广东省佛山市禅城区华英学校2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试卷（含答案）

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广东省佛山市禅城区华英学校2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则分别进行判断．
2．下列各式因式分解正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解）及完全平方公式依次进行判断即可得．
【详解】解：A、不能进行因式分解，错误；
B、选项正确，是因式分解；
C、选项是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、，选项因式分解错误；
故选：B．
【点睛】题目主要考查因式分解的定义及方法，深刻理解因式分解的定义是解题关键．
3．下列说法中正确的个数有（）
①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可．
【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，原说法错误；
②圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴，原说法错误；
③直径是弦，正确；
④长度相等弧是不一定是等弧，原说法错误；
综上，只有③的说法正确，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，弧AB=弧BC,，则的度数是（   ）

A．58° B．42° C．32° D．29°
【答案】D
【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理计算，得到答案．
【详解】连接OC，

∵ ，
∴∠BOC=∠AOB=58°，
由圆周角定理得，∠BDC=∠BOC=29°，
故选D．
【点睛】考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5．已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据垂径定理计算．
【详解】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，

∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm＞2cm，
∴在OD上截取OH=1cm，
过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点，
故选C．
【点睛】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个．
6．如图，中，，，点O是的内心．则等于（    ）

A．124° B．118° C．112° D．62°
【答案】B
【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．
【详解】解：∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×74°=37°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
7．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（    ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．
【详解】解：连接OB
∵菱形OABC
∴OA=AB
又∵OB=OA
∴OB=OA=AB
∴△OAB是等边三角形
∵BD是圆O的切线
∴∠OBD=90°
∴∠AOB=60°
∴∠ODB=30°
∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× =
故答案为D．

【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB是等边三角形是解答本题的关键．
8．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答．
【详解】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，

∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1 cm，
∴OG＝cm，
∴S△AOB＝AB•OG＝×2×＝cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝cm2．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积．
9．如图，是的直径，且，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ）．

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作于E，交于点D、于点F，求得，因为垂直平分，求得，即而进行求解．
【详解】作于E，交于点D、于点F，如图所示：

由翻折可知DE=EO，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵直径，
∴弧AD=弧CD
∴，
∴，
由对称性可知阴影部分面积等于扇形COB的面积，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内阴影的面积，正确读懂题意是解题的关键．
10．如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（    ）

A．70° B．64° C．62° D．51°
【答案】B
【分析】先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO＝∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD＝OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可计算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解．
【详解】解：∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB，
∵BD＝OB，
∴AB垂直平分OD，
∴AO＝AD．
∴△AOD为等腰三角形，
∴∠BAO＝∠BAD，
∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，
∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°，
∴3∠BAD＝78°，
解得∠BAD＝26°，
∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
11．如图的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交于点D，的内切圆半径是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据圆周角定理可得，，角平分线得，再利用勾股定理计算出BC，AD的长，可得等腰直角三角形，设内切圆的半径为r cm，根据切线长定理列出方程求解．
【详解】解：∵AB是直径，
∴，．
∵cm，cm，
∴（cm）．
∵的平分线交于D，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴cm，
∴cm；
∴等腰直角三角形，
设内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为r cm，

得正方形DGIE，
∴，
∴，
解得cm，
∴的内切圆半径是cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内切圆与内心，勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理．
12．如图，是的直径，弦于点G．点F是上一点，且满足，连接并延长交于点E．连接，若．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据垂径定理知，则有，说明，得，可知①正确；根据垂径定理得，则，故②正确；根据，可判断③错误；首先求出的面积，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得的面积，从而判断④正确．
【详解】解：①是的直径，弦于点，
，，
，
，
∴，
，
，
故①正确；
②，，
，
，
，
，
故②正确；
③，，
，
在中，
，
，
故③错误；
④，，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
故正确的是①②④，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明是解题的关键．

二、填空题
13．代数式有意义时，x应满足的条件是______.
【答案】.
【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围．
【详解】解：代数式有意义，可得：，所以，
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键.
14．在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为__．
【答案】或
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形解答即可．
【详解】解：如图，；

则；
∵四边形是的内接四边形，
∴；
因此该弦所对的圆周角度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形，注意弦所对的圆周角有两种情况．
15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，若连接，则的度数是__．

【答案】##60度
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16．如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为_____.（结果保留π）

【答案】
【分析】先求出圆锥底面半径，然后根据扇形的弧长为圆锥底面的圆周长进行计算即可解答.
【详解】解：因为圆锥的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，
所以圆锥底面半径为：R＝
圆锥侧面展开扇形的弧长为圆锥底面的圆周长，
所以，弧长为：
故答案为
【点睛】本题考查解直角三角形和圆锥三视图，熟练掌握是解题的关键.
17．如图，是等腰直角三角形，，以斜边上的点O为圆心的圆分别与、相切于点E、F，与分别相交于点G、H，且的延长线与的延长线交于点D，则的长为__．


【答案】
【分析】先连接、，由于、是切线，可知，又，，可证四边形是正方形，易得，且是的中点，利用平行线分线段成比例定理，可证，易求，即，利用，可得，利用相似三角形的性质可求，从而易求．
【详解】如解图，连接、，

与、切于点E、F，
，，
又是等腰直角三角形，则，
∴四边形是正方形，
，
又∵以斜边上的点O为圆心的圆分别与、相切于点E、F，，
∴O在的角平分线上，
，
∴O是中点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，

【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是构造正方形．
18．如图，中，，，，点P从C点出发，沿运动到点B停止，过点B作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为__．

【答案】##
【分析】由，得点Q在以为直径的⊙O上运动，运动路径为弧，连接，代入弧长公式即可计算．
【详解】∵，，
∴四点共圆，
∴点Q在以为直径的⊙O上运动，运动路径为弧，连接，

∵，，
∴，
∴，
∴弧的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以为直径的⊙O上运动是解题的关键．

三、解答题
19．计算：．
【答案】4
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了零指数幂与负指数幂及特殊三角函数值的混合运算，灵活的利用相应的公式是计算的关键．
20．先化简÷（﹣x+1），然后从﹣2，﹣1，0选择合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果，再根据分式有意义的条件，取代入求解即可．
【详解】÷（﹣x+1）





时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解和分式的性质是解题的关键．
21．城市因文明而美丽，市民因礼仪而优雅．在长沙市创建全国文明典范城市的过程中，太阳山社区为了巩固垃圾分类的成果，营造干净整洁的生活氛围，创建和谐文明的社区环境、准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数是用13500元购买B种垃圾桶的组数的2倍．
(1)求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
(2)该社区计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
【答案】(1)A、B两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；
(2)最多可以购买B种垃圾桶13组

【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价是x元，则B种垃圾桶每组的单价是 元，然后根据用18000元购买A种垃圾桶的组数是用13500元购买B种垃圾桶的组数的2倍，列出方程求解即可；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶组，然后根据计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种垃圾桶每组的单价是x元，则B种垃圾桶每组的单价是 元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴A、B两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；
答：A、B两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；
（2）解：设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶组，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵y是整数，
∴y的最大值为13，
∴最多可以购买B种垃圾桶13组，
答：最多可以购买B种垃圾桶13组．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程和不等式求解．
22．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．

【答案】（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【分析】（1）根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=AB，代入相应数值求出即可；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案．
【详解】（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵AB=8，
∴DE=4；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，

∵OH经过圆心O，
∴AH=BH=AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
23．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．

（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB=，CD=9，求线段BC和EG的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】试题分析：（1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线．
（2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，在Rt△DCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，利用勾股定理可求得CF的长，设AD=DE=BC，根据CD=9，列出方程即可求出x，△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长.
试题解析：（1）证明：如图1，连接OE，OC；
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90°
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线．

（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
在Rt△DFC中，CF==1，
设AD=DE=BF=x，
则x+x+1=9，
x=4，
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵AD∥BG，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB=5，
∴BG=10，
在Rt△ABG中，AG==6，
∵AD∥CG，
∴=，
∴EG=×6
．

24．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②DE＝．
【分析】（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝r，则DG＝r，则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG＝，CG＝2，再证明△CDE∽△CAD，然后利用相似三角形的性质计算DE的长即可．
【详解】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∵半径OD⊥直径AB，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EAB＝∠F，
∴∠ACD＝∠F；
（2）①证明：∵∠ACD＝∠CAB＝∠F，
∴tan∠GCD＝tan∠GAO＝tan∠F＝，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOG中，tan∠GAO＝＝，
∴OG＝r，
∴DG＝r﹣r＝r，
在Rt△DGC中，tan∠DCG＝＝，
∴CD＝3DG＝2r，
∴DC＝AB，
而DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②作直径DH，连接HE，如图，OG＝1，AG＝ ＝，
CD＝6，DG＝2，CG＝＝2，

∵DH为直径，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠HDE＝90°，
∵DH⊥DC，
∴∠CDE+∠HDE＝90°，
∴∠H＝∠CDE，
∵∠H＝∠DAE，
∴∠CDE＝∠DAC，
而∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴，即，
∴DE＝ ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．解决第（2）题的第②问，证明△CDE∽△CAD是解决问题的关键.