高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十八）　双曲线 Word版含答案

课时跟踪检测  (四十八)　双曲线

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1．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是(　　)

A．4　　　　　　　　　　 B．

C．－  D．－4

解析：选C　依题意得m＜0，双曲线方程是x2－＝1，于是有 ＝2×1，m＝－．

2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

解析：选B　由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选B．

3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为(　　)

A．  B．

C．  D．5

解析：选D　依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝＝5，因此该双曲线的离心率e＝＝5．

4．(2017·西安质检)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________．

解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝4．

答案：4

5．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________．

解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，

∴解得

∴双曲线的标准方程为x2－＝1．

答案：x2－＝1

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1．“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．

2．(2017·合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选B　由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B．

3．(2016·石家庄教学质量检测)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)

A．  B．1

C．2  D．4

解析：选C　由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB中点坐标为，∴2－2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2，故选C．

4．(2017·河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)

A．2  B．4

C．  D．

解析：选C　由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，∵|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝＝．

5．(2017·长春质检)过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)

A．10  B．13

C．16  D．19

解析：选B　由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．

6．已知双曲线的一个焦点F(0，)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________________．

解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

由题意得⇒⇒

所以双曲线的标准方程为－x2＝1．

答案：－x2＝1

7．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________．

解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|．因为点P是双曲线与圆的交点，

所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，　①

又|PA|2＋|PB|2＝36，　　　　　　　　　  ②

联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，

所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2．

答案：2

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．

解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，

又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，

在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，

即求cos∠F1PF2的最小值，

∵cos∠F1PF2≥－1，∴cos∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值为．

答案：

9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：·＝0；

(3)求△F1MF2的面积．

解：(1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．

∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ．

∵双曲线过点(4，－)，

∴16－10＝λ，即λ＝6．

∴双曲线方程为x2－y2＝6．

(2)证明：设＝(－2－3，－m)，

＝(2－3，－m)．

∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，

∵M点在双曲线上，

∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴·＝0．

(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4．

由(2)知m＝±．

∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6．

10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．

(1)求双曲线的方程；

(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．

解：(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，∴解得c＝3，b＝，∴双曲线的方程为－＝1．

(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，

∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．

联立得5x2＋6x－27＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝－．

所以|AB|＝× ＝．

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1．(2017·三明质检)已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是(　　)

A．－　　　　　　　　　 B．

C．－  D．不能确定

解析：选A　令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos 2∠AOx＝－cos＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·＝×＝－．

2．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则a2＝4－1＝3，c2＝4，

再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，

故双曲线C2的方程为－y2＝1．

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0．

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，

得

∴k2＜1且k2≠．①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝．

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2

＝．

又∵·＞2，

即x1x2＋y1y2＞2，

∴＞2，

即＞0，

解得＜k2＜3．②

由①②得＜k2＜1，

故k的取值范围为∪．