高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第九章 概率 Word版含答案

这是一份高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第九章 概率 Word版含答案，共39页。试卷主要包含了事件的相关概念，频数、频率和概率，事件的关系与运算，概率的几个基本性质等内容，欢迎下载使用。
第九章概率
第一节随机事件的概率


1．事件的相关概念


2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生⇒B发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1

4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

1．(教材习题改编)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．
解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
答案：0.9　0.2
2．(教材习题改编)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是________．
答案：
3．(教材习题改编)给出下列三个命题，其中正确命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
答案：0

1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．


1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么(　　)
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选B　两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．
2．在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　B.
C. D.
解析：选A　从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.





1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶　　　　 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
解析：选D　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
解析：选A　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
答案：A与B，A与C，B与C，B与D　B与D

判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．



1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为(　　)
A．49　　　　　　　　　 B．0.5
C．0.51 D．0.49
解析：选C　由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.
2．(2015·北京高考)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.
　　　商品

顾客人数　　　
甲
乙
丙
丁
100




217




200




300




85




98





(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．

1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
　概率的定义是求一个事件概率的基本方法．



某战士射击一次，问：
(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？
(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？
解：(1)设中靶为事件A，则不中靶为.
则由对立事件的概率公式可得，
P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
即不中靶的概率为0.05.
(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.
记至少命中8环为事件E，
则P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.
故至少命中8环的概率为0.72.
记至少命中9环为事件F，则不够9环为，
则P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.
则P()＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.
即不够9环的概率为0.52.

求复杂互斥事件概率的2种方法
(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．
　应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．

(2017·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则
H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)
＝P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，
则其对立事件为事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.
2．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为(　　)
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红球、黑球各一个
解析：选D　红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．
3．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝，
因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在 cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．
解析：由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.
答案：0.3
5．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．
解析：设P(A)＝x，P(B)＝3x，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.
∴P(A)＝x＝0.16.
答案：0.16
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2017·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
解析：选C　记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为(　　)
A．恰有1个白球和全是白球；
B．至少有1个白球和全是黑球；
C．至少有1个白球和至少有2个白球；
D．至少有1个白球和至少有1个黑球．
解析：选A　由题意可知，事件C、D均不是互斥事件；A、B为互斥事件，但B又是对立事件，满足题意只有A，故选A.
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选C　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
4．抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(A∪B)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　事件A为掷出向上为偶数点，所以P(A)＝.
事件B为掷出向上为3点，所以P(B)＝，
又事件A，B是互斥事件，事件(A∪B)为事件A，B有一个发生的事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.
5．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．
解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率为1－P(A)＝0.35.
答案：0.35
7．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；
②至少有1个红球和全是白球；
③至少有1个红球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个红球．
在上述事件中，是对立事件的为________(填序号)．
解析：至少有1个红球和全是白球不同时发生，且一定有一个发生，所以②中两事件是对立事件．
答案：②
8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为
P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：　
9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
＝＝.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.
10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/分)
1
1.5
2
2.5
3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)求x，y的值．
(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．
解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
(2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟．
A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟．
A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．
将频率视为概率，可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝0.3.
所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为____________．
解析：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，
所以
即解得的概率是________．
解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b时，e＝>⇒2b，符合a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；
当b＝2时，有a＝5,6两种情况．总共有6种情况，则概率是＝.同理当a的概率也为.
综上可知e>的概率为.
答案：
2．(2017·河北省“五校联盟”质量检测)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数




2

2

2
1

1


(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4，4.5，4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．
解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为
＝4.7，
故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.
(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝＝.


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·山西省第二次四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C. D.
解析：选A　∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为＝.
2．(2016·河北省三市第二次联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设2个红球分别为a，b,3个白球分别为A，B，C，从中随机抽取2个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P＝＝.
3．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2 4种情况，则发生的概率为P＝＝，故选A.
4．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则(a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.
答案：
5．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
解析：因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其为实数，须n2＝m2，即m＝n.由已知得，事件的总数为36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求的概率为P＝＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1.（2017·开封模拟） 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ）
A. B.
C. D.
解析：选D抛掷两次该玩具共有16种情况：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），…，（4，4）.其中乘积是偶数的有12种情况：（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P==.
2．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.
3．已知集合M＝，N＝，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.
4．(2017·东北四市联考)从3双不同的鞋中任取2只，则取出的2只鞋不能成双的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　设这3双鞋分别为(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，则任取2只鞋的可能为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15种情况，其中2只鞋不能成双的有12种情况，故所求概率为P＝＝，故选C.
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝＝.
6．(2017·重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________．
解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为＝.
答案：
7．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.
答案：
8．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．
解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
答案：
9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，
所以P(A)＝＝，
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，
所以P(B)＝1－P()＝1－＝，
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
10．移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．

(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；
(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．
解：(1)设事件A为“从中任选1 人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)＝＝.
(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个．
其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个．
则P(B)＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·长沙四校联考)已知集合M＝，N＝.定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵集合M＝，N＝，∴映射f：M→N有43＝64种，∵由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4种选择，f(2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12种，∴所求概率为＝.
2．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间　求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．


1．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选C　试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝.
2．(教材习题改编)在长为3 m的线段AB上任取一点P，则点P与线段AB两端点的距离都大于1 m的概率等于________．
解析：将线段AB平均分成3段，设中间的两点分别为C，D，∴当点P在线段CD上时，符合题意，线段CD的长度为1，∴所求概率P＝.
答案：

易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．


1．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈，则f(x)为增函数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈．
∴f(x)在上是增函数．
∴f(x)为增函数的概率为P＝＝.
2．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

解析：设阴影部分面积为S，由几何概型可知＝，所以S＝0.18.
答案：0.18





1．(2017·武汉调研)在区间上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由log0.5(4x－3)≥0，得0＜4x－3≤1，
解得＜x≤1，所以所求概率P＝＝.
2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
解析：根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.
答案：
3．(2016·山东高考)在上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
解析：由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得 ＜3，
即16k2＜9，解得－＜k＜.
由几何概型的概率计算公式可知P＝＝.
答案：

1．与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．
2．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．



(2017·河北保定联考)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1＝×π×13＝.
事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，
根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝＝1－.
答案：1－

与体积有关的几何概型求法的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

　一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由题图可知VF­AMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADF­BCE＝a3，
所以它飞入几何体F­AMCD内的概率为＝.


与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．
常见的命题角度有：
(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；
(2)与线性规划交汇命题的问题；
(3)与定积分交汇命题的问题．　　　 　

角度一：与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题
1．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)平面区域A1＝，A2＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为________．
解析：分别画出区域A1，A2，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为＝1－.　

答案：1－

角度二：与线性规划交汇命题的问题
2．(2017·广州综合测试)在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.

解析：选A　依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝＝＝.


1．几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路
利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．
2．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路
先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．

1．(2017·石家庄市教学质量检测)如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为(　　)
A．100 B．200
C．400 D．450
解析：选C　如图所示，作CD⊥OA于点D，连接OC并延长交扇形于点E，设扇形半径为R，圆C半径为r，∴R＝r＋2r＝3r，∴落入圆内的点的个数估计值为600·＝400.
2．(2015·湖北高考)在区间上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)
A．p1＜p2＜ B．p2＜＜p1
C.＜p2＜p1 D．p1＜＜p2
解析：选D　如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤”对应的图形为阴影△ODE，其面积为××＝，故p1＝＜；事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，故p2＞，则p1＜＜p2，故选D.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在区间上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　因为|x|≤1，所以－1≤x≤1，所以所求的概率为＝.
2．(2017·广州市五校联考)四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A. B．1－
C. D．1－
解析：选B　如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.
3．已知正棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜VS­ABC的概率是(　　)
A. B.
C. D.

解析：选B　由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP­ABC＜VS­ABC，故使得VP­ABC＜VS­ABC的概率：P＝＝1－3＝.
4．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈，若从区间内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．
解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝＝＝0.3.
答案：0.3
5．(2016·河南省六市第一次联考)欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________．
解析：由题意得，所求概率为P＝＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

解析：选A　由题意及题图可知，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，故P(A)最大，应选A.
2．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　根据题意求出矩形的面积为32时线段AC或线段BC的长，然后求出概率．
设AC＝x，则CB＝12－x，
所以x(12－x)＝32，
解得x＝4或x＝8.
所以P＝＝.
3．(2017·贵阳市监测考试)在上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为＝，故选D.
4．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，所求概率为.

5．在区间上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为x∈，所以x＋∈，由sin x＋cos x＝sin∈，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为＝.
6．已知集合A＝，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．
解析：A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}＝{y|－1≤y≤8}．
B＝＝.
则所求的概率为＝.
答案：
7．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x及直线x＝a(a∈(0，π])与x轴围成，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝________.

解析：根据题意，
阴影部分的面积为
sin xdx＝－cos x＝1－cos a，
又矩形的面积为a·＝4，
则由几何概型的概率公式可得＝，
即cos a＝－1，又a∈(0，π]，所以a＝π.
答案：π
8．如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．
解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝.
答案：
9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.
(1)求四棱锥M­ABCD的体积小于的概率；
(2)求M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率．
解：(1)正方体ABCD­A1B1C1D1中，设M­ABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝，
∵S四边形ABCD＝1，∴h＝.
若体积小于，则h＜，即点M在正方体的下半部分，
∴P＝＝.
(2)∵V三棱柱＝×12×1＝，
∴所求概率P1＝＝.
10．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值．
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为＝，得n＝2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝＝.
②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
Ω＝，
由几何概型得概率为P＝＝1－.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·重庆适应性测试)在区间上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　依题意，记从区间上取出的两个实数为x，y，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2－×12＝，因此所求的概率为＝，选D.
2．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.
(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率．
(2)若a，b∈，求满足y＝f(x)有零点的概率．
解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，
即Δ＝2－4b2＝0，
则a＋1＝2b.
则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，
所以P(A)＝＝.
即事件“y＝f(x)恰有一个零点”的概率为.
(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，即a＋1≥2b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，
构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，
如图所示：

所以所求的概率为P(B)＝＝.
即事件“y＝f(x)有零点”的概率为.


命题点一　排列、组合
命题指数：☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题
1.(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选B　如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.
2.(2015·福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.
3．(2015·重庆高考)在区间上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个负根分别为x1，x2，
则有解得