

【答案】(1)

(2)21

【分析】（1）将点代入求得k即可解答；

（2）点代入求得n，然后确定点E的坐标，然后根据即可解答．

【详解】（1）解：将代入可得，解得：．

∴反比例函数的表达式为．

（2）解：∵点在反比例函数上

∴

∴点坐标为

如图：延长交于点E

∴点E的坐标为

∴

∴．

【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上的点、反比例函数与几何的综合等知识点，求得反比例函数解析式是解答本题的关键．

20．寿宁“金丝粉扣”是地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“金丝粉扣”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克．

(1)设每千克降价x元，用含x的代数式表示实际销售单价和销售数量；

(2)若超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？

【答案】(1)实际销售单价为元，销售数量为千克；

(2)每千克应降价元

【分析】（1）设每千克降价x元，根据题意列出代数式即可求解；

（2）根据（1）的结论，利用售价减去进价乘以销量等于，根据题意取舍方程的解，即可求解．

【详解】（1）设每千克降价x元，根据题意得

实际销售单价为元，销售数量为千克；

（2）解：设每千克降价x元，根据题意得，

，

解得：

∵让顾客得到实惠，

∴

答：每千克应降价元

【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

21．如图，在菱形中，对角线，交于点，，．

(1)求的长；

(2)求的值．

【答案】(1)16

(2)

【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求得，继而即可求解；

（2）过点作于点，根据菱形的面积公式求得，根据正弦的定义即可求解．

【详解】（1）解：∵四边形是菱形，

∴，，，

在中，，

∴，

∴；

（2）解：如图所示，过点作于点，

∵菱形的面积为，

∴,

∴．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正弦，掌握菱形的性质，正弦的定义是解题的关键．

22．为欢庆新春佳节，某班计划组织一次抽奖活动，全班位同学都有一次抽奖机会，准备设置一等奖5名，二等奖名，其余均为鼓励奖．抽奖活动的项目是“摸球游戏”，活动规则是：在一个不透明盒子中放入红球、白球共5个，两种球除颜色外其它均相同，每位同学从盒子中同时摸出两个球，根据摸到两个球颜色的情况获得相应的奖项．请你设计一种方案，使获得各种奖项的概率与计划设置的奖项比例大致相当．先写出盒子中放入红球的个数，以及一、二等奖所对应的摸球结果，再通过列表或画树状图说明理由．

【答案】放入2个红球，3个白球，同时摸出两个红球为一等奖，同时摸出两个白球为二等奖，理由见解析

【分析】根据题意设置出相应的方案，然后利用树状图或这列表法确定各种可能的概率即可．

【详解】解：方案：放入2个红球，3个白球，同时摸出两个红球为一等奖，同时摸出两个白球为二等奖，

理由：画树状图得：

一共有20种等可能性情况，其中同时摸出两个红球的情况有2种，同时摸出两个白球情况有6种，

∴同时摸出两个红球的概率为，

同时摸出两个白球的概率为，

全班50位同学都有一次抽奖机会，准备设置一等奖5名，二等奖15名，其余均为鼓励奖

∴获得一等奖的比例为，获得二等奖的比例为·

∴这种方案符合要求．

【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图求概率及方案设计，理解题意，熟练掌握列表法和树状图法是解题关键．

23．如图，已知，点E是上任意一点（不与A，B重合），于点F．

(1)求作：矩形，使得点G在上，点H在上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）的条件下，若是的高，且，求矩形的周长．

【答案】(1)见解析

(2)10

【分析】（1）过点E作的垂线，与交于H，再以点F为圆心，为半径画弧，与交于点G，连接即可；

（2）设交于T，设，根据证明，得到，进一步求出，最后计算周长即可．

【详解】（1）解：如图，矩形即为所求；

（2）如图，设交于T，设，

则，

∵，是高，

∴，是的高，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴矩形的周长为．

【点睛】本题考查了矩形的判定，尺规作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据平行得到相似三角形．

24．如图，已知正方形，将边绕点顺时针旋转得到，连接并延长，过点作射线于点，连接．

(1)如图1，当时，求和的度数；

(2)如图2，当时，过点作于点，连接，．

①证明：；

②在的旋转过程中，是否存在与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)①见解析；②存在，

【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据平角的定义得出，根据等腰直角三角形的性质得出，即可求解；

（2）①设交于点，根据等边对等角证明，根据三角形的内角和定理得出，得出，根据，继而即可得证；

②当与相似，则是等腰直角三角形，当时，如图所示，过点作于点，证明，，得出，继而即可求解．

【详解】（1）解：正方形，将边绕点顺时针旋转得到，，

∴，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，；

（2）①解：如图，设交于点，

∵，

∴，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

②∵，，

∴是等腰直角三角形，

∴当与相似，则是等腰直角三角形，

∵，当时，三点共线，则点与点重合，不合题意，

同理当时，不合题意，

当时，如图所示，过点作于点，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质，求正切，掌握旋转的性质是解题的关键．

25．科技进步促进了运动水平的提高，某运动员站在与篮框水平距离6米的A处练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度，已知篮圈中心B到地面的距离为3.05米，篮球每一次投出时离地面的距离都为2.05米，图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度为3.55米．

(1)建立如图1所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；

(2)判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．

(3)如图2，在另一次训练中，该运动员在点A处投篮，篮球从C处投出并且直接命中篮圈中心B，其运动轨迹经过点，且，试比较n、 t的大小关系．

【答案】(1)

(2)本次训练篮球不能直接投中篮圈中心B，该球员只要向后移动或米就能使篮球直接投中篮圈中心B

(3)

【分析】（1）根据题意确定抛物线的顶点和点,设抛物线的解析式为，再求得a的值即可解答；

（2）将代入（1）中的解析式，即可求得y的值即可判定其是否投中；设能直接投中篮圈中心B需向后移动m米，则抛物线解析式为，然后将点代入求得m的绝对值即可解答；

（3）设抛物线解析式为，根据已知条件可得，然后分别将代入表示出m、n、t，然后代入求得a的取值范围，最后用作差法比较n、t的大小即可．

【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点和点

设抛物线的解析式为

则：，解得：

所以设抛物线的解析式为．

（2）解：∵当时，

∴本次训练篮球不能直接投中篮圈中心B

设能直接投中篮圈中心B需向后移动m米，则抛物线解析式为

则，解得：

∴或

∴该球员只要向后移动或米就能使篮球直接投中篮圈中心B．

（3）解：设抛物线解析式为

∵抛物线过

∴

∴

∵抛物线过

∴，即

∴

分别将代入可得：

，，

∵

∴

∴

∴

∴

∴．

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．