河南省洛阳市洛龙区洛龙区龙门镇第二中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份河南省洛阳市洛龙区洛龙区龙门镇第二中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省洛阳市洛龙区洛龙区龙门镇第二中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中比小的数是(　　)
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案即可．
【详解】A．，
∴
，故此选项正确；
B．，
∴，
，故此选项错误；
C．，，
，故此选项错误；
D．，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．
2．围绕保障疫情防控、为企业好困解难，财政部门快速行动，持续加大资金投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】901.5=9.015×102．
故选：C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列几何体中，左视图和其他三个不同的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到从左面看所得到的左视图，进行比较即可.
【详解】解：A、B、C选项的左视图都是
，
D选项的左视图是
，
∴左视图和其他三个不同的是D.
故选：D.
【点睛】本题考查了三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图.
4．下列计算中，错误的是（　　）
A．5a3﹣2a3＝3a3 B．（﹣a）2•a3＝a5
C．a﹣3•a2＝a﹣6 D．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5
【答案】C
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【详解】解：A.5a3﹣2a3＝3a3，故本选项不合题意；
B．（﹣a）2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．a﹣3•a2＝a﹣1，故本选项符合题意；
D．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘法法则．熟练掌握相关法则是解题关键．
5．如图，，，，，则(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知，，可得∠EFG=，再根据，得∠BEF+∠EFD=
，即可求出∠2度数．
【详解】∵，
∴∠EFG=
∵
∴∠BEF+∠EFD=
∴+∠GEF+∠EFG+∠2=
即
∴
故选：B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角，及三角形内角和的应用，本题还考查了平行线的性质定理，两直线平行，同旁内角互补．
6．下列说法正确的是（    ）
A．四个数2、3、5、4的中位数为4
B．想了解郏县初三学生备战中考复习情况，应采用普查
C．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
D．从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生是总体的一个样本
【答案】C
【分析】由中位数定义判断选项A，由调查方式的选择方法判断选项B，由方差的意义判断选项C，由样本的定义判断选项D．
【详解】A、四个数2、3、5、4的中位数为3.5；故本选项错误；
B、了解郏县初三学生备战中考复习情况，应采用抽查；故本选项错误；
C、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大；故本选项正确；
D、从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生的体考成绩是总体的一个样本；故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查中位数定义、全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量及方差意义，解题的关键是熟练掌握并理解所学知识．
7．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把方程化为一般式，再利用判别式的意义得到Δ＝12−4（−k）＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：原方程可化为：
根据题意得Δ＝12−4（−k）＞0，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；反过来也成立．
8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字5，6，7，8.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时重转)，记录第一次转到的数当成一个两位数的个位，第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与记录的数字是偶数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图得：

∵共有16个等可能的结果，记录的数字是偶数的结果有8个，
∴记录的数字是偶数的概率为；
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9．已知，如图，A（0，5），AC＝13，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AO、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交x轴于点G，则点G的横坐标是（　　）

A．3 B． C． D．4
【答案】B
【分析】过G作GH⊥AC于H，设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，依据勾股定理可得，Rt△CGH中GH2+CH2＝CG2，进而得出x2+82＝（12﹣x）2，解方程即可得到x的值，即可得出点G的横坐标．
【详解】解：如图所示，过G作GH⊥AC于H，

由题可得，AF平分∠CAO，GO⊥AO，
∴OG＝HG，
∴Rt△AOG≌Rt△AHG（HL），
∵A（0，5），AC＝13，
∴OC＝＝12，AO＝AH＝5，CH＝8，
设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，
∵Rt△CGH中，GH2+CH2＝CG2，
∴x2+82＝（12﹣x）2，
解得x＝，
∴点G的横坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图-角平分线、角平分线的性质、勾股定理等内容，得到AF平分∠CAO是解题的关键．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△DPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′=，
∵DM=8-x，
∴△DPP′的面积y=PP′•DM=×x（8-x）=-x2+6x；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12）；
②当BM≥4时，如图：

同理△P′DP∽△CDA，
∴，即，
∴PP′=，
∴△DPP′的面积y=PP′•DM=×（8-x）2=（8-x）2；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向上，过（4，12）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为：

故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．

二、填空题
11．计算：2﹣2﹣＝_____．
【答案】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝﹣3
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查负整数指数幂、算术平方根，掌握运算法则是解题的关键．
12．写出一个经过第一象限，随增大而减小的函数____．
【答案】答案不唯一，比如：
【分析】根据增减性确定函数的解析式即可．
【详解】由于经过第一象限，y是随x增大而减小的函数；
则一次函数的解析式为：y=-x+3．
故答案为：y=-x+3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，关键是根据性质取得k、b的值，由待定系数法解得此题．
13．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是_____．

【答案】
【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，
∵PC＝8，
∴BP＝4，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴QC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
14．如图，△ABC中，AC＝6，∠A＝75°，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，当点D落在AC上时，BE∥AC，则阴影部分的面积为_____．

【答案】3π﹣18+9
【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质求得∠CBE＝ABD＝30°，根据平行线的性质求得∠ACB＝∠CBE＝30°，进而求得AB＝AC＝6，解直角三角形求得BM、MC，即可求得AD，由图形可知阴影部分的面积＝△BDC的面积+扇形BCE的面积﹣△ABC的面积，根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵∠A＝75°，AB＝BD，
∴∠ADB＝∠A＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠CBE＝ABD＝30°，
∵BE∥AC，
∴∠ACB＝∠CBE＝30°，
∴∠ABC＝75°，
∴BC＝AC＝6，
作BM⊥AC于M，则AM＝DM，
∴BM＝BC＝3，MC＝BC＝3，
∴AM＝AC﹣MC＝6﹣3，
∵AD＝12﹣6，
由图形可知，阴影部分的面积＝△BDC的面积+扇形BCE的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形BCE的面积﹣△ABD的面积＝﹣＝3π﹣18+9，
故答案为：3π﹣18+9．

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质以及解直角三角形，根据图形得到阴影部分的面积=△BDC的面积+扇形BCE的面积-△ABC的面积=扇形BCE的面积-△ABD的面积是解题的关键．
15．在一张边长为2的等边△ABC的纸片上做折纸游戏，其中点D是AC的中点，如图（1），在AB边上任取一点E，将纸片沿DE折叠，使点A落在处，再将纸片沿折叠，点E落在处，如图（2）；当点恰好落在原等边三角形纸片的边上（不与顶点重合）时，线段AE的长为___．

【答案】或##或
【分析】分两种情况求解：①如图（1）落在边上时，与的交点为，由题意知，，，，，，有，，根据，有计算求解即可；②如图（2），落在边上时，与的交点为，过点E作，由题意知，，，，，有，，，由，求解，的值，进而求解的值即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图（1）落在边上时，与的交点为

由题意知，，，
∴，
∴，
∵
∴
解得；
②如图（2），落在边上时，与的交点为，过点E作

由题意知，，，
∴
∴，，
∵
∴
解得
∴
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，含30°的直角三角形，等腰直角三角形，三角函数值等知识．解题的关键在于分情况求解．

三、解答题
16．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1．
【分析】先把括号的项通分相减，再将除法变成乘法进行运算，然后把，代入求值即可．
【详解】



把，代入得，
原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到分式的加减乘除混合运算，正确掌握分式混合运算法则是解题的关键．
17．我校初三年级在开学初进行了跳绳测试．某班体育老师告诉该班体育委员：班上只有的同学得到了满分分，要加油．体育委员将跳绳测试的统计结果绘制成如下的统计图，以便根据班级情况进行针对性训练．请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)请把条形统计图补充完整；
(2)已知全校初三共有名学生，请你根据以上统计结果估计全校跳绳成绩在分以下的约有______人；
(3)针对班级目前的情况，体育委员决定将跳绳成绩在分或分以下的同学分成两组进行强化训练，现准备从得满分的名同学中随机选择两名担任组长．已知得满分的同学只有名女生．请你利用树状图或列表的方法求出这两名组长是一男一女的概率．
【答案】(1)见解析
(2)120
(3)树状图见解析，两名组长是一男一女的概率

【分析】（1）用得20分的人数除以它所占的百分比可得全班人数，然后计算出得17分的人数，再补全统计图；
（2）用样本中成绩在17分以下的人数所占百分比表示全校成绩在17分以下的人数的百分比，然后用1500乘以这个百分比可估计全校跳绳成绩在17分以下的人数；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：全班人数（人，
所以17分的人数（人，
如图，

（2）（人，
估计全校跳绳成绩在17分以下的约有120人；
故答案为120；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中一男一女的结果数为6，
所以这两名组长是一男一女的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．也考查了用样本估计总体和条形统计图．
18．如图，为外接圆的直径，交于点F，且．

(1)求证：与相切于点A；
(2)求证：；
(3)若，，，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)5．

【分析】（1）连接，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和已知，求出，，求出，根据切线的判定得出即可；
（2）证明，即可证明；
（3）根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：连接，交于G．

∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴与相切于点A．
（2）∵，是⊙O的弦，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）设的半径为r，
∵是的切线，
∴于A，
∵，
∴于G，
∵，，
∴，
∴，
∴G为的中点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理和圆的性质，根据勾股定理，列方程，是解题的关键．
19．年月初，新冠疫情在西安爆发，经过一个多月的不懈努力，疫情得到控制．新春开学之际，为保护师生健康，阳光中学在学校门口安装了红外测温通道，对进校师生进行体温监测，测温装置安装在处．若乐乐同学进校时，当他站在地面处，开始显示测量体温，此时在其额头处测得的仰角为，当他走到地面处，结束显示体温，此时在其额头处测得的仰角为，已知乐乐额头距离地面的高度为即，，求测温装置距地面的高度约为多少米？保留小数点后两位有效数字，

【答案】2.97m
【分析】作EG垂直地面DG于点G，延长AB交EG于点F，在直角三角形里，通过特殊角的三角函数值求得EF边长，进而得到答案．
【详解】解：如图，作EG垂直地面DG于点G，延长AB交EG于点F

∵AB∥DG
∴
∵
∴
∴
∵m  
∴
∴m
∵FG=AD=1.6m
∴m
∴测温装置距地面的高度约为2.97m．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值求边长；构建直角三角形，利用特殊角的三角函数值求边长是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与轴交于，与轴交于，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式：的解集；
（3）是轴上一动点，直接写出叫的最大值和此时点的坐标．

【答案】（1），；（2）；（3）的最大值为，此时P点坐标为
【分析】（1）过作轴于，得，，可求得，即得到A点坐标，将A点坐标代入，可求得b，把代入，可求得m，进而求得反比例函数解析式；
（2）求的解集，即为求反比例函数大于一次函数时自变量的范围，由图可知当时，
（3）作点关于轴的对称点，的延长线于轴的交点即为所求点，求得直线的解析式，即可求出P点坐标及值，此时值最大，即为．
【详解】（1）过作轴于，
∴轴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即：，
将代入得：，
∴直线的解析式为：
把代入得：
把代入得：，
∴

故答案为：，
（2）由图象可知当时，
故答案为：
（3）作点关于轴的对称点，的延长线于轴的交点即为所求点
∵
∴
∵
设直线的解析式为y=kx+b
∴
解得
∴直线的解析式为y=2x+6
当x=0时，y=6
∴
的最大值为


故答案为：的最大值为，此时P点坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，通过观察函数图象能够掌握函数的增减性，本题还考查了线段差的最值的求法，找到线段差为最值的点是解题的关键，本题是一次函数和反比例函数的综合．
21．毕业季即将到来，某礼品店购进了批适合学生的毕业纪念品．已知购进2个A种礼品和6个B种礼品共需180元，购进4个A种礼品和3个B种礼品共需135元．
(1)A，B两种礼品每个的进价分别是多少元？
(2)该店计划用2500元全部购进A，B两种礼品，设购进A种个，B种个．
①求关于的关系式．
②进货时，A种礼品的购进数量不少于个，已知A种礼品每个的售价为20元，B 种礼品每个的售价为35元，若该店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使该店所获利润最大．
【答案】(1)种礼品每个的进价为15元，种礼品每个的进价为25元
(2)①；②，购进60个种礼品，64个种礼品才能使该店所获利润最大

【分析】（1）设种礼品每个的进价为元，种礼品每个的进价为元，根据两种进货方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）①结合（1）的结论，根据购进两种礼品的总费用为2500元建立等式，由此即可得；
②先根据利润（种礼品每个的售价种礼品每个的进价）购进种礼品数量（种礼品每个的售价种礼品每个的进价）购进种礼品数量可得关于的关系式，再结合的取值范围，利用一次函数的性质进行求解即可得．
【详解】（1）解：设种礼品每个的进价为元，种礼品每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
答：种礼品每个的进价为15元，种礼品每个的进价为25元．
（2）解：①由题意得：，
整理得：，
即关于的关系式为；
②由题意得：，
整理得：，
种礼品的购进数量不少于个，且，
，解得，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，
此时，
答：关于的关系式为，购进60个种礼品，64个种礼品才能使该店所获利润最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
22．[提出问题]
如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？
[分析问题]
如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且保证（或）即可．

[解决问题]：
(1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图3，在菱形中，，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为_____．
【答案】(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）根据最短路径直接画图即可；
（2）同（1）一样，对称后连线，求出最短途径，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路径的值．
【详解】（1）如图，点C即为所求；

（2）连接DE，作，交BC延长线于H，

∵四边形是菱形，
∴点B、D关于AC对称，
∴的最小值即为DE的长，
∵，
∴，
∵点E为BC的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得， ，
∴的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题考查最短路径以及勾股定理，解题关键是先对称然后连线，找出最短路径，然后通过直角三角形三边关系求出最短路径．
23．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

(1)求点的坐标和抛物线的表达式；
(2)两点均在该抛物线上，若，求点的横坐标的取值范围；
(3)点为直线上一动点，将点沿与轴平行的方向平移一个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或

【分析】（1）把点坐标代入得：，解得：，故直线的表达式为：，令，则，故点，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）当时，可求得；令，求出，结合二次函数的性质可得结论；
（3）分类求解确定的位置，进而求解．
【详解】（1）解：把点坐标代入得：，解得：，
故直线的表达式为：，
令，则，故点，
将点、的坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）当时，，
令，
解得或，
，且，
；
（3）由（1）知，直线的表达式为：，
设点的横坐标为，
，或，
由题意可知，或，
解得，或．
即或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数的性质等，其中（3）要注意点可能在上方也可能在的下方，避免遗漏．