黑龙江省讷河市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含详细答案）

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黑龙江省讷河市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，居此判定即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2．用如图所示的A、B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色），A转盘是二等分，B转盘是三等分，分别转动两个转盘各一次（指针指向分界线则重新转动转盘），则配成紫色的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：

红
蓝
红
（红，红）
（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
绿
（红，绿）
（蓝，绿）

一共有6种等可能结果，其中配成紫色的有2种，
所以配成紫色的概率为．
故选：C
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
3．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2的图象，下列说法正确的是（    ）
A．图象有最低点，其坐标是（1，2） B．图象有最高点，其坐标是（﹣1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】解：A、由于a＝﹣1＜0，所以开口向下，有最大值，故A不符合题意．
B、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知顶点为（1，2），故B不符合题意．
C、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，故C不符合题意．
D、二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
4．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数解析式得出的图象的开口向下，对称轴是直线，然后根据二次函数的图象的性质进行判断即可．
【详解】∵，
∴这个二次函数的图象开口向下，对称轴是直线．
∵关于对称轴的对称点为，点的坐标是，
∴，
∵，都在这个二次函数的图象的对称轴的右侧，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象的性质等知识点的理解和掌握，能熟练运用二次函数的图象的性质进行推理是解本题的关键．
5．某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？
这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（　　）
A．涨价后每件玩具的售价是元; B．涨价后每天少售出玩具的数量是件 C．涨价后每天销售玩具的数量是件 D．可列方程为：
【答案】D
【详解】A.涨价后每件玩具的售价是元，正确；B.涨价后每天少售出玩具的数量是件，正确；C.涨价后每天销售玩具的数量是件，正确；D.可列方程为：，错误，应为(30+x-20)(300-10x)=3750，故选D.
6．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（    ）

A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
【答案】D
【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值分别是（    ）．
A．0，0 B．，1 C．， D．，1
【答案】B
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，列出方程组，即可求解．
【详解】解：∵点，关于原点对称，
∴，解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
8．已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（    ）．
A．ab B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可．
【详解】∵方程，有一个根是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．
9．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由直角三角形的性质求出，由旋转的性质得出，，证出和为等边三角形，过点A作于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
过点A作于点D，
∴，
∴，
∴点A到直线的距离为，
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质．
10．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；；；；其中正确结论的个数是（   ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可确定，．再根据对称轴是直线，即，可确定，从而可判断①④；根据当时，即可判断②；根据当时，，即可判断③；由，，即可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，．
对称轴是直线，
，
，
，故①④错误；
当时，．
，故②错误；
当时，，
，故③正确；
，
．
，故⑤错误．
综上可知正确结论的个数是1个．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．

二、填空题
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
【答案】且
【分析】根据该方程是一元二次方程可知，根据方程有两个不相等的实数根可知，列出不等式，求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
即的取值范围为且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是牢记：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
12．一元二次方程两实数根为a，b，则________．
【答案】5
【分析】利用一元二次方程的根的定义得到，利用一元二次方程根与系数的关系可得，整体代入即可求解．
【详解】解：一元二次方程一个实数根为a，
，即．
一元二次方程两实数根为a，b，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查一元二次方程的根、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是将变形为．
13．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm的半圆，则这个圆锥的底面半径长是____
【答案】9cm##9厘米
【分析】设该圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的半圆的圆弧长，列出方程即可求解．
【详解】设该圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得：，
解得（cm）．
故答案为：9cm．
【点睛】本题主要考查了圆锥体展开图的知识，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的半圆的圆弧长，是解答本题的关键．
14．把抛物线的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是，则a+b+c＝_____．
【答案】5
【分析】此题可以逆推：将函数的图象，先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线．
【详解】解：函数的图象，先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到：y＝+2＝，
所以＝，
所以a＝2，b＝0，c＝3，
所以a+b+c＝2+0+3＝5．
故答案是：5．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握解析式平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
15．如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为______．

【答案】
【分析】根据题意画出的最小值，再利用弧、圆心角、圆周角的性质以及特殊角的三角函数即可得到的长度．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点关于的对称点，连接，
∴的最小值是，
故答案为：．

【点睛】本题考查了弧、圆心角、圆周角的性质，特殊角的三角形函数，垂径定理，根据题意画出辅助线是解题的关键．
16．⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_____．
【答案】3或1
【分析】根据垂径定理推论，得AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可
【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为1或3．

【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

17．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为____________________．

【答案】（6048，2）．
【详解】试题分析： ∵AO=，BO=2，
∴AB==，
∴OA+AB1+B1C2=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，
∴B4的横坐标为：2×6=12，
∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6=6048．
∴点B2016的纵坐标为：2．
∴点B2016的坐标为：（6048，2），
∴B2017的横坐标为6048++=6052，
∴点B2017的坐标为，6062，0），
考点：坐标与图形变化-旋转；规律型：点的坐标．

三、解答题
18．解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．

【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：，；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19．解答题
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．

(1)画出向左平移5个单位后的图形，则点的坐标为______．
(2)画出绕顺时针旋转后的图形，则点的坐标为______．
(3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积．
【答案】(1)详见解析，
(2)详见解析，
(3)

【分析】（1）分别确定的三个顶点、、向左平移5个单位后的对应点，，，再顺次连接，，即可，再根据的位置写出其坐标；
（2）分别确定，，绕顺时针旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，再根据的位置写出坐标即可；
（3）线段扫过的面积是以为圆心，为半径的圆的面积的，计算可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
由图形可知，；

（2）解：如图所示，即为所求，
由图形可知，；

（3）解：，
线段扫过的面积为：．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，坐标与图形，扇形面积的计算，熟练掌握“绕非原点作旋转图形”的方法是解题的关键．
20．四张卡片上分别标有1，2，3，4它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．
(1)请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
(2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)游戏不公平．理由见解析

【分析】（1）利用树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽到的数字之和为5占4种，利用概率的概念即可求得抽到的数字之和为5的概率；
（1）利用树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽到的数字都是奇数的占2种，一奇一偶的占8种，利用概率的概念即可求解．
【详解】（1）解：列举所有等可能的结果，画树状图：

共有12种等可能的结果，其中抽到的数字之和为5的占4种，
∴P（抽到的数字之和为5）；
（2）解：游戏不公平．理由如下，
列举所有等可能的结果，画树状图：

共有12种等可能的结果，其中抽到的数字都是奇数的占2种，一奇一偶的占8种，
∴P（抽到的数字都是奇数）；
P（抽到的数字是一奇一偶的）；
，
∴游戏不公平．
【点睛】本题考查了利用树状图求概率的方法：先利用树状图展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占的结果数m，则这个事件的概率．
21．如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，且AC=CD,．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，即可得到答案；
（2）根据扇形面积公式进行计算，即可得到答案.
【详解】证明：连接．

，
．
，
．
．即，
是的切线．
解：，
．
，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式，解题的关键是掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式
22．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该商品销售价定为每干克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
(3)该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元

【分析】（1）根据每天的利润等于每千克的利润乘以每天的销售量，可得w关于x 的函数关系式；
（2）将化为顶点式，即可求解；
（3）当时，可得方程，求得x值，并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）解：由题意得：


，
故w与x的函数关系式为：；
（2）解： ，
，
当时，w取最大值，最大值为200．
即该商品销售价定为每干克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
（3）解：当时，可得方程，
整理得，
解得，．
，
不符合题意，应舍去．
故该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据成本、定价、销量、利润之间的数量关系求出w与x之间的函数关系式是解题的关键．
23．（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足，

求证：．
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．
请你根据小明的思路写出完整的解答过程．
证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，
……
（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，
①求的度数；
②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

【答案】（1）见解析；（2）①；②不变，2
【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论；
（2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论；
②如图3，延长到，使，连接，证出，得到，，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8．
【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，

∵绕点旋转至，
∴
∴，，，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）①如图2，

由题意：
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴

∴
在和中
∵
∴
∴
∴
②的周长不随时间的变化而变化，
如图3，延长到，使，连接，

在和中
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴
在和 中
∵
∴
∴
∴
∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4
∴的周长

∴的周长是定值8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
24．解答题
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于、两点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积；
(3)直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当P点坐标为时，
(3)Q的坐标为或

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，过P作轴于点E，交直线于点，先用待定系数法求得直线解析式为，，则，当最大时，四边形的面积最大，所以，所以，然后利用求二次函数最值方法即可求解；
（3）分两种情况：①当以为平行四边形的边时，②当以为平行四边形的对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把、代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点P在抛物线上，
∴可设，
过P作轴于点E，交直线于点，如图1：

∵，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线解析式为，，
∴，
当最大时，四边形的面积最大，
∴，
，
∴当时，最大值为8，此时，
∴当P点坐标为时，，
故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积；
（3）解：当以为平行四边形的边时，则在x轴上方有平行四边形，在x轴下方不存在平行四边形，
∵，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，(不符合题意，舍去)，
当时，，
∴；
当以为平行四边形的对角线时，则有平行四边形，
∵，
∴点P、Q关于线段AB中点对称，
设，则，
∴，
解得：，(不符合题意，舍去)，
综上，存在一点Q，Q的坐标为或，使得以点组成的四边形是平行四边形．

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，本题属二次函数与面积、特殊四边形的综合题目，难度一般，属中考常考题目．