河北省承德市宽城县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题（含详细答案）

河北省承德市宽城县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有（    ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，可分析出答案．

【详解】解：第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；

第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；

第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．

故选A．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．计算的结果是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．

【详解】，

因为，故．

故选：A．

【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为解题工具．

3．无论x取什么数，总有意义的分式是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解．

【详解】A．，x3+1≠0，x≠﹣1；

B．，（x+1）2≠0，x≠﹣1；

C．，x2+1≠0，x为任意实数；

D．，x2≠0，x≠0．

故选C．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．

4．与结果相同的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0

故选：A．

【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．

5．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（　　）

A．1；SAS B．2；ASA C．3；ASA D．4；SAS

【答案】B

【分析】运用全等三角形的判定定理进行解答即可..

【详解】解：观察图形可以发现，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃.故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键.

6．对于近似数3.07×，下列说法正确的是（    ）

A．精确到 0.01 B．精确到千分位 C．精确到万位 D．精确到百位

【答案】D

【分析】将题目中的数化成原始数，看７在哪一位即可求解．

【详解】3.07×=30700，７在百位上，故3.07×104精确到百位，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了近似数的精确度，较为简单，找到最后一位有效数字所在位数是解题关键．

7．如图，数轴上点分别对应1和2，过点作直线，在直线上截取，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的是(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据数轴得到OB的长，根据勾股定理求出OC＝OP＝即可．

【详解】解：根据数轴可知：OB＝2，

∵∠OBC＝90°，

∴OC＝，

∴OP＝OC＝，

∴点P对应的是，

故选：A．

【点睛】本题考查了数轴和实数、勾股定理等知识点，能求出OC长是解此题的关键．

8．如图为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（    ）

A．40分 B．60分 C．80分 D．100分

【答案】B

【分析】根据实数的性质结合平方根，算术平方根和立方根的定义求解即可．

【详解】解：①的倒数是，计算错误；

②的绝对值是，计算正确；

③，计算错误；

④平方根与立方根相等的数是0，计算正确；

⑤，计算正确；

∴一共计算正确3道题，

∴得分为3×20=60分，

故选B．

【点睛】本题主要考查了实数的性质，立方根和平方根，算术平方根，熟知相关知识是解题的关键．

9．等腰三角形的一个内角是50°，则这个等腰三角形的底角的大小是(  )

A．65°或80° B．80°或40° C．65°或50° D．50°或80°

【答案】C

【详解】试题解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65度．

故选C．

10．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴，这与三角形内角和为矛盾

②因此假设不成立．∴

③假设在中，

④由，得，即．

这四个步骤正确的顺序应是（    ）

A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②

【答案】D

【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．

【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤

1、假设在中，

2、由，得，即

3、，这与三角形内角和为矛盾

4、因此假设不成立．

综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②

故选：D

【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

11．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ）

A．51 B．49 C．76 D．无法确定

【答案】C

【详解】试题解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则

x2=122+52=169，

解得x=13．

故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．

故选：C．

12．某班学生到距学校12km的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先行，经h后，其余同学乘汽车出发，由于□□□□□□，设自行车的速度为xkm/h，则可得方程为，根据此情境和所列方程，上题中□□□□□□表示被墨水污损部分的内容，其内容应该是（      ）

A．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达

B．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到h

C．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到h

D．汽车速度比自行车速度每小时多3km，结果同时到达

【答案】A

【分析】根据方程的等量关系为：骑自行车的时间-乘汽车的时间=h，再根据时间=路程÷速度可知被墨水污损部分的内容.

【详解】解：由方程可知汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达．

故选：A

【点睛】本题考查根据分式方程找已知条件的能力以及路程问题，有一定的难度，解题关键是找准等量关系：骑自行车的时间-乘汽车的时间=h

13．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）

A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁

【答案】D

【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．

【详解】∵

=

=

=

=

=，

∴出现错误是在乙和丁，

故选D．

【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边中点，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（　　）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠A=15°，利用三角形外角的性质求得∠BEC =30°，再根据30°角直角三角形的性质即可求得结论．

【详解】∵点D为AB边中点，DE⊥AB，

∴DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=15°，

∴∠BEC=∠A+∠ABE=30°，

∵∠C=90°，

∴BE=AE=2BC=2，CE=BC=，

∴AC=AE+CE=2+，

故选C．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、30°角直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

15．甲乙两人各用一张正方形的纸片ABCD折出一个45°的角（如图），两人做法如下：

甲：将纸片沿对角线AC折叠，使B点落在D点上，则∠1=45°.

乙：将纸片沿AM、AN折叠，分别使B、D落在对角线AC上的一点P，则∠MAN=45°.

对于两人的做法，下列判断正确的是（）

A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲乙都错

【答案】A

【分析】甲沿正方形的对角线进行折叠，根据正方形对角线的性质，可得∠1=45°，故甲的做法是正确的；乙进行折叠后，可得两对等角，而四个角的和为90°，故∠MAN=45°是正确的，这样答案可得．

【详解】解：如图：

∵AC为正方形的对角线，

∴∠1=×90°=45°；

∵AM、AN为折痕，

∴∠2=∠3，4=∠5，

又∵∠DAB=90°，

∴∠3+∠4=×90°=45°.

∴二者的做法都对．

故选A．

【点睛】本题考查了图形的翻折问题，解答此题的关键是找到重合的角，结合直角进行求解. 甲沿正方形的对角线进行折叠，根据正方形对角线的性质，可得∠1=45°，故甲的做法是正确的；乙进行折叠后，可得两对等角，而四个角的和为90°，故∠MAN=45°是正确的，这样答案可得．

16．如图：点C在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点M、N，则下列结论①，②，③为等边三角形，④．正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质得，，，，所以，，则利用“”可判定，所以，，则可对①进行判定；再证明得到，则可对②进行判定；然后证明为等边三角形得到，则可对③④进行判定，即可求解．

【详解】解：∵、均是等边三角形，

∴，，，，

∴，，

在和中

，

∴，

∴，故①正确；

，

在和中

，

∴，

∴，故②正确；

∵，，

∴为等边三角形，故③正确；

∴，

∴，

∴，故④正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的判定与性质．

二、填空题

17．计算：=_____．

【答案】2

【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．

【详解】

=

=2，

故答案为2．

【点睛】本题考查了二次根式的化简以及算术平方根，熟练掌握二次根式化简的方法以及算术平方根的定义是解题的关键．

18．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬2个单位到达点，点表示，则表示的数为______．

【答案】．

【分析】根据平移的性质得出答案即可．

【详解】解：蚂蚁从点沿数轴向右爬2个单位到达点，点表示，

根据题意得，表示的数为：，

故答案是：．

【点睛】本题考查了数轴上的点的平移，熟悉相关性质是解题的关键．

19．如图，，，，若，则___________，___________．

【答案】     4     2

【分析】证明，求得，过点P作，首先利用平行线的性质及三角形外角的性质得出，进而求出，最后利用角平分线的性质即可得出答案．

【详解】解：如图，过点P作交于点E，

∵，，

∴，

∴，，

∵，

∴．

∵，，，

∴，

故答案为：4，2．

【点睛】本题主要考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质是关键．

三、解答题

20．认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．

(1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征；

(2)请在图中设计出一个图案，使它也具备你所写出的上述特征．

【答案】(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积

(2)见解析

【分析】（1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转180°后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形；

（2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可．

【详解】（1）（1）特征1：都是轴对称图形；

特征2：都是中心对称图形；

特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；

（2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：

【点睛】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．

21．（1）计算：．

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可；

（2）先根据二次根式性质对二次根式进行化简，然后再进行计算即可．

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，完全平方公式和平方差公式，准确计算．

22．如图，已知在中，，．

(1)用尺规作边的垂直平分线；直线上是否存在一点，使它与A，B，构成的三角形的周长值最小？若存在标出这一点，若不存在说明理由．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)连接，求的周长；

(3)若，求的度数．

【答案】(1)存在，见解析

(2)9

(3)

【分析】（1）根据垂直平分线的作法即可完成作图，由垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），进而可知为所求；

（2）由垂直平分线的性质可知，根据的周长即可求解；

（3）由等边对等角及三角形的外角性质可求解．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

存在为所求

（2）∵是边的垂直平分线，

∴，

∵，，

∴的周长．

（3）∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查尺规作图——垂直平分线及垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关图形的性质是就解决问题的关键．

23．同学们在学习完《轴对称》一节时，发现长方形是轴对称图形，但是沿着所在直线翻折，却不能重合（如图），所以得出结论：所在的直线不是它的对称轴．聪明的嘉琪想想说：如果，就能求的长．请你也试着做做．

【答案】

【分析】根据翻折和矩形的性质可证明，可得，，在中，由勾股定理得，进而可计算出的长．

【详解】解：∵

在和中，

∴

∴，

在中，由勾股定理得

，设，则，

解之得，

∴．

【点睛】本题考查翻折和矩形的性质，及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用全等三角形的判定和性质证明，是解决问题的关键．

24．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：

甲同学：

    第一步

    第二步

    第三步

乙同学：

    第一步

    第二步

    第三步

(1)对于两人的做法，下列判断正确的是：（　　）

A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲乙都对    D．甲乙都错

(2)若正确，说明每步做的依据；若错误，则甲同学的解答从第___________步开始出现错误；乙同学的解答从第___________步开始出现错误；并重新写出完成此题的正确解答过程．

(3)解分式方程，体会与分式化简的关系．

【答案】(1)D

(2)一、二，，见解析

(3)是增根，原方程无解

【分析】（1）根据分式的加减运算法则对甲乙的解答过程进行判断即可；

（2）根据分式的加减运算法则作答即可；

（3）根据分式方程的解法进行作答即可．

【详解】（1）甲同学：，故甲计算错误；

乙同学：，故乙计算错误；

故选：D；

（2）由（1）可知则甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误；

正确的解答过程为：

，

故答案为：一、二、；

（3）

，

即：，

经检验，是原方程的增根，

故原方程无解．

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算以及解分式方程的知识，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

25．小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约2分钟，由此估算这段路长约___________千米．然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每隔a米种一棵树，绘制示意图如图：考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少100棵数，请你求出a的值．

【答案】2千米，a的值为20

【分析】利用路程速度时间可求出路的长度，设每a米种一棵树，则另一方案每米种一棵树，根据种树的棵数路的长度树的间隔结合另一方案可减少100棵数，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【详解】解：（千米）

∴路长约 2千米，

设每a米种一棵树，则另一方案每米种一棵树

依题意，得：

解得：

经检验，是所列方程的解，且符合题意．

答：a的值为20．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

26．已知中，，，点D为直线BC上的一动点点D不与点B、C重合，以AD为边作，使，，连接CE．

发现问题：

如图1，当点D在边BC上时，

请写出BD和CE之间的位置关系为______，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：______．

尝试探究：

如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；

拓展延伸：

如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段ED的长．

【答案】（1）；；（2）成立，数量关系不成立，关系为BC=CE-CD；（3）．

【分析】根据条件，，，，判定≌，即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到；

根据已知条件，判定≌，得出，再根据，即可得到；

根据条件判定≌，得出，在中，由勾股定理得，即可解决问题.

【详解】如图1，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

即；

由可得，≌，

，

，

故答案为，；

成立，数量关系不成立，关系为．

理由：如图2中，由同理可得，

，

∴

即E，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，即，，

；；

如图3中，由同理可得，

，

，

即，

易证≌，

，，

，

∵

，

在中，由勾股定理得，

．

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等解题时注意：全等三角形的对应边相等．