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    高中数学高考2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(天津卷,含答案)(1)

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    这是一份高中数学高考2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(天津卷,含答案)(1),共12页。
    2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(天津卷)本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第I卷1至2页,第II卷3至5页。    答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。    祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。参考公式如果事件AB互斥,那么 .如果事件AB相互独立,那么 .棱柱的体积公式其中表示棱柱的底面面积表示棱柱的高.的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高.一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R,集合,则  (A)    (B)    (C)     (D) (2)设变量xy满足约束条件 则目标函数的最大值为   (A) 6             (B) 19              (C) 21               (D) 45 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为   (A) 1  (B) 2  (C) 3   (D) 4(4)设   (A)充分而不必要条件(B)必要而不重复条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知abc的大小关系为   (A)    (B)    (C)     (D) (6)将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数   (A)在区间上单调递增   (B)在区间上单调递(C)在区间上单调递增    (D)在区间上单调递(7)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两点. 设AB到双曲线同一条渐近线的距离分别为则双曲线的方程为    (A)    (B)    (C)     (D) (8)如图,在平面四边形ABCD中,. 若点E为边CD上的动点,则的最小值为   (A)   (B)   (C)    (D) 注意事项1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共12小题,共110分。二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。 (9) i是虚数单位,复数           .(10) 的展开式中的系数为            .(11) 已知正方体的棱长为1,除面该正方体其余各面的中心分别为点EFGHM(如图),则四棱锥的体积为          .(12)已知圆的圆心为C,直线(为参数)与该圆相交于AB两点,则的面积为           . (13)已知的最小值为             . (14)已知函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是              .  三.解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)内角ABC所对的边分别为abc.已知.(I)求角B的大小;(II)设a=2c=3b的值. (16)(本小题满分13分)   已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;    (ii)设A为事件抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工,求事件A发生的概率. (17)(本小题满分13分)    如图AD=2BC,EG=ADCD=2FGDA=DC=DG=2.(I)若MCF的中点,NEG的中点,求证:(II)求二面角的正弦值 (III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.  (18)(本小题满分13分)    是等比数列公比大于0,其前n项和为是等差数列. 已知.(I)求的通项公式(II)设数列的前n项和为     (i)求     (ii)证明. (19)(本小题满分14分)设椭圆(a>b>0)的左焦点为F上顶点为B. 已知椭圆的离心率为A的坐标为.(I)求椭圆的方程;(II)设直线l与椭圆在第一象限的交点为Pl与直线AB交于点Q. (O为原点) k的值. (20)(本小题满分14分)已知函数其中a>1.I)求函数的单调区间(II)若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行证明(III)证明当存在直线l使l是曲线的切线也是曲线的切线.     参考答案:选择题本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.(1)B    (2)C    (3)B     (4)A(5)D    (6)A    (7)C     (8)A二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.(9)4i    (10)    (11) (12)     (13)   (14) 解答题(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.)解:在ABC中,由正弦定理,可得又由可得又因为可得B=)解:在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,故b=可得因为a<c,故.因此 所以, (16)本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.)解:由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.)(i)解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.PX=k)=k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为 X0123P随机变量X的数学期望(ii)解:设事件B抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人;事件C抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人,则A=BC,且BC互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以,事件A发生的概率为(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意,可以建立以D为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).)证明:依题意=(0,2,0),=(2,0,2).设n0=(xyz)为平面CDE的法向量,则 不妨令z=1,可得n0=(1,0,1).又=(1,,1),可得,又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE)解:依题意,可得=(–1,0,0),=(0,–1,2).n=(xyz)为平面BCE的法向量,则 不妨令z=1,可得n=(0,1,1).m=(xyz)为平面BCF的法向量,则 不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos<mn>=于是sin<mn>=所以,二面角EBCF的正弦值为)解:设线段DP的长为hh[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故由题意,可得=sin60°=,解得h=[02]所以线段长为.(18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.(I)解:设等比数列公比为q.可得.因为可得.设等差数列公差为d,由,可得可得 从而 所以数列通项公式为数列通项公式为(II)(i)由(I),有.(ii)证明:因为所以,.(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.解:设椭圆的焦距为2c,由已知知又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为)解:设点P的坐标为x1y1),点Q的坐标为(x2y2).由已知有y1>y2>0,故.又因为OAB=.由可得5y1=9y2由方程组消去x,可得.易知直线AB的方程为x+y2=0,由方程组消去x,可得5y1=9y2,可得5(k+1)=两边平方整理得解得所以,k的值为 (20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.(I)解:由已知,.解得x=0.a>1,可知当x变化时,的变化情况如下表x00+极小值所以函数的单调递减区间单调递增区间为.(II)证明:由可得曲线在点处的切线斜率为.可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行故有.两边取以a为底的对数所以.(III)证明:曲线在点处的切线l1.曲线在点处的切线l2.要证明当存在直线l使l是曲线的切线也是曲线的切线只需证明当存在使得l1l2重合.即只需证明当方程组有解代入.   因此,只需证明当关于x1的方程实数解.设函数即要证明当函数存在零点.,可知单调递减故存在唯一的x0x0>0,使得,即.由此可得上单调递增上单调递减. 处取得极大值.因为所以.下面证明存在实数t,使得.(I)可得所以存在实数t使得因此,当存在使得.所以存在直线l使l是曲线的切线也是曲线的切线. 

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