高中数学高考2021年高考数学（理）1月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）(1)

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）1月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）(1)，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（理）1月模拟评估卷（一）（全国2卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,则的值（    ）A．0 B． C．2 D．1【答案】C【解析】,,则．故选C．2．设集合,,若,则的值为（    ）A．或1 B．0或1 C．或 D．0或【答案】A【解析】∵集合,,,∴或,解得或.故选A.3．已知点,,则与向量的方向相反的单位向量是（    ）A．（－..,） B．（－,） C．（,－） D．（,－）【答案】A【解析】由,,所以,所以向量的方向相反的单位向量为.故选A.4．设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点,则两圆心的距离（    ）A．4 B． C．8 D．【答案】B【解析】依题意设两圆方程分别为,,分别将代入得,所以,,圆心距.故选B.5．等差数列的前项和为,其中,,则当取得最大值时的值为（    ）A．4或5 B．3或4 C．4 D．3【答案】C【解析】设公差为,由题意知,解得,由等差数列前项和公式,知,对称轴为,所以当时,最大．故选C.6.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】二项式的展开式的通项为，因为前三项的系数成等差数列，所以，即，解得（舍去）所以展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，故选D.7．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位,它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图,若执行该程序框图,则输出的结果为（    ）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】D【解析】为整数,则除以的余数均为,,.故选D.8.已知双曲线的离心率为,则点到的渐近线的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,所以双曲线的渐近线方程为所以点（4,0）到渐近线的距离,故选D.9.已知定义在上的函数满足,则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令,有,得函数在上单调递增,又由不等式可化为,有,,.故选B.10．若实数a,b,c满足,其中,则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知a(0,1),b(2,4),c(3,9),且,对于A选项,,可得到,故选项A错误；对于B选项,,,所以,故B选项错误；对于C选项,,故C选项错误；对于D选项,,,而c>b,所以,故选D.11.一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知：设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，∴爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有；故，则：1、，，故A、B正确；2、，，即，有，故C错误；3、，即，有，故D正确；故选C.12．已知直三棱柱的底面是正三角形,,是侧面的中心,球与该三棱柱的所有面均相切,则直线被球截得的弦长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为球与直三棱柱的所有面均相切,且直三棱柱的底面是正三角形,所以球心为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点,如图所示,设底面三角形的重心为,连接,则底面,连接,易知点在上,连接、,因为是侧面的中心,所以四边形为正方形,设球的半径为,则由,可得,易得,连接,可得,∴,故所求弦长为,故选D.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13.已知角终边上一点,则______.【答案】【解析】由已知可得,,则.14．某社团计划招入女生人,男生人,若满足约束条件,则该社团今年计划招入的学生人数最多为______．【答案】9【解析】设,则,作出约束条件表示的平面区域,如图：的最大值,即直线的纵截距的最大值,由图可知,当直线经过点时,纵截距最大.,解得,所以的最大值为,此时均为正整数,符合要求.所以该社团今年计划招入的学生人数最多为9.15．等比数列的前项和为,,,则公比为______.【答案】【解析】因为,即所以,所以,解得.16．如图正方体中,为中点,为中点,为线段上一动点(不含),过与正方体的截面为,则下列说法正确的是___________.①当时,为五边形②截面为四边形时,为等腰梯形③截面过时,④为六边形时在底面投影面积为五边形时在底面投影面积,则【答案】②③【解析】作的中点,则平面平面,设与交点为,连接,由面面平行性质可知,,作,由三角形的中位线定理可得,则共面,又面面 ,所以,即是平行四边形,,所以,,当的延长线过时,则,所以,③正确；当时,即此时重合,截面如图所示,此时截面为六边形,在底面投影如图,当截面为五边形时,在底面投影如图,则,故①、④不正确;当与重合时,为平面,因为,不妨设正方体棱长为,则,所以为等腰梯形,则②正确.故答案为:②③.  三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 在△ABC中,acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2,c＝2a,求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中,由正弦定理,因为,所以,因为sinA≠0,所以,所以tanB,因为0＜B＜π,所以.(6分)（2）因为b＝2,c＝2a,由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB,可得,所以a,c,所以.(12分)18．(12分) 某湿地公园经过近十年的规划和治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的300个地块,并设计两种抽样方案,方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区,调查得到样本数据（,2,…,30）,其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量,并计算得,,,,.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求方案二抽取的样本（,2,…,30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.附：相关系数,；相关系数,则相关性很强,的值越大,相关性越强.解：（1）由题意可得,样区野生动物平均数为,又地块数为300,所以该地区这种野生动物的估计值为；(4分)（2）由题中数据可得,样本（,2,…,30）的相关系数为.因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为,所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计. (12分)19．(12分) 如图所示,四棱锥中,,,,.
 （1）求证：平面；（2）若点是线段上的动点,平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求.解：（1）证明：因为,,,所以,,又因为,所以,故,(2分)取的中点,连接,,因为,所以,,所以,(4分)因为,所以平面,所以,又因为,所以平面.(6分)（2）如图,以为原点,分别以,和垂直平面的方向为,,轴正方向,建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(0,2,0),(2,4,0),(2,0,0),(1,1,2),设(),则,(8分)由（1）得平面的一个法向量为,(9分)设为平面的一个法向量,,由得不妨取.(10分)设平面与平面所成的二面角为,所以,整体得,解得或(舍去),所以,.(12分)20．(12分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程（2）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由解：（1）由题意得，解得.把点的坐标代入椭圆C的方程，得.(2分)由于，解得所以所求的椭圆的标准方程为.(4分)（2）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.令，得，由得，解得(舍去)或所以，即.(6分)于是直线的方程为，即令，得，即，(10分)所以四边形的面积等于即四边形的面积为定值.(12分)21．(12分) 已知函数．（1）讨论的极值；（2）若为正整数，且恒成立，求的最大值．（参考数据：，）解:（1），，(1分)当，即时，对恒成立，在上单调递减，无极值，(2分)当，即时，令，得，由，解得：，由，解得：，在处取得极大值，且极大值为，(4分)综上所述，当时，无极值；当时，有极大值为，无极小值；(5分)（2）当时，，当时，，即对恒成立，(6分)令，得，令，则，∵，∴，是增函数，∵，，∴，使，由，得：，(9分)当，，单调递减，当，， 单调递增，∴时， 取得最小值，为，∴，又∵为正整数，∴，∴正整数的最大值为4．(12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)如图所示,已知曲线的极坐标方程为,点,以极点为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线的参数方程为,（为参数）,若直线与曲线交于、两点,求的值．解：因为,故,故,即；(10分)（2）设直线的参数方程为（为参数）,若直线与双曲线交于,,则只能交于轴右侧部分,将直线的参数方程代入,可得．(77分)设,对应的参数分别为,,故,,故．(10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知a,b,c为正实数,且满足.证明：（1）；（2）.解：（1）因为a,b,c为正实数,且满足,所以,由绝对值三角不等式可得,,当且仅当,即时,等号成立；(10分)（2）因为a,b,c为正实数,且满足,由三元基本不等式可得,当且仅当时,等号成立. (10分)