高中数学高考2021年高考数学（理）1月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版）

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）1月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021年高考数学（理）1月模拟评估卷（一）（全国1卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合,,若,则的值为（    ）A．或1 B．0或1 C．或 D．0或【答案】A【解析】∵集合,,,∴或,解得或.故选A.2.若复数满足（其中是虚数单位）,复数的共轭复数为,则（    ）A．的实部是1 B．的虚部是1C． D．复数在复平面内对应的点在第四象限【答案】C【解析】,,则的实部为2,故A错误；的虚部是,故B错误；,故C正；对应的点为在第一象限,故D错误.故选C.3．如图,在正方体中,, 分别为,的中点,则下列直线中与直线相交的是（    ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出直线,,都和直线是异面直线,而直线和直线在同一平面内,且这两直线不平行,∴直线与直线相交.故选D.4.在的展开式中,若含项的系数为,则正实数（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】的展开式的通项为令,则,所以,解得或（舍）,故选B.5.自2010年以来,一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势,以房养老、以房为聘的理念深入人心,使得各地房地产中介公司的交易数额日益增加．现将房产中介公司2010-2019年4月份的售房情况统计如图所示,根据2010-2013年、2014-2016年、2017-2019年的数据分别建立回归直线方程、、,则（    ）A．, B．,C．, D．,【答案】A【解析】如图：观察可知, ,,故选A.6．设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点,则两圆心的距离（    ）A．4 B． C．8 D．【答案】B【解析】依题意设两圆方程分别为,,分别将代入得,所以,,圆心距.故选B.7.函数的图象如图所示,为了得到的图象,只需把的图象上所有点（    ）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位【答案】A【解析】由图可知周期满足,故,∴,,,∴,即,所以将向右平移个单位,得到.故选A.8．若实数a,b,c满足,其中,则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知a(0,1),b(2,4),c(3,9),且,对于A选项,,可得到,故选项A错误；对于B选项,,,所以,故B选项错误；对于C选项,,故C选项错误；对于D选项,,,而c>b,所以,故选D.9．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位,它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图,若执行该程序框图,则输出的结果为（    ）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】D【解析】为整数,则除以的余数均为,,.故选D.10．已知等比数列中,,,,则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设等比数列的公比为,则,即,因为,所以,则,即,解得,故选B.11．已知双曲线（,）的左、右焦点分别为、,圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,,四边形的周长与面积满足,则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线的定义可知,又,,可知四边形是平行四边形,所以,联立解得,,又线段为圆的直径,由双曲线的对称性可知四边形为矩形,所以四边形的面积,又,所以,即,解得,由,得,即,即.故选C.12．如图,在三棱锥中,平面,,,,若三棱锥外接球的表面积为,则三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设,,由三棱锥外接球的表面积为,得外接球的半径.又平面,,所以,所以,所以.因为平面,,所以,,过D作,垂足为E,则平面,所以,所以,所以,所以,当且仅当,即,时,“=”成立,所以三棱锥体积的最大值为.故选A.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13.已知实数,满足约束条件,则的最小值为_____________.【答案】【解析】如图：由代表的是过原点的直线的斜率,,则所以当过点时,有最小值为,故答案为.14.平面内,不共线的向量满足,且,则的夹角的余弦值为________.【答案】【解析】由得,由,故,所以,所以,故答案为.15．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：① 在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同；② 在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③ 在这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④ 在,两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论的序号是_____．【答案】①③④【解析】①在时刻,为两图象的交点,即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同,故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等,即两人的不相同,所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同,故②不正确；③根据平均变换率公式可知,甲、乙两人的平均变化率都是,故③正确；④在时间段,甲的平均变化率是,在时间段,甲的平均变化率是,显然不相等,故④正确.故答案为①③④.16．已知数列满足,其中,若对恒成立,则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由得：,令,则的奇数项和偶数项分别成首项为,且公差为的等差数列,所以 , ,,故, ,,因为对恒成立,所以恒成立,同时恒成立,即恒成立,当时,,而时,所以即可,当时,恒成立,综上,故填．              三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17．(12分) 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A＋a＝c.（1）求cos B；（2）如图,D为外一点,若在平面四边形ABCD中,D＝2B,且AD＝1,CD＝3,BC＝,求AB的长．解 ：（1）在中,由正弦定理得sin Bcos A＋sin A＝sin C,(2分)又C＝π－(A＋B),所以sin Bcos A＋sin A＝sin (A＋B),故sinBcos A＋sin A＝sin Acos B＋cos Asin B,所以sin Acos B＝sin A,又A∈(0,π),所以sin A≠0,故cos B＝.(6分)（2）因为D＝2B,所以cos D＝2cos2B－1＝,(7分)又在中,AD＝1,CD＝3,所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D ＝1＋9－2×3×＝12,所以AC＝,(9分)在中,BC＝,AC＝,cos B＝,所以由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B,即12＝AB2＋6－2·AB××,化简得AB2－AB－6＝0,解得AB＝.故AB的长为.(12分)18．(12分) 如图所示,四棱锥中,,,,.
 （1）求证：平面；（2）若点是线段上的动点,平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求.解：（1）证明：因为,,,所以,,又因为,所以,故,(2分)取的中点,连接,,因为,所以,,所以,(4分)因为,所以平面,所以,又因为,所以平面.(6分)（2）如图,以为原点,分别以,和垂直平面的方向为,,轴正方向,建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(0,2,0),(2,4,0),(2,0,0),(1,1,2),设(),则,(8分)由（1）得平面的一个法向量为,(9分)设为平面的一个法向量,,由得不妨取.(10分)设平面与平面所成的二面角为,所以,整体得,解得或(舍去),所以,.(12分)19．(12分) 2020年初,新型冠状病毒肺炎爆发时,我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情,赢得了国际社会的高度评价,在这期间,为保证抗疫物资的质量,我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂,质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液,检测其质量,得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示,乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,视频率为概率）质量指标值频数2010301525（1）规定：消毒液的质量指标值越高,消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为,乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5,分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数,并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,并已求得．该厂决定将消毒液分为,,级三个等级,其中质量指标值不高于2.6的为级,高于38.45的为级,其余为级,请利用该正态分布模型解决下列问题：（ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液,试估计其中级消毒液的总瓶数；（ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价（单位：元/瓶）的关系如下表所示：等级出厂价302516假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶,且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元,工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内）,问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．附：若,则,,．解：（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为．设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为,则,解得．统计结论：（答案不唯一,任意两个即可,其他答案如果叙述正确也给分）①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等,从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；②由数据波动的情况可知,乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差,说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同,但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差,所以甲厂生产的消毒液更好．④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为．⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近,乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．(4分)（2）（ⅰ）,因为,所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中,级消毒液有81860瓶．(7分)（ⅱ）设每瓶消毒液的利润为元,则的可能取值为10,5,,,由（ⅰ）知,所以,故的分布列为1050.158650.8186002275所以每瓶消毒液的平均利润为（元）,故生产半年消毒液所获利润为（千万元）,而5．5885（千万元）4（千万元）,所以甲厂能在半年之内收回投资．(12分)20．(12分) 已知圆：（,）过点,,椭圆与轴交于、两点,与轴交于,两点．（1）求四边形的面积；（2）若四边形的内切圆的半径为,点,在椭圆上,直线斜率存在,且与圆相切,切点为,求证：．解：（1）依题意得,解得：,故四边形的面积；(4分)（2）如图所示, 要证：,只需证,易知直线的方程为：,利用点到线的距离公式可得：,(6分)设：,,,则原点到的距离为：,所以；①(8分)由得：则,,,(10分),由①得,所以．(12分)21．(12分) 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时,,记函数在上的最大值为,证明：．解：（1）由函数的定义域是,则．(1分)当时,,此时在区间上,；在区间上,,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为．(2分)当且时,即时,对任意恒成立,即对任意恒成立,且不恒为0．故函数的单调递减区间为；当且时,即时,方程的两根依次为,,此时在区间,上,；在区间上,,故函数的单调递减区间为,,单调递增区间为；(4分)当时,方程的两根依次为,,此时在区间上,；在区间上,,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为；(6分)（2）证明：当时,,则．(7分)当时,,令,则,所以在上单调递增．因为,,所以存在使得,即,即．故当时,,此时；当时,,此时．即在上单调递增,在上单调递减,(9分)则．令,,则,所以在上单调递增,则,,所以．故． (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)如图所示,已知曲线的极坐标方程为,点,以极点为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线的参数方程为,（为参数）,若直线与曲线交于、两点,求的值．解：因为,故,故,即；(10分)（2）设直线的参数方程为（为参数）,若直线与双曲线交于,,则只能交于轴右侧部分,将直线的参数方程代入,可得．(77分)设,对应的参数分别为,,故,,故．(10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知a,b,c为正实数,且满足.证明：（1）；（2）.解：（1）因为a,b,c为正实数,且满足,所以,由绝对值三角不等式可得,,当且仅当,即时,等号成立；(10分)（2）因为a,b,c为正实数,且满足,由三元基本不等式可得,当且仅当时,等号成立. (10分)