高中数学高考2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学答案

2020年宁德市普通高中毕业班质量检查

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．

    二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

　1．B    2．A    3．A    4．B    5．C    6．D

　7．D    8．C    9．B    10．A   11．C   12．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．

　13．     14．      15．      16．  

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．

17． 解：（1）由两式相减，得：

，……………………………… 2分

又，，………………………………3分

当时，且，

故，得（舍去），

，………………………………4分

数列为等差数列，公差为，………………………………5分

所以 ．………………………………6分

（2）由（1）及题意可得，………………………………8分

所以

]………………………………10分

．………………………………12分

18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

（1）证明：取DE中点F，分别连结AF,FN

又N为BC中点，

所以,．…………………… 1分

因为矩形ABCD中，M为AB的中点，

所以

所以，……………… 2分

所以四边形AMNF为平行四边形，…………3分

所以，……………… 4分

又因为平面,平面，

所以平面．………………………5分

（2）因为矩形平面，

矩形平面，

所以平面．………………………………6分

如图，以B为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，………7分

因为轴平面ABCD，

所以为平面ABCD的一个法向量，………………………………8分

设为平面AED的法向量，

因为，，

所以，得，

故可取，………………………………11分

则，

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为．………………………………12分

解法二：

(1)取CD中点F，分别连结FM,FN．

又矩形ABCD中，M为AB中点，

所以，

所以四边形AMFD为平行四边形，

所以，…………… 1分

又平面,平面，

所以平面．………………… 2分

因为F、N分别为CD、CE的中点．

所以，

又平面,平面，

所以平面．……………… 3分

又因为，

所以平面平面，………………4分

又平面，

所以平面．………………………………5分

(2)过点E作交CB的延长线于G，过G作交DA的延长线于H，连结EH，

又因为平面平面，矩形平面

所以平面ABCD．

又，

平面，

所以即为二面角的平面角，………………………………10分

因为,，

所以，………………………………11分

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为．……………………12分

19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．

解：（1）解法—：因为，由正弦定理，得……………1分

又

所以…………………………………2分

所以，…………………………………3分

因为，所以

所以，又………………………………………4分

所以.……………………………………………………5分

（2）由（1）知

根据题意得  解得.  ……………………………………………………6分

在中，由正弦定理得，

所以………………………………………7分

因为，所以

所以……………………………………………………………8分

因为为中点，所以………………………………9分

所以

………………………………10分

因为

所以的取值范围为………………………………12分

解法二：(1)因为，由余弦定理，得……………………1分

整理得 ………………………………2分

所以，………………………………4分

又，所以………………………………5分

(2)由（1）知，又，故.…………………………6分

因为为锐角三角形，

所以，即………………………7分

所以………………………………8分

延长到点，使得，连结，.

则四边形为平行四边形，所以，.

在中，，………………………………9分

即，所以，………………………………10分

因为，所以的取值范围为.………………………………12分

20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．

解：（1）离心率为，，………………………………1分

的周长为8，，得，………………………………3分

，，………………………………4分

因此，椭圆的标准方程为．………………………………5分

（2）设的内切圆半径为，，

又，，

要使的内切圆面积最大，只需的值最大．………………………………6分

设，，直线，

联立消去得：，

易得，且，，………………………………7分

所以

，………………………………8分

设，则，………………………………9分

设，，所以在上单调递增，……………10分

所以当，即时，的最大值为3，………………………………11分

此时，所以的内切圆面积最大为．………………………………12分

（注：若讨论直线斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分）

21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．

解：（1）当时，，

，………………………………1分

由，………………………………2分

得，

即，……………………………3分

解得或.………………………………4分

当时，，此时直线恰为切线，故舍去，……………………5分

所以.………………………………6分

（2）当时，，

设，则，………………………………7分

故函数可化为.

由,可得

的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以的最小值为，。………………………………8分

此时，函数的的值域为

问题转化为当时，有解，………………………………9分

即，得。

设，则，

故的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以的最小值为，………………………………11分

故的最小值为．………………………………………12分

22．选修；坐标系与参数方程

本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．

解法一：（1）圆的极坐标方程为，………………………………………1分

将代入得：

，

成立，

设点对应的极径分别为，

所以，………………………………………3分

所以，………………………………………4分

所以点轨迹的极坐标方程为，．………………………………………5分

（2）由（1）得，……………………………6分

，………………………………………7分

所以，，………………………………………8分

又，所以或，………………………………………9分

即或．………………………………………10分

解法二：

（1）因为为中点，所以于，………………………………………1分

故的轨迹是以为直径的圆（在的内部），………………………………………2分

其所在圆方程为：，………………………………………3分

即.

从而点轨迹的极坐标方程为，．………………………………………5分

（2）由（1）得，………………………………6分

，………………………………………7分

令，因为，所以， 则，

所以，所以，………………………………………8分

即，解得（舍去），所以，

又，，所以或，……………………………9分

即或． ………………………………10分

23．选修：不等式选讲

本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．

23．解：（1）构造，

在上恒成立，，………………………………………1分

又，………………………………………3分

，，………………………………………4分

的最大值．………………………………………5分

（2）由（1）得，故．

 ，，

或．………………………………………6分

故．………………………………………7分

当时，，

，

当且仅当，即时取“=”；………………………………………8分

当时，，

，

当且仅当，即时取“=”．………………………………………9分

所以的取值范围是．………………………………………10分