高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十五） 圆的方程 Word版含答案

课时跟踪检测  (四十五)　　圆的方程

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1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋y2＝1

B．(x－1)2＋(y－1)2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析：选B　由得

即所求圆的圆心坐标为(1,1)，

又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，

故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．

2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．  D．4

解析：选B　由半径r＝＝＝2得，＝2．

∴点(a，b)到原点的距离d＝＝2，故选B．

3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1  B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4  D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析：选A　设圆上任一点为Q(x0，y0)，

PQ的中点为M(x，y)，则

解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，

所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，

化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．

4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1．

答案：x2＋(y－1)2＝1

5．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．

解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，

得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2．

半径r＝|CA|＝＝．

故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．

由题意知(m－2)2＋()2＜10，

解得0＜m＜4．

答案：(0,4)

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1．方程y＝表示的曲线是(　　)

A．上半圆　　　　　　　 B．下半圆

C．圆  D．抛物线

解析：选A　由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．

2．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋y2＝8  B．(x＋1)2＋y2＝8

C．(x－1)2＋y2＝16   D．(x＋1)2＋y2＝16

解析：选A　因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，

所以圆心M(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝＝2．

所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8．故选A．

3．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝2  B．(x＋1)2＋y2＝8

C．(x－1)2＋y2＝2  D．(x－1)2＋y2＝8

解析：选A　直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．

根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．

因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，

则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2．故选A．

4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2  B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2  D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

解析：选D　由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝．又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．

5．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　)

A．2  B．－2

C．1  D．－1

解析：选D　因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1．

6．设A(－3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1∶2，则点P的轨迹图形所围成的面积是________．

解析：设P(x，y)，则由题意有＝，

整理得x2＋y2＋10x＋9＝0，即(x＋5)2＋y2＝16，

所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16π．

答案：16π

7．(2016·东城区调研)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．

解析：由题意知，圆的半径r＝ ＝ ≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝．

答案：

8．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．

解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．

∵△OPQ为直角三角形，

∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，

因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5

9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．

(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①

又∵直径|CD|＝4，

∴|PA|＝2，

∴(a＋1)2＋b2＝40．②

由①②解得或

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．

10．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．

(1)求圆C1的圆心坐标．

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．

解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．

(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，

∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0．

又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，

∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0．

易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，

当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，

解得m＝±．

把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝．

当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．

又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，

∴<x≤3．

∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中<x≤3，其轨迹为一段圆弧．

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1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m,0), B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7　　　　　　　　　 B．6

C．5  D．4

解析：选B　由(x－3)2＋(y－4)2＝1知圆上点P(x0，y0)可化为

∵∠APB＝90°，即·＝0，

∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，

∴m2＝x＋y＝26＋6cos θ＋8sin θ

＝26＋10sin(θ＋φ)≤，

∴16≤4 m2≤36,且m＞0，∴4＜m≤6，即m的最大值为6．

2．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．

(1)求m＋2n的最大值；

(2)求的最大值和最小值．

解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，

因为该直线与圆有公共点，

所以圆心到直线的距离d＝≤2，

解上式得，16－2≤t≤16＋2，

所以所求的最大值为16＋2．

(2)记点Q(－2,3)，

因为表示直线MQ的斜率k，

所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0．

由直线MQ与圆C有公共点，

得≤2．

可得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－．