高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国2卷）（解析版）

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国2卷）（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国2卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合,,则（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为或,所以.故选D.2．已知为实数,复数（为虚数单位）,复数的共轭复数为,若为纯虚数,则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵为纯虚数,∴,则,∴,则,故选B.3．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)【答案】A【解析】由于频率分布直方图的组距为5，排除C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，排除B，故选A.4．已知是定义在上的奇函数,且,当时,,则（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数,所以图象的对称中心为,且．因为,所以图象的对称轴方程为,故的周期,,,从而,故选A．5．申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛,4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知其中有且只有2人的估计是正确的,则取得参加联赛的是（    ）A．A同学 B．B同学C．C同学 D．D同学【答案】A【解析】假设参赛的是A同学,则A、C同学估计正确,B、D同学估计错误,则只有2人的估计是正确,即参加联赛的是A同学；假设参赛的是B同学,则B、C、D同学估计正确,A同学估计错误；假设参赛的是C同学,则A、B、C、D同学估计错误；假设参赛的是D同学,则A、B、C同学估计错误,D同学估计正确；故选A.6．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为,所以为奇函数,排除C,D；又因为时,排除B,故选A.7．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点．若∠ABD＝90°,且△ABF的面积为9,则下列说法正确的是（    ）①△ABF是等边三角形；②|BF|＝3；③点F到准线的距离为3；④抛物线C的方程为y2＝6x.A．①②③ B．②④C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】根据题意,作出示意图,因为以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,∠ABD＝90°,由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|,所以△ABF是等边三角形,所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为|BF|2＝9,所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p,则该抛物线的方程为y2＝6x.故选C.8．已知数列的前项和为,且满足,则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】,,,,……所以数列是以3为周期的周期数列,前三项和,,,所以,,,所以.故选D.9．不等式组的解集记为,则“,使成立”的必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】画出不等式组表示的区域,如图中阴影部分所示,其中、、,,使成立,则,平移直线,当直线经过点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即,,因此,“,使成立”的必要不充分条件可以是“”.故选A.10．已知为等边三角形,,所在平面内的点满足,的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】,所以,,由平面向量模的三角不等式可得.当且仅当与方向相反时,等号成立.因此,的最小值为.故选C.11．如图,正方体中,分别为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】A 【解析】取的中点,连接,由分别为的中点,则且,在正方体中且,所以且,所以四边形为平行四边形,所以 ,则（或其补角）为异面直线与所成角.设正方体的棱长为2,则在中,, ,所以,故选A.12．若数列满足：对任意,只有有限个正整数,使得成立,记这样的的个数为,则得到一悠闲的数列,例如,若数列是1,2,3,…,,…,则得数列是0,1,2,…,,…,已知对任意的,,则（    ）A． B．2014 C． D．2015【答案】C【解析】因为,故满足的正整数的个数为不等式的整数解的个数.当,关于的不等式的整数解的个数即为,故,其中,故中项的大小为共有项.将列举如下： ①而即为中的个数.由①可得中的个数为.故选C.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 执行如图所示的程序框图,如果输入的是,则输出的是_____________.【答案】720【解析】模拟程序的运行可得,第一次循环,；第二次循环,；第三次循环,；第四次循环,；第五次循环,；第六次循环,.14．若函数的图象在闭区间上是轴对称曲线,则的最小值为_________.【答案】【解析】当的定义域为时,图象的对称轴满足：,即对称轴方程是,因为函数在闭区间上是对称曲线,所以,所以,因为,所以取最小值5时,最小值为.15．已知三棱锥,底面是边长为2的正三角形,平面平面ABC.,M为棱PC上一点,且,过M作三棱锥外接球的截面,则截面面积最小值为____________.【答案】【解析】在中,,,,所以为直角三角形,该三角形的外接圆圆心为中点,连接,,因为面面CAB,所以球心在上,又因为为等边三角形,故球心O在上靠近的三等分点处,因为M为PC的三等分点,故,所以,因为,所以外接球半径,过点M的所有截面圆中,截面与MO垂直的截面圆为最小截面圆,其半径,所以截面圆面积.16．已知双曲线的左右焦点分别为,,过的直线交双曲线于P,Q两点,且,,则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】如图,可设为双曲线右支上一点,由,在直角三角形中,,由双曲线的定义可得：,由,即有,即为,,解得,,由勾股定理可得：,可得.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．（1）求角C的大小（2）若,且的面积为,求的周长．解：（1）,,,(2分),,.(6分)（2）由题意可得,,,(8分)联立可得,,由余弦定理可得,,此时周长为.(12分) 18.(12分) 如图,在直三棱柱中,,,,分别是棱,的中点,点在直线上．（1）求直线与平面所成的角最大时,线段的长度；（2）是否存在这样的点,使平面与平面所成的二面角为,如果存在,试确定点的位置；如果不存在,请说明理由．解：如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,,,,设,则,；(2分)（1）因为是平面的一个法向量,所以所以,当时,取得最大值,此时,,即：当时,取得最大值,此时,故的长度为．(7分)（2）设是平面的一个法向量.则得令,得,,所以,（9分）所以,化简得因为,所以方程无解；故不存在点使得平面与平面所成的二面角为.（12）19.(12分) 近年来,共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放,为了确定车辆投放量,对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计,得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示,根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．（1）观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合,请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可,不必说明理由）,并求出关于的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次元,按用户每使用一次,收费元计算,若投入辆单车,则几年后可实现盈利？参考数据：其中,．参考公式：对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,．解：（1）由散点图判断,适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．由,两边同时取常用对数得．(1分)设,则．因为,,,,所以．(5分)把代入,得,所以,所以,则,故关于的回归方程为．(8分)（2）投入千辆单车,则年使用人次为千人次,每年的收益为（千元）,总投资千元,假设需要年开始盈利,则,即,故需要年才能开始盈利．(12分)20.(12分) 已知点F是椭圆的右焦点,P是椭圆E的上顶点,O为坐标原点且.（1）求椭圆的离心率e；（2）已知,,过点M作任意直线l与椭圆E交于A,B两点.设直线,的斜率分别为,,若,求椭圆E的方程.解：（1）由题可得,,,即,,；(5分)（2）由（1）可得椭圆方程为,当直线l的斜率存在时,设l：,设,联立直线与椭圆,得,则,即,则,,(7分),,(10分)即对任意成立,即,则椭圆方程为,当直线斜率不存在时,则直线方程为,则,且此时,满足题意,综上,椭圆方程为.(12分)21.(12分) 已知函数（其中为自然对数的底数,）．（1）当时,求的单调区间；（2）若有两个极值点,求实数的取值范围．解：（1）当时,,令,,令,解得,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以的单调递增区间为,无单调递减区间．(5分)（2）若有两个极值点,即有两个变号零点．令,(6分)（ⅰ）当时,在上单调递减,最多只有一个零点,不合题意；(7分)（ⅱ）当时,,最多只有一个零点,不合题意．(8分)（ⅲ）当时,令,得；当,,当,；所以在单调递减,在单调递增,(9分)则,而当时,,,又,根据零点存在性定理可知．,使得,（*）,令,,,所以,为单调递增函数,所以,则（*）式大于零,且,所以,使得,又在单调递减,在单调递增,故在有唯一零点,在上有唯一零点．综上知：若有两个极值点,的取值范围为．(12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分) 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．（1）当为参数,时,曲线与相交于,,且,求的值；（2）当为参数,时,曲线与只有一个公共点,求的值．解：（1）曲线的直角坐标方程为：,当为参数时,曲线为过点的直线,又曲线是直径为4的圆,且,所以直线过圆的圆心,则直线的斜率,所以．(5分)（2）当为参数时,曲线的直角坐标方程为又曲线与只有一个公共点,两圆外切或内切则或所以或．(10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数．（1）当时,求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围．解：（1）由题意,当时,函数当时,,解得,即；当时,,解得,即；当时,,解得,即不存在x,综上所述,不等式的解集为. (5分)（2）不等式,可得因为,所以不等式可化为对恒成立,即对恒成立,即,解得,故实数a的取值范围是．(10分)